电路与信号课件

傅里叶分析

信号分析就是研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。时域分析法频谱分析

周期信号的频谱分析狄里赫勒条件：1。在一个周期内只有有限个极大值和极小值；2。在一个周期内只有有限个间断点；3。在一个周期内绝对可积。8-1-1周期信号傅里叶级数的三角形式其中

一个无穷无尽的周期信号f(t)，周期为T，若满足狄里赫勒条件，则可展开为下列三角形式的傅里叶级数：a)对称性信号波形的对称性与傅里叶系数之间的关系为：类似地0b)傅里叶谱所以，傅氏级数又可写成其中直流分量n

次谐波分量任何满足狄里赫勒条件的周期信号可以分解为直流分量（频率为零）和一系列的正弦分量之和。上式中：第一项是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；第二项为信号的基波或一次谐波；第三项为信号的二次谐波；以下依次类推……结论：理论上：无限多项实际计算：取有限项所取项数越多，合成波形越接近原信号。例：424页图8-1-1：用n次谐波合成逼近周期方波低频分量：决定波形轮廓高频分量：体现波形细节AT例：试求如图所示的周期矩形脉冲信号的三角形傅里叶级数，绘出其频谱图。0.5123450123450解：先将含有相同频率的正弦项与余弦项合并为一个余弦项，试画出其振幅谱和相位谱例：一个周期信号可表示为且所有项都表示为带正振幅的余弦项。0123456750123456712确定信号的基频和周期任意的频率的正弦量之和是否可以表示为一个周期信号，该信号的周期是多少？由于周期函数中每一个正弦分量的频率均为基频的整数倍，因此，任意两个频率之比为m/n，其中m和n为整数，这意味着当m/n为有理数时，则这两个正弦量呈现了谐波性。任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，其各分量的复数振幅为Fn(傅里叶复系数)8-1-2周期信号傅里叶级数的指数形式指数形傅氏级数与三角形傅氏级数比较：

指数形傅氏级数公式紧凑，其傅里叶系数表达式十分简便。在求线性系统的响应时，输入信号表示为指数信号时好算些，因为对虚指数信号作微分和积分运算均好算，在信号的频谱分析和线性系统中大多采用指数形傅里叶级数。但是，三角形傅里叶级数也有优点，它比较直观，易于从概念上理解。例8-1-1

求周期锯齿波f(t)的傅氏级数的三角形式与指数形式0解：周期锯齿波在一个周期内的表达式为1。将f(t)展开成傅氏级数的三角形式0f(t)奇函数2。将f(t)展开成傅氏级数的指数形式0例8-1-2

求周期矩形脉冲信号f(t)的傅氏级数的三角形式与指数形式。设脉冲高度A，宽度τ，周期T。解：周期矩形脉冲在一个周期内的表达式为AT-T1。将f(t)展开成傅氏级数的三角形式f(t)偶函数，故只含有直流项和余弦项2。将f(t)展开成傅氏级数的指数形式定义：为抽样函数或滤波函数10如图所示，若以频率(角频率)为横坐标，以各谐波振幅|Fn|或An为纵坐标作出的图形称为幅度频谱或振幅谱。它直观地表示出信号所含各谐波分量振幅的相对大小。图中每条竖线代表该频率分量的振幅，称为谱线。连接各谱线顶点的曲线称为包络线，它反映了各分量振幅变化的情况。8-1-3周期信号的频谱为了把周期信号具有的频率分量和各分量的特征形象地表示出来，往往采用频谱图的表示法。类似地可作出各谐波初相角与频率的谱线图，称为相位谱。两者合称频谱图。由于指数形傅里叶谱在正负频率处均存在，故它又叫双边谱，三角形傅里叶谱又叫单边谱。例：433页图8-1-5：频谱图单边谱与双边谱的关系：1振幅谱：直流分量一样，双边谱振幅是单边谱振幅的一半。2相位谱两者一样。3双边振幅谱偶对称，相位谱奇对称。由于周期矩形脉冲信号在频谱分析中具有十分重要的意义，因此下面进一步加以研究，以此说明周期信号频谱的特点。8-1-4周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲在一个周期内的表达式及其傅里叶复系数为AT-T一般而言，信号的频谱需要用振幅谱和相位谱两个图形才能完全表示出来，但如果频谱函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。周期信号频谱的特点：离散性频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦分量，这样的频谱称为不连续频谱或离散频谱2.

谐波性

每条谱线只能出现在基波频率的整数倍的频率上，频谱中不可能存在任何频率为基波频率非整数倍的分量3.

收敛性

各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的。随着重复周期的增大，信号频谱相应地渐趋密集，频谱幅度也渐趋减小。周期信号的频带宽度：理论上，周期信号的谐波分量是无限多的。实际工作中，只要考虑次数较低的一部分分量。从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这一频率范围，是信号所占有的频带宽度，简称频宽。实用中，对于包络线为抽样函数的频谱，常常把从零频率开始到频谱包络线第一次过零点的那个频率之间的频带作为信号的频带宽度。当频谱的谱线无限密集，频谱振幅无限趋小，这时，周期信号已经向非周期信号转化。1/40

对于一般的频谱，也常以从零频率开始到频谱振幅降为包络线最大值的1/10的频率之间的频带定义为信号的频带宽度。

τ减小，频宽加大，当τ→0时，频宽也无限趋大，此时信号能量就不再集中在低频分量中，而均匀分布于零到无限大的全频段。8-1(a)8-3作业：p.500据此可画出单边谱0123单边相位谱01231

单边幅度谱01231-1-323-3-201231-1-301231023单边谱23-3-2双边谱例：如图所示为单位冲激序列求其傅里叶级数与频谱0T2Tt(1)例：已知某周期信号三角形傅里叶级数的傅里叶谱图如图所示，试求出该信号的时域表达式，并画出信号的指数形傅氏级数的傅里叶谱图。03691203691216036912168036912036912160369128-2傅里叶变换振幅谱偶对称，相位谱奇对称以上两式称为傅里叶变换对非周期信号进行傅里叶变换也要满足一定的条件，即此条件是充分条件正变换反变换例：求如图所示单个矩形脉冲的频谱A解：据傅里叶变换的定义有奇偶函数的傅里叶变换有它们的特点，如：8-2-2常用信号的傅里叶变换1.矩形脉冲A矩形脉冲的有效带宽2.单边指数脉冲3.单位冲激信号4.正负号信号01-1015.双边指数脉冲6.三角形脉冲0类似地8-7(a)(d)8-8(1)(3)8-9(1)(2)作业：p.5028-3

傅里叶变换的性质一、线性二、对称性00例：求常数A的傅里叶变换三、时移性T-T四、频移性（调制定理）

通信中的调制正是应用了频移性，以实现频谱的搬移，因此这一性质又称为调制定理。

通信中常常是将信号f(t)乘以正弦或余弦信号来完成调制过程，因此将信号f(t)称为调制信号，正弦或余弦信号称为被调制信号或载波信号。

信号f(t)与余弦信号cosω0t或正弦信号sinω0t相乘时，使得载波信号的幅度按信号f(t)的规律来变化。因此，这种调制称为幅度调制。2A0WA02W除振幅调制外，还有频率调制，相位调制等。通信技术中，未经调制的信号（基带信号）经电缆传输后，可能因衰减而低于门限电平，这时接收端很难分清究竟是信号还是噪声，距离较远时必须调制解调。利用调制定理，可将要传递的多个低频信号分别搬移到不同的载波频率上，而频谱互不重叠，从而实现在一个信道上同时传送多路信号的频分多路通信。五、比例性（尺度变换）六、卷积定理(1)时域卷积(2)频域卷积七、时域微分和时域积分(1)时域微分证明：利用时域卷积性质(2)时域积分表明函数在时域中的微分或积分对应于其频谱在频域中乘以或除以jω。根据时域积分性质-2-101231t(1)(3)(3)(1)t0八、频域微分和积分(1)频域微分重复求导得(2)频域积分

互感与变压器电路分析6－1耦合电感的电压电流关系与同名端磁耦合现象：一个线圈中的变化电流在另一个线圈中产生感应电压的现象，也叫互感现象。产生磁耦合现象的这对线圈称作互感线圈或耦合线圈。磁链=匝数乘磁通：自感=磁链比电流：若u、i方向关联，由电磁感应定律：复习：单个线圈(电感、或称自感)的VCR：耦合电感：指多个线圈(这里先介绍两个线圈)相互之间存在磁场的联系。它是耦合线圈的理想化模型。设两线圈的电压和电流参考方向均各自关联。如图所示，磁通方向与电流方向符合右手螺旋法则。6-1-1耦合电感的伏安关系(VCR)每一线圈中的磁链由两部分组成：图中自磁链与互磁链的参考方向一致。其中

11

表示线圈1电流在本线圈中产生的磁链，称为自感磁链，简称自磁链，类此有

22

；

12表示线圈2的线圈电流在线圈1中产生的磁链，称为互感磁链，简称互磁链，类此有

21

。上图中显示自磁链与互磁链的参考方向一致；若将线圈II的电流方向改为红笔所示，则自磁链与互磁链参考方向将不一致。因此，穿过一个线圈的总磁链有两种可能，可表示为：自磁链的符号恒为正；互磁链的符号可正可负。式中L1、L2称为自感系数，简称自感，单位亨(利)H，M12、M21称为互感系数，简称互感，单位亨(利)H，表示电流产生自磁链的能力。表示电流产生互磁链的能力。可以证明M12=M21=M。今后一律记为M。耦合电感伏安关系(VCR)表达式：式中，uL1

uL2为自感电压，符号总为正；uM1

uM2为互感电压，取正号或负号，由互磁链与自磁链的参考方向是否一致而定。若线圈电流变化，则自磁链、互磁链也随之变化。由电磁感应定律，线圈两端会产生感应电压。若感应电压与电流采取关联参考方向，则：耦合电感的VCR中有三个参数：L1、L2和M。耦合电感的电路符号：VCR中互感电压取-+-+-Madbc**+-+-Madbc**VCR中互感电压取+(当各线圈的电压、电流方向关联时只有这两种可能。)6-1-2耦合电感的同名端耦合线圈自磁链和互磁链的参考方向是否一致，不仅与线圈电流的参考方向有关，还与线圈的绕向及相对位置有关。但线圈的绕向及位置常常不能从外部认出，也不便于画出，为便于判断互感电压前的符号，故引入同名端的概念。aba、b是同名端1.顾名思义，指绕法相同的一对端钮；2.起的作用相同的一对端钮；或者说，(2)同名端就是当电流分别流入线圈时，能使电压增加的一对端钮；(3)产生自感电压与互感电压极性相同的一对端钮。(1)同名端就是当电流分别流入线圈时，能使磁场加强的一对端钮；

当线圈电流同时流入(或流出)该对端钮时，各线圈中产生的磁通方向一致（自磁链与互磁链参考方向一致）的一对端钮。磁通方向不一致的一对端钮则称异名端。同名端用标志‘·’或‘*’等表示。注意：1。同名端不一定满足递推性，故当有多个线圈时有时必要两两标出。2。在VCR中到底取正还是取负，要根据电流参考方向和同名端来确定：当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号，不一致时取负号。或者说，根据同名端，电流在本线圈中产生的自感电压与该电流在另一个线圈中产生的互感电压极性是相同的。确定互感线圈电压前正负号的简单规律：当互感电压的参考方向与产生该互感电压的电流之间对同名端方向一致时，互感电压前取“+”，不一致时取“-”。+-+-Madbc**+-+-Madbc**规则：(2)互感电压极性：若耦合电感的电压正极性端与另一线圈的电流流入端为同名端时，则该线圈的互感电压前取正号，否则取负号。根据同名端标记，根据线圈电流和电压的参考方向，就可以直接列写耦合电感伏安关系。(1)自感电压极性：若耦合电感电压与电流为关联参考方向时，则取正号，否则取负号；p.335例6-1-1图(a)中，uL1与i1方向不一致，-+-+Madbc**uM1与产生它的i2对同名端方向不一致，uL2与i2方向不一致，uM2与产生它的i1对同名端方向不一致，所以有VCR为：(a)-++-Madbc**-+-+Madbc**(b)(c)在绕法无法知道的情况下，同名端的测定：实验方法正偏，a,c同名端反偏，a,d同名端根据VCR，K+-+-abdcL1L2p.336例6-1-2

自学(1)直流法(2)交流法原图电源改为正弦电源，开关移去，直流电压表改为交流电压表，bd端连接。根据其VCR的相量形式同样能判定其同名端。+Ù-+

V

um2

-abdcL1

L2电路模型也可用受控源的形式表示：对含有耦合电感的电路分析要较前面所遇到过的电路分析都复杂，特别是容易犯遗漏或错写互感电压项的错误。-+-+adbc耦合电感是一种动态、有记忆的四端元件(与电感有类似的特性)。耦合电感的VCR中有三个参数：L1、L2和M。受控电压源的方向为：若控制电流从同名端到异名端，则受控电压源的电压降方向也从同名端到异名端。当两线圈的电流、电压参考方向关联时，相应耦合电感的受控源电路模型为：+-+-adbc(a)(c)同名端+-+-adbc(a)(d)同名端在正弦稳态电路中，耦合电感的相量(模型)形式为jωL1、jωL2称为自感阻抗，jωM称为互感阻抗+-+-adbc(a)(d)同名端+-+-adbc(a)(c)同名端6-1-3耦合电感的储能无源元件也可以用其VCR和上式代入下式来验证6-16-26-3单号(a)(c)双号(b)(d)作业：p.3706-2耦合电感的联接及去耦等效耦合电感基本联接方式：串联，并联和三端联接。去耦等效：把以上联接方式的耦合电感用无耦合的等效电路模型去代替。含耦合电感的电路不容易用观察法直接写出其电路方程，因此本节介绍采用等效变换的方法来消除两个线圈之间的互感耦合。6-2-1耦合电感的串联耦合电感的两线圈串联有两种可能：*L1M*L2+u1

-+u2

-+u

-

顺串L1

*M*L2+u1

-+u2

-+u

-

反串顺串：异名端相接。反串：同名端相接在图示参考方向下，耦合电感的伏安关系为：(下面推导中，顺串则互感电压取+，反串取－)*L1M*L2+u1

-+u2

-+u

-

顺串+u

-

串联等效顺串等效:反串等效:由耦合电感储能公式：算术平均值得：6-2-2耦合电感的并联同侧并联：(顺并)同名端两两相接。异侧并联：(反并)异名端两两相接。M+u-*L2i2

同侧并联

*L1i1i+u-i耦合电感的两线圈并联也有两种可能：图示电压、电流参考方向下，由耦合电感的伏安关系：M+u-L2*

i2

异侧并联

*L1i1i+u-i几何平均值由耦合电感储能公式：算术平均值由电感串联：几何平均值≤算术平均值耦合系数通常把M与它可能达到的最大值的比值叫做两耦合电感的耦合系数，记为k，即耦合系数反映了耦合电感的耦合程度：

k=1， 全耦合；

k≈1， 紧耦合；

k<0.2， 松耦合；

k=0， 无耦合。6-2-3耦合电感的三端联接将耦合电感的两个线圈各取一端联接起来就成了耦合电感的三端联接电路。这种联接也有两种可能：(1)同名端相联 (2)异名端相联+-+-同名端接去耦等效(1)同名端相接M+u1-*L2

*L1i1i1+

i2i2+u2-+-+-异名端接去耦等效(2)异名端相接M+u1-L2*

*L1i1i1+

i2i2+u2-例1

已知求：开关打开和闭合时的电流。+

-**a

b解：这种互感线圈常称自耦变压器+

-a

b异名端接去耦等效+

-**a

b开关K打开时+

-a

b异名端接去耦等效开关K闭合时+

-a

bLeq=8+8//2=9.6H6+3-2+14+3

+2-18-3-2-1例2：求等效电感Leq。解：两两去耦**

••621348°°

••6+3214+38-3°°6+3-214+3+28-3-2°°6-3空芯变压器电路分析

变压器是利用耦合线圈间的磁耦合来传输能量或信号的器件。通常有两个线圈。与电源相接的为初级线圈(原边)，与负载相接的为次级线圈(副边)。

习惯上，线圈绕在铁芯上，构成铁芯变压器；芯子是非铁磁材料时，构成空芯变压器。

铁芯变压器一般耦合系数接近1，属紧耦合，用于输配电设备；空芯变压器耦合系数一般较小，属松耦合，用于高频电路和测量仪器。注意：空芯变压器的分析是以互感的VCR作为基础；铁芯变压器的分析是以理想变压器作为基础。它们是两种不同的分析方法。正弦稳态分析空芯变压器可用耦合电感与电阻的组合作为其电路模型。R1、R2

：初、次级线圈的电阻+-**空芯变压器电路相量模型+-+-+-受控源等效电路原副边两回路的KVL方程为其中Z11、Z22分别是初、次级回路在无互感耦合时本身的阻抗，即初、次级回路的自阻抗。1。列写回路方程+-+-+-受控源等效电路联立求解，得从初级线圈两端看入的等效阻抗（初级输入阻抗）为：称为次级回路对初级回路的反映阻抗或引入阻抗。将反映阻抗记为Zref，它反映了次级回路通过磁耦合对初级回路的影响。则Zi=Z11+Zref。据此，可作出初级等效回路，很方便地求出初级回路电流。2。初、次级等效电路+-初级引入阻抗等效电路引入阻抗特点：(1)与同名端无关；(2)引入阻抗改变了初级阻抗的性质。若ZL=

，相当于次级未接，Zi=Z11

，即次级对初级无影响；若ZL=0，当k=1，线圈绕组近似为零时，即次级短路相当于(近似于)初级短路。本分析方法：(1)先求输入阻抗，(2)求初级电流(与同名端无关)，(3)求次级电流(与同名端有关)次级等效电路+-次级回路的电流为空芯变压器电路也可用去耦等效电路来分析。+-**+-例：求次级回路电流解：M+-**+-**(1)反映阻抗的概念+-初级等效电路+-次级等效电路(2)去耦等效电路+-带入数据用克莱姆法则

简单电阻电路分析电阻电路：除独立源外，由电阻、受控源以及独立源组成的电路。第一节电阻串、并、混联电路分析方法：等效变换等效变换：网络的一部分用VCR完全相同的另一部分来代替。用等效的概念可化简电路。二端网络N1、N2等效：N1与N2的VCR完全相同iR1

R2+u-N1+u-iN2Req注意：对外等效，对内不等效一、电阻串联若干个电阻首尾相接，且通过同一电流电阻Rk上的电压（分压公式）功率二、电阻并联电导Gk上的电流（分流）两个电阻并联时若干个电阻元件两端分别跨接到同一电压上。与电导值成正比，与电阻值成反比。功率三、电阻混联R2+-

usR4

R1R3K例：

R1=40Ω，R2=30Ω，R3=20Ω，R4=10Ω,

u

s=60V（1）K打开时，求开关两端电压（2）K闭合时，求流经开关的电流分析方法：应用电阻串并联等效化简的方法解：(1)各支路电流如图，则由假想回路，得+60V-R4R1R3R2I1I4+u-(2)所以+us

-R4R1R3R2I1IIsI2例：平衡电路。求I。Ia3Ω6Ω15Ω30Ωb3Ω+15V-R解：由于平衡，

(1)R上电流为0。

R可看作开路。因此，两种方法都可得(2)R上电压为0。

R可看作短路。例2-1-1

求下图电路a、b端看进去的等效电阻。解：在混联电路的等效化简过程中应注意以下几个问题：①短路线尽量缩短甚至可缩至一点②看清串联与并联串联一定是流过同一个电流并联一定是跨接同一个电压+60V-例2-1-2

计算下图电路中各支路的电流与电压。解：+60V-+60V-第二节实际电源的两种模型及简单含源电路分析i+u

-ab外电路一、实际电源的两种模型及其等效互换1.代维宁电路模型（1）i增大，RS压降增大，u减小（2）i=0，u=uS=u

oc，开路电压（3）u=0，i=i

Sc=u

s/Rs，短路电流（4）RS=0，理想电压源（黄线）代维宁特性2.诺顿电路模型i+u

-外电路（1）u增大，RS分流增大，i减小（2）i=0，u=u

oc=

RS′i

S，开路电压（3）u=0，i=iSc=i

s，短路电流（4）Rs′无穷大，理想电流源诺顿特性代维宁特性3.两种电源模型的等效转换诺顿特性等效转换条件（1）两种电源模型可互为等效转换i+u

-i+u

-（2）对外等效，对内不等效（3）理想电压源，RS=0，两种电源模型不能等效转换例将电源模型等效转换为另一形式abbacddc二、含独立源的简单电路的等效化简1.电压源串联a+u-

b+-+--++-a+u-

b+-2.电压源与电流源串联i+u

-a

bi+u-a

bN推广bi+u-ab3.电流源串联a+u-

bia+u-

bi...只有电流相等且参考方向相同时，电流源才能串联。+u-+v-ab+u-iSi4.电流源并联iiS1iS2abiSn5.电压源与电流源并联i+u

-abbi+u-ai+u-abN推广6.电压源并联只有电压相等且极性相同时，电压源才能并联。+u-i+uS-+uS-+uS-ab+u-i+uS-abR1

R2例化简下图解：R1

R2

R2例求电流IabI解：ab以左等效化简ababa

bababababI作业3：PP.82~852-3，2-4，2-6，2-11(a)Us=3e-4tmV第三节含受控源的简单电路分析原则：（1）与独立源一样处理（2）受控源存在时，控制量不能消失例2-3-1

化简下图电路为最简形式。解：图(c)电路a、b上VCR为ba(a)+-ba(b)+-ba(c)+-+-+-即ba(d)+-+-例2-3-2

化简下图电路为最简形式。解：图(c)电路a、b上VCR为即ba(d)+-+-ba(a)+-+-ba(b)+-ba(c)+-+-+-+-又则例2-3-3

化简下图a、b以左的有源二端网络。解：控制量u1与受控电流源不在一个连通的电路里，受控电流源的源电流与其端电压大小无关，受控电流源表现为具有独立电流源的性质。

求取含受控源的无源二端网络输入电阻的一般方法：加压求流法或加流求压法i

无源无源i

同理，若受控电压源与它的控制量不在一个连通的电路里，此时的受控电压源的源电压也流过它的电流无关，受控电压源表现为具有独立电压源的性质。u=Rii例2-3-4

求图中所示无源二端网络的输入电阻Rab

。解：a、b端子上的VCR为：4iu2R1iuR2u=R2i+R1

(i–4i)=(R2–3R1)i所以：Rab=u/i=R2–3R1Rab

可正、可负、可为零。为正输入功率，为负输出功率。例2-3-5

求图中电路的输入电阻Ri

。解：方法一：a、b端子上加压求流法u=5

i+1.5

i+3u2又：u2=1.5

i+3u2则：u2=-

0.75

i则：u=5

i+1.5

i-

3*0.75

i=4.25

i3Ωiu5Ωab3Ω6u2+-u2iu5Ωab3Ω2u2

u2

3Ωiu5Ωab1.5Ω+-+-3u2u2所以：Ri=u/i=4.25Ω例2-3-5

求图中电路的输入电阻Ri

。解：方法二：数值设定法设

u2=3Vu=5

i+

u2=-

17V

i=i1+i2=1-5=-4Au23Ωi2iu5Ωab3Ω6u2+-i1于是：Ri=u/i=-

17/(-4)=4.25Ω则：i2=u2

/3=1A例2-3-6

求图中电路的输入电阻Rab

。解：方法二：数值设定法设

i1=1Au=3

i+

u2=0.5

V

i=i1+i2=-0.5A于是：Ri=u/i=-

1Ω则：u2=2i1=2Vu2i2iu3Ω2Ωab2Ω5i1+-i1ciu3Ωab2Ω

2Ωi12.5i1c方法一：加压求流法u=3

i+2i1对c点列KCL：

i-2i1+2.5

i1=0u=3

i-

2*2i=-

i则：i1=-2

i所以：Rab=u/i=-1Ω例2-3-7

求图中电路的电压U1

。2A3Ω5Ω3U12ΩU1I+-2ΩU1-

+6V

15U13Ω5Ω解：由右图得：6=(2+5+3)I-

15

U1又因为：U1=2I则：6=10I-

15

*

2I=-

20I所以：I=

-

0.3AU1=2I=

-

0.6V作业4：PP.86~872-132-142-15第四节电阻星形联接与三角形联接的等效互换端子只有2个电流独立；2个电压独立。若N1与N2的

i1,i2,u13,u23间的关系完全相同，则N1与N2等效。三端网络的等效123i1i2i3N1123i1i2i3N2i11i22i3

3

R1

R2

R3Δ—Y互换两网络等效←→对应端子上的VCR相同i11i22i3

3R12R13R23三角形、△形、π形星形、Y形、T形Δ—Y互换(a)、(b)等效→

i1=

i1’，i2=

i2’，i3=

i3’i11i22i3

3

R1

R2

R3(a)i1’1i2’2i3’

3R12R13R23(b)对(b)：按KCL，端子处电流分别为：①Δ—Y互换i11i22i3

3

R1

R2

R3(a)对(a)，要找出端子处电流与端子间电压的关系稍许复杂一些，但是根据：②u12=

R1

i1

-R2i2

u23=

R2

i2

-R3i3和

i1+i2+i3=

0

可以解出电流：

不论电压u12

、

u23、

u31为何值，两个电路要等效，流入对应端子的电流就必须相等。

故①、②中电压前的系数应对应等效，于是得：③Y→Δ①②

由③式可以解得：Δ→Y③式用电导可表示为：为便于记忆，可利用下面的一般公式：三角形(Δ形)星形（Y形）特例：R12=R23=R31=RΔ时，则R1=R2=R3=RY，且例8

求:I解：

Δ—Y转换312R1R2R33I

10Ω42.6Ω

+9V

-5Ω210Ω4Ω2Ω1

42

42.6

+9V

-1I32R1R2R3作业5：P.862-12(1)4Sabc2S0.5S例13

求Uab和Ubcabc解：abcI设电流I例15

求电压u及受控源的功率.i1A2i+u-KCL:i1A2i+u-提供功率——有源性受控源的电阻性：W-=-=22iuR受72W1232u2ip-=-=×-=××例16

求电流i解：去5欧电阻，诺顿模型化为戴维南模型2i-

u1+2A-6u1+i-v1++4V-+3i--6v1+i得：i=-0.4A例17

化简电路解：受控源诺顿模型化为戴维南模型，去与电流源串联电阻abi合并电阻戴维南模型化为诺顿模型abiabiabiabiabi设端口电压v，KVLabiabi得负电阻例18

化简电路解：若电压源戴维南模型化为诺顿模型，则i1将消失，受控源失控ab列端口VCR，设电压v，电流iabiab例19

求等效电阻Rab解：端口加电压v，设电流

i.列端口VCRabi+v-例20

求等效电阻Rab解：端口加电压v.列端口VCR+v-iab消去v1摘要1．等效：两个单口(或多端)网络的端口电压电流关系(VCR)完全相同。网络的等效变换可以简化电路分析，而不会影响电路其余部分的电压和电流.2.常用电阻串并联公式来计算仅由线性电阻所构成单口网络的等效电阻。计算含受控源电阻单口网络等效电阻的基本方法是加压求流法。

电阻星形联接与电阻三角形联接的等效变换。电压源和电阻串联单口与电流源和电阻并联单口的等效变换等。4．由线性电阻和受控源构成的电阻单口网络，就端口特性而言，等效为一个线性电阻，其电阻值为3

实际电源的两种模型——戴维南电路模型和诺顿电路模型。它们之间的相互转换傅氏变换的不足：①许多信号不满足绝对可积条件虽借助于广义函数求得傅氏变换，但频谱中出现冲激函数，计算较麻烦。再如信号则不存在傅氏变换傅氏变换分析法在信号分析和处理方面十分有效傅氏变换的不足：②傅氏变换分析法只能求取零状态响应

拉普拉斯变换分析拉普拉斯变换（简称拉氏变换）可看作一种广义的傅氏变换，将频域扩展为复频域，简化了信号的变换式，扩大了信号的变换范围，为分析系统响应提供了统一和规范化的方法。9-1拉普拉斯变换9-1-1从傅氏变换到拉氏变换信号不满足绝对可积条件的原因上两式称一对拉普拉斯变换式正变换反变换拉氏变换扩大了信号的变换范围变换域的内在联系时域函数频域函数时域函数复频域函数由于实际信号都是有始信号，即或者只需考虑

t≥0的部分，此时积分下限用0-

目的是把t=0时可能出现的冲激包含进去，这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初始状态f(0-)，但反变换的积分限并不改变。以后只讨论单边拉氏变换，并把单边拉氏变换简称拉氏变换。单边拉普拉斯变换拉氏变换的收敛域信号f(t)乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的条件是否一定满足，还要看f(t)的性质与σ的相对关系通常把使f(t)e-σt满足绝对可积条件的σ值的范围称为拉氏变换的收敛域如：有始有终的能量信号按指数规律增长的信号，如eαt比指数信号增长的更快的信号，如找不到σ0，不存在拉氏变换单边拉氏变换的收敛域是复平面(s)内，Re(s)=σ＞σ0区域单边拉氏变换由于收敛域比较容易确定，一般情况下不再标注收敛域。9-1-2一些典型信号的拉氏变换1.指数信号由此，可导出一些常用函数的拉氏变换：(b)单边正弦信号(c)单边余弦信号(d)单边衰减正弦信号(e)单边衰减余弦信号(f)单边双曲正弦信号

单边双曲余弦信号2.t的正幂信号

(n为正整数)由定义：对上式进行分部积分，令可见：依次类推：特别是n=1时，有3.冲激函数根据冲激函数作为广义函数的定义故即3.σ0=0，拉氏变换和付氏变换都有小结：只有拉氏变换而无付氏变换1.增长指数信号eαtε

(t)(α>0)2.σ0<0，σ可以为0拉氏变换和付氏变换都有jω→s，如e-αtε

(t)拉氏变换与傅氏变换相差冲激或冲激函数的导数，如ε

(t)、tε

(t)等9-1(1)(7)作业：p.5609-2拉氏变换的性质1.线性2.比例性（尺度变换）3.时移性t0t0观察下列图形的时移关系(p.517例9-2-1)t0t0解：（1）和（2）的单边拉氏变换相同例求锯齿波的拉氏变换解：tTETtk=-E/TtTEtTE由时移性：由时移性：所以：或者利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换设f1(t)表示第一个周期的函数周期信号的拉氏变换等于它的第一周期内波形的拉氏变换F1(s)乘以因子例9-2-3

求半波正弦函数的拉氏变换再由比例性由时移性解：信号之间的关系另解再由时移性由比例性4.频移性5.时域微分性主要用于研究具有初始条件的微分方程证明:由定义同理可得依此类推,可得若f(t)为有始函数,则10t1-10t由题图可知由于f(0-)不同，所求f(t)导数的拉氏变换不同6.时域积分性证明:由定义所以若积分下限由-

开始证明:7.复频域微分同理:证明:8.复频域积分9.卷积定理a.时域卷积拉氏变换无对称性。b.复频域卷积例求下列函数的拉氏变换有下列公式例：求函数f1(t)的拉氏变换法一.按定义式求积分t2110法二.利用线性叠加和时移定理t-1211(2)0(1)(1)t法三.利用微分积分性质.例求单边拉氏变换.解：

拉普拉斯反变换1.简单的直接用表9-1-1及性质<表9-2-1>得到例:例:解：例：解：化简的第一步是化成真分式例:求取复杂拉氏变换式的反变换可采用：围线积分或部分分式展开法。2.部分分式展开含真分式(1).D(s)=0的根是实根且无重根D(s)是s的多项式，可以进行因式分解左右两边同乘以因子(s-si)，再令s=si(i=1,2,…,n)例:解：(2).D(s)=0的根有复根且无重根由掩盖法得：(3).D(s)=0的根有重根

可通过对应项系数相等或公式法得到依次类推它们的拉氏反变换可通过频域微分性质得到掩盖法另解：先不考虑频移，已知例:求下列函数的拉氏反变换解：时移性质解：长除法解：频域积分例求拉氏反变换解：1-102t1-102t1-102t9-8(5)9-9(1)作业：p.5629-4拉普拉斯变换分析法

拉普拉斯变换分析法(复频域分析法)是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s

域的代数方程，便于运算和求解；变换自动包含初始状态，既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。线性网络（零状态）输入激励9-4-1零状态响应时域e(t)*h(t)=r(t)输出响应卷积法频域E(ω)·

H(ω)=R(ω)傅氏分析法复频域E(s)·

H(s)=R(s)拉氏分析法零状态响应的拉氏分析法步骤例9-4-1解：(1)+-(2)作出电路的复频域模型+-(3)求网络函数H(s)+-(4)求响应的变换I2(s)+-(5)求i2(t)解：复频域电路模型如图所示对节点a,

b列写节点方程ab经整理并联立求解得拉氏变换分析的优点1.把微分方程转化成代数方程3.已知电路也可求解2.0-

到

作单边拉氏变换，零状态自动包含其中9-4-2全响应

拉氏变换分析法的优越性之一是：不仅能分析零状态响应，还能分析全响应。

可根据复频域电路模型，从电路中直接列写求解复频域响应的代数方程，反变换求得响应。电阻基本元件的复频域模型+-+-电容+-+-+

-+-电感+-+--++-注意2.等效端子4.初始状态是电感电流或电容电压时，才用运算等效电路1.内电源极性只与电容两端电压有关例：解：由KVL+-+-+-+-+-零状态响应零输入响应全响应选定参考节点后，列写a点的节点方程a

-+其次画出电路的复频域电路模型，如图所示代入数据整理得例：给定系统的微分方程已知激励信号对应的响应为求系统的初始状态y(0-)，y'(0-)及系统的零输入响应，零状态响应。

线性时不变电路的激励响应关系总可由微分方程来描述。当电路的微分方程给定时（激励已知），则只要对微分方程进行拉氏变换，将时域中的微分方程变成复频域中的代数方程，再进行反变换求得响应的时域解。解：根据拉氏变换的微分性，对微分方程两边作拉氏变换激励信号代入上式对全响应作拉氏变换，有

理想变压器和全耦合变压器

理想变压器也是一种耦合元件。它是实际变压器在理想条件下的电路模型。理想变压器的电路符号如下图，在如图同名端、电压和电流参考方向下，理想变压器的伏安关系为：+-+-**n:1理想变压器的唯一参数是变比(或匝比)：n

由理想变压器的伏安关系可以看出，理想变压器已经没有电感或耦合电感的作用了，故理想变压器的电路模型也可以画出受控源的形式：+-+-+-+-+-**n:1(3)自感系数L1和L2

均为无限大，但L1/L2等于常数，互感系数也为无限大。

理想变压器可以看成是耦合电感或空芯变压器在理想条件下的极限情况:(1)耦合电感无损耗，即线圈是理想的；(2)耦合系数k=1，即是全耦合；+-+-**n:1由于同名端的不同，理想变压器还有另一个电路模型，其伏安关系为当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况，这两种VCR仅差一个符号。下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压器着手推导理想变压器的VCR：当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况，由耦合线圈的VCR：6-4-1理想变压器伏安关系推导这里仅讨论第一种(相加的)情况。当耦合系数k=1时：dtdiMdtdiLuudtddtddtduML21111121111±=±=j±j=j=dtdiMdtdiLuudtddtddtduML12222212222±=±=j±j=j=电流在本线圈中产生的磁通全部与另一个线圈相交链，即：若初、次级线圈的匝数分别为N1和

N2，则两线圈的总磁链分别为：式中，称为主磁通，由电磁感应定律，初、次级电压分别为故得：由耦合电感VCR的第一式：从-

到t积分，有得：由自感、互感的定义：得：于是：**保持不变，即由于u1为有限值，满足理想化的第三个条件，有

由理想变压器的伏安关系，可以得出：理想变压器是一种无记忆元件，也称即时元件。如代入上述伏安关系，理想变压器的吸收功率为：

可见：理想变压器既不耗能，也不储能。从初级线圈输入的功率全部通过次级线圈传递给负载。

理想变压器以n倍关系变换电压与电流，这个关系不仅适用于正弦稳态，也适用于非正弦的暂态，即适用于任何时刻、任意波形的电压、电流。

理想变压器虽可看作耦合电感的极限情况，其电路符号也与耦合电感相同，但它与耦合电感有本质的区别。耦合电感理想变压器VCR线性微分方程线性代数方程元件性质动态、记忆、储能元件静态、无记忆、既不耗能也不储能表征参数L1、L2、Mn为了方便，习惯上把由于同名端不同而引起的两种伏安关系合并成一种，且不带负号。两线圈的电压（标同名端处假设为正极）、电流（一侧流入另一侧流出）应如下图假设：+-+-**n:1+-+-**n:1+-**n:1+-+-**n:1+-p.356例6-4-16-4-2理想变压器的阻抗变换由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以以n倍的关系变换电压、电流外，还可以以n2倍的关系变换阻抗。如：从初级看进去的等效电阻为+-+-**RLn:1+-+-+-**n:1显然，输入电阻仅与匝比有关，与同名端无关。对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参考方向，理想变压器伏安关系的相量形式为：若次级接负载阻抗，则从初级看进去的等效阻抗为上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广：1.并联阻抗可以从次级搬移到初级；2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。+-+-**n:1adcbN1.并联阻抗可以从次级搬移到初级；+-+-**n:1adcbN(a)由图(a)：得图(b)。其中：(b)2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。+-+-**n:1adcbN+-(a)由图(a):得图(b)。+-+-**n:1adcbN(b)应该指出：阻抗的n2

倍与元件的n2倍是不一样的。电阻和电感意义相同；而电容意义刚好相反:利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。例如：ac+-**n:1dbN+-**n:1adcbN简化为电源也可以“搬移”。不过，电源搬移与同名端有关。*adcbN+-*n:1dcN+-由理想变压器的VCR，简化成没有变压器的电路。解：将次级折合到初级**+-+-1:10+-例4.含理想变压器电路如图，试求和。由理想变压器的伏安关系例8-5在如图所示电路中，已知内阻，负载电阻，求n=?时，负载电阻与电源达到最大功率匹配？此时，负载获得的最大功率为多少？解：将次级折合到初级，根据最大功率匹配条件有**+-n:1+-此时，达到最大功率匹配。由于理想变压器既不能耗能也不能储能，故等效电路中吸收的功率就是原电路获得的功率，**+-n:1例8-6要使负载获得最大功率，求：这时，可变化的只是变比n，这就是“模匹配”的情况。+-解：将次级折合到初级，不可能达到共扼匹配。

一般地，理想变压器内阻，变换后的阻抗，当仅负载阻抗的模可变时，不可能达到共扼匹配，求负载获得最大功率的条件：下面证明：负载中电阻吸收的功率：要使P达到最大，必须这时，负载获得最大功率。这种情况称为“模匹配”。模匹配时负载中电阻吸收的功率一般比达到共扼匹配时的功率小。6-15 6-19(a)作业：p.374则电阻上没有电流。解：运用VCR：+-+-3:1**....例8-9例10.解：由VCR和KCL：1:2...**解上两式，得例8-11：电路初始状态为零，t=0开关闭合，试求t>0时的电流i(t)。解：由已知参数，此乃全耦合变压器，其等效电路为：2H+-**i(t)其中，将理想变压器次级搬移到初级，得等效电路，利用一阶电路的三要素法求解。+-**n:1i(t)+-思考：若需求，应如何求解？与是不是n倍的关系？解：按图示假设电压、电流。例8-12求输入阻抗。法一：列方程n:1*+-+-+-*......法二:..求输入阻抗:解：按图所示假设电压、电流。..n:1*+-+-+-*...由上题完全类似，可得：P.247.例8-9就是实例：戴维南等效电路的输出阻抗为：开路电压由理想变压器的VCR直接得到：6-5一般变压器的电路模型

一般变压器可以用电感或空芯变压器的分析方法，也可以用含有理想变压器的等效电路的方法来分析。这其实也就是变压器电路分析的两种方法。

一般变压器的初、次级电感不会是无限大，耦合系数k

也小于1，因此实际变压器模型必须在理想变压器模型的基础上进行修正。

可先在理想变压器基础上推出当k=1但L不满足无限大的全耦合变压器模型，然后再推出当k不为1、L也不为无限大的一般变压器模型。6-5-1全耦合变压器的电路模型

实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而不满足第三个条件，即k=1但L不为无限大，这就是全耦合变压器。两线圈的电压关系同理想变压器，电流关系有**式，即可见，全耦合变压器的初级电流由两部分组成，其中称为激磁电流或空载电流。其等效电路模型如图所示。+-+-**n:1次级开路时，初级电流i1=iφ，它流过变压器初级激起磁链，并感生与电源电压相平衡的电压u1。工程上为了近似获得理想变压器的特性，通常采用导磁率

很高的磁性材料做变压器的芯子。而在保持匝比不变的情况下，增加线圈的匝数，并尽量紧密耦合，使k接近于1。同时使L1

、L2、M非常非常大，认为增大到无限大。+-+-**n:1图中，L1称为激磁电感。L1越大，建立相同磁链所需要的激磁电流越小。这也说明理想变压器由于L1为无穷大(极限情况)，故不需要激磁电流，就可以在铁芯中产生磁场。

一般变压器的初、次级电感不会是无限大，耦合系数

k

也小于1，现在先看一般的互感线圈(见图a)，由于存在漏磁通，可以想象为如图(b)所示的全耦合电感和漏电感组成；再运用理想变压器的等效电路，即可得到一般变压器的含理想变压器的等效电路(见图c)。6-5-2一般变压器的电路模型**++-

-

(a)**++-

-

(b)**++

-

-++

-

-

(c)**++-

-

(a)由图(a):由图(c):**++--++-

-(c)+-+-+-由图(a):**++--++-

-(c)+-+-+-由图(a):这两种方法可以相互等效：当取时：**++

--++-

-**++-

-

理想变压器全耦变压器一般变压器如果还需考虑线圈的绕线电阻和铁芯损失，铁芯变压器的电路模型如下图所示：当然，如果还要考虑线圈的匝间电容等，即还有相应的等效电路。**n:1

线性网络的一般分析方法

电阻电路分析法：一、等效变换—求局部响应不是对任何电路都合适或方便二、一般分析方法—系统化求响应网孔分析法与节点分析法（全面求解网络 的规范化分析法）三、网络定理一般分析方法包括：1 支路法2 网孔法3 节点法4 回路法5 割集法一般分析方法基本步骤：1 选一组特定变量2 列方程：两类约束3 求解变量4 求待求响应第一节网孔分析法网孔分析法是以网孔电流为待求变量，直接列写网孔的KVL方程的一种分析法。网孔：独立回路网孔电流：沿网孔边界流动的假想电流。网孔电流性质：独立，完备

独立性——彼此不能相互表示，不受KCL约束

完备性——其他量都可用它们表示A

i1+i6-i3=0B-i1+i2+i5=0C-i2+i3+i4=0D-i4–i5–i6=0各支路电流参考方向如图，在A、B、C、D四个节点上列KCL方程：①六条支路、四个节点以上四方程互相并不独立，从其中任意三个可得到余下的一个。如A+B+C=D。分析：4个节点，6条支路。只有3个独立节点，可列3个独立KCL方程；3个独立回路，可列3个独立KVL方程。具有独立的KCL方程的节点称为独立节点。独立节点的选取：选一个为参考节点，其余即为独立节点。拥有独立的KVL方程的回路称作独立回路。独立回路的选取：每选一个新回路，应含一条特有的新支路。选取一组最少变量应满足：

独立性——彼此不能相互表示，不受KCL约束

完备性——其他量都可用它们表示结论：一般：n个节点，b条支路。只有(n-1)个独立节点，可列(n-1)个独立KCL方程；独立回路数l=b-(n–1)

个，可列l

个独立KVL方程。（常选网孔为独立回路）①式中取前三个为独立的KCL方程，若支路电流i1、i2、i3已知，则其余三个支路电流i4、i5、i6即可求得：

i4

=i2

-i3

i5

=i1

-i2②i6

=-i1

+i3与第I网孔相关的各支路电流均包含有电流i1的分量；与第II网孔相关的各支路电流均包含有电流i2的分量；与第III网孔相关的各支路电流均包含有电流i3的分量。假想有一个电流i1在沿着第I网孔边界流动，称之为第I网孔的网孔电流；第II网孔中有一个电流i2在沿着网孔边界流动，称之为第II网孔的网孔电流；第III网孔中有一个电流i3

在沿着网孔边界流动，称之为第III网孔的网孔电流。网孔分析法就是以假想的网孔电流为待求变量列方程求解的方法。对三个网孔列KVL方程如下：网孔IuAB

+uBD+

uDA

=0网孔IIuBC

+uCD+

uDB

=0

③网孔IIIuCA

+uAD+

uDC

=0各支路VCR如下：uAB=

R1i1-

uS1 uBC=

R2i2+

uS2 uCA=

R3i3–

uS3

④uCD=

R4i4–

uS4=

R4(i2–

i3)-

uS4uBD=

R5i5

=

R5(i1–

i2)uAD=

R6i6

=

R6(-i1+

i3)将④式代入③