《线性代数》课件-第四章 向量组的线性相关性

第四章

向量组的线性相关性4.1

向量组及其线性组合4.2

向量组的线性相关性4.3

向量组的秩4.4

线性方程组的解的结构4.5

向量空间§1

向量组及其线性组合定义1：n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量．分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．备注：本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量．本书中，列向量用黑色小写字母a,b,a,b等表示，行向量则用aT,bT,aT,bT

表示．一、基本概念定义2：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组．（2）当R(A)<n

时，齐次线性方程组Ax=0

的全体解组成的向量组含有无穷多个向量．如例如（1）注:(1)向量组中的向量必须是同型向量.(2)一个向量组可含有限多个向量，也可含无限多个向量.结论1：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组问:?答:二、矩阵与向量组三、向量组的线性组合

定义3：给定向量组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数k1,k2,…,km

，表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A

的一个线性组合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．

定义4：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组

A

线性表示．例：设那么线性组合的系数e1,e2,e3的线性组合一般地，对于任意的n维向量b

，必有n

阶单位矩阵En

的列向量叫做n

维单位坐标向量．

n

维单位坐标向量有几个?

四、向量组之间线性表示的判断法

回顾：线性方程组的表达式一般形式向量方程的形式增广矩阵的形式向量组线性组合的形式方程组有解？向量是否能用线性表示？结论1：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．向量b能由向量组

A线性表示线性方程组Ax=b

有解定理1设有向量b和向量组A:a1，

a2，…….，an

.定义5：设有向量组

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl若向量组

B

中的每个向量都能由向量组

A

线性表示，则称向量组

B

能由向量组

A

线性表示．若向量组A

与向量组B

能互相线性表示，则称这两个向量组等价．问：怎么判断向量组

A：a1,a2,…,am能由向量组B：b1,b2,…,bl

线性表示？设有向量组

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量组

B

能由向量组

A

线性表示，即线性表示的系数矩阵设有向量组

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量组

B

能由向量组

A

线性表示，即对于b1，存在一组实数k11,k21,…,km1

，使得b1=

k11a1+k21

a2+…+km1

am；对于b2，存在一组实数k12,k22,…,km2

，使得b2=

k12a1+k22

a2+…+km2

am；……对于bl，存在一组实数k1l,k2l,…,kml

，使得bl=

k1la1+k2la2+…+kmlam若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即则结论：矩阵C

的列向量组能由矩阵A

的列向量组线性表示，

B

为这一线性表示的系数矩阵．若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即则结论：矩阵C

的行向量组能由矩阵B

的行向量组线性表示，

A

为这一线性表示的系数矩阵．口诀：左行右列结论：若C=AB，那么矩阵C

的行向量组能由矩阵B

的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．（A

在左边）矩阵C

的列向量组能由矩阵A

的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．（B

在右边）A经过有限次初等列变换变成B存在m

阶可逆矩阵

P，使得AP=B矩阵B

的列向量组与矩阵A

的列向量组等价矩阵B

的行向量组与矩阵A

的行向量组等价同理可得把

P

看成是线性表示的系数矩阵向量组

B：b1,b2,…,bl能由向量组A：a1,a2,…,am线性表示 存在矩阵K，使得AK=B

矩阵方程AX=B

有解

R(A)=R(A,B)（P.84定理2）

R(B)≤

R(A)（P.86定理3）推论：向量组

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)．证明：向量组

A和B等价

向量组

B能由向量组A

线性表示

向量组

A能由向量组B

线性表示从而有R(A)=R(B)=R(A,B)．因为R(B)≤

R(A,

B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)例：设证明向量b能由向量组A：a1,a2,a3

线性表示，并求表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)．因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

线性表示．行最简形矩阵对应的方程组为通解为即b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．向量b

能由向量组A

线性表示线性方程组Ax=b有解.故例2：证明向量组A与B等价，其中证：向量组A,B等价R(A)=R(B)=R(A,B).所以

R(A)=R(B)=R(A,B).故向量组A,B等价.例3:设有n×m矩阵A=(a1,a2,…,am)

，试证：n

维单位坐标向量组能由矩阵A

的列向量组线性表示的充分必要条件是R(A)=n．证：因为n

维单位坐标向量组构成的矩阵为En

，所以n

维单位坐标向量组能由矩阵A

的列向量组线性表示

R(A)=R(A,E).显然R(A,E)=n,故

R(A)=n.小结向量

b

能由向量组

A线性表示线性方程组

Ax=b

有解向量组

B

能由向量组

A线性表示矩阵方程组AX=B

有解向量组

A

与向量组

B等价课堂练习

1.把向量

表示成向量

1,

2,

3

的线性组合,其中知识结构图n维向量向量组向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的等价判定定理及必要条件判定定理作业P106：1，2§2

向量组的线性相关性回顾：向量组的线性组合定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数k1,

k2,…,km

，表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A

的一个线性组合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．定义：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则称向量b能由向量组A

的线性表示．引言问题1：给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表 示？问题2：如果零向量可以由向量组A线性表示，线性组合的

系数是否不全为零？向量b能由向量组

A线性表示线性方程组Ax=b

有解P.83定理1的结论：问题1：给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表示？问题1′：齐次线性方程组Ax=0是否存在解？回答：齐次线性方程组Ax=0一定存在解．事实上，可令k1=k2=…=km=0，则k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）问题2：如果零向量可以由向量组A线性表示，线性组合的系数

是否不全为零？问题2′：齐次线性方程组Ax=0是否存在非零解？回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数

不一定不全于零．例：设若则k1=k2=k3=0．一、向量组的线性相关性定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的．向量组A：a1,a2,…,am线性相关m元齐次线性方程组Ax=0有非零解R(A)<

m备注：给定向量组A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一．向量组A：a1,a2,…,am线性相关，通常是指m≥2的情形.若向量组只包含一个向量：当

a

是零向量时，线性相关；当

a不是零向量时，线性无关．向量组A：a1,a2,…,am(m≥2)线性相关，也就是向量组A

中，至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示． 特别地，a1,a2线性相关当且仅当a1,a2的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线．a1,a2,a3

线性相关的几何意义是三个向量共面．向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关 存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齐次线性方程组

Ax=0有非零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m． 向量组A

中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性 表示．二、线性相关性的判定向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．

m元齐次线性方程组

Ax=0只有零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m． 向量组A

中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线 性表示．向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关 存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齐次线性方程组

Ax=0有非零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m． 向量组A

中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性 表示．向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．

m元齐次线性方程组

Ax=0只有零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m． 向量组A

中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线 性表示．例1：试讨论n

维单位坐标向量组的线性相关性．解：设有使得即故n

维单位坐标向量组的线性无关.例2：已知试讨论向量组a1,a2,a3

及向量组a1,a2

的线性相关性．解：可见R(a1,a2,a3

)=2，故向量组a1,a2,a3

线性相关；同时，R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关．例3：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题．例3：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解法1：转化为齐次线性方程组的问题．已知，记作B=AK．设Bx=0，则(AK)x=A(Kx)=0．因为向量组a1,a2,a3

线性无关，所以Kx=0．又|K|=2≠0，那么Kx=0只有零解

x=0，从而向量组b1,b2,b3线性无关．例3：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解法2：转化为矩阵的秩的问题．已知，记作B=AK．因为|K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量组a1,a2,a3

线性无关，R(A)=3，从而R(B)=3，向量组b1,b2,b3线性无关．三、相关结论（定理5）

(1)若向量组A：a1,a2,…,am线性相关，则向量组B：a1,a2,…,am,am+1

也线性相关．（部分相关，整体相关） 其逆否命题也成立，即若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关．．（整体无关，部分无关）(2)m

个n

维向量组成的向量组，当维数n

小于向量个数m

时，一定线性相关． 特别地，n+1个n

维向量一定线性相关．(3)设向量组A：a1,a2,…,am线性无关，而向量组B：a1,a2,…,am,b

线性相关，则向量b

必能由向量组A

线性表示，且表示式是唯一的．

(1)若向量组A：a1,a2,…,am线性相关，则向量组B：a1,a2,…,am,am+1

也线性相关．

证：

因为向量组A：a1,a2,…,am线性相关，所以R（A）<m，而R（B）≤

R（A）+1<m+1,故向量组B：a1,a2,…,am,am+1

也线性相关.

(2)m

个n

维向量组成的向量组，当维数n

小于向量个数m

时，一定线性相关． 证：设该向量组对应m

行n列的矩阵A，

则由矩阵秩的性质R（A）≤

min{m,n}=n<m,故向量组线性相关.(3)设向量组A：a1,a2,…,am线性无关，而向量组B：a1,a2,…,am,b

线性相关，则向量b

必能由向量组A

线性表示，且表示式是唯一的．

证：因为向量组A：a1,a2,…,am线性无关，所以R（A）=m.而向量组B：a1,a2,…,am,b

线性相关，所以R（B）<m+1.又因为R（B）≥R（A）=

m,所以R（B）=m=R（A），即R（A）=R（A，b）=m，故向量b

必能由向量组A

线性表示，且表示式是唯一的．

例设向量a1,a2,a3

线性相关，向量组a2,a3

，a4

线性无关，

证明：（1）a1能由a2,a3线性表示；（2）a4

不能由a1,a2,a3

线性表示.

证：(1)因为a2,a3

，a4

线性无关，由定理5（1）知a2,a3

无关，又因为a1,a2,a3

线性相关，再根据定理5（3）a1能由a2,a3线性表示.(2)用反证法.设a4

能由a1,a2,a3

线性表示，又由（1）知a1能由a2,a3线性表示，故a4

能由a2,a3

线性表示，这与a2,a3

，a4

线性无关矛盾，所以）a4

不能由a1,a2,a3

线性表示.

思考题：P110：8

课堂练习：P110：9小结一、

向量组线性相关(无关)的定义定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的．向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关 存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齐次线性方程组

Ax=0有非零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m． 向量组A

中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性 表示．二、线性相关性的判定向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．

m元齐次线性方程组

Ax=0只有零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m． 向量组A

中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线 性表示．三、其它结论：定理（P.90定理5）

(1)若向量组A：a1,a2,…,am线性相关，则向量组B：a1,a2,…,am,am+1

也线性相关．（部分相关，整体相关） 其逆否命题也成立，即若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关．．（整体无关，部分无关）(2)m

个n

维向量组成的向量组，当维数n

小于向量个数m

时，一定线性相关． 特别地，n+1个n

维向量一定线性相关．(3)设向量组A：a1,a2,…,am线性无关，而向量组B：a1,a2,…,am,b

线性相关，则向量b

必能由向量组A

线性表示，且表示式是唯一的．

作业题：P110：10，11（

§3

向量组的秩矩阵线性方程组有限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应Ax=b

有解当且仅当向量b

可由矩阵A的列向量组线性表示课本P.

88定理4：向量组A：a1,a2,…,am线性相关的充要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m；向量组A：a1,a2,…,am线性无关的充要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m．矩阵线性方程组有限向量组无限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b

有解当且仅当向量b

能否由向量组A

线性表示向量组与自己的最大无关组等价

n元线性方程组

Ax=b其中A是n×m

矩阵矩阵(A,b)向量组A:a1,a2,…,an

及向量b是否存在解？R(A)=R(A,b)成立？向量b

能否由向量组A线性表示？无解R(A)<R(A,b)NO有解R(A)=R(A,b)YESx的分量是线性组合的系数唯一解R(A)=R(A,b)

=未知数个数表达式唯一无穷解R(A)=R(A,b)

<未知数个数表达式不唯一回顾：矩阵的秩定义：在m×n

矩阵A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2

个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k

阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．规定：零矩阵的秩等于零．定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式

D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么

D称为矩阵A

的最高阶非零子式，数r

称为矩阵

A

的秩，记作R(A)．结论：矩阵的秩

=矩阵中最高阶非零子式的阶数

=矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数一、向量组的秩的概念定义1

设有向量组A

，如果在A

中能选出r个向量a1,a2,…,

ar，满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A

中任意r+1个向量（如果A

中有r+1个向量的话）都线性相关；那么称向量组A0是向量组A

的一个最大线性无关向量组(Maximalsystemoflinearindependence)，简称最大无关组．最大无关组所含向量个数r

称为向量组A

的秩(Rankofvectorsystem)，记作RA．例1：求矩阵的秩，并求A

的一个最高阶非零子式．并求其列向量组和行向量组的秩.二、最大无关组的求法第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列

，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．解：（1）第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．R(A0)=3，计算

A0的前

3行构成的子式因此这就是A

的一个最高阶非零子式．结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的．（2）根据

R(A0)=3

可知：A0的

3个列向量就是矩阵A

的列向量组的一个线性无关的部分组．在矩阵A任取4个列向量，根据

R(A)=3

可知：A中所有4阶子式都等于零，从而这4个列向量所对应的矩阵的秩小于

4，即这4个列向量线性相关．A0的

3个列向量就是矩阵A

的列向量组的一个最大线性无关组．矩阵A

的列向量组的秩等于3．同理可证，矩阵A

的行向量组的秩也等于3．矩阵线性方程组有限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b

有解当且仅当向量b

能否由向量组A

线性表示一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.90定理6）备注：矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.90定理6）今后，向量组a1,a2,…,am的秩也记作R(a1,a2,…,am)．若Dr

是矩阵A

的一个最高阶非零子式，则Dr所在的

r

列是A

的列向量组的一个最大无关组，Dr所在的

r行是A

的行向量组的一个最大无关组．向量组的最大无关组一般是不唯一的．例2：已知试讨论向量组a1,a2,a3

及向量组a1,a2

的线性相关性．并求其最大无关组.解：可见R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关，同时，R(a1,a2,a3

)=2，故向量组a1,a2,a3

线性相关，从而a1,a2

是向量组a1,a2,a3的一个最大无关组．事实上，a1,a3

和a2,a3也是最大无关组．三、向量组与其最大无关组的关系结论：向量组A

和它自己的最大无关组A0是等价．证：只需证明向量组A

与A0可以互相线性表示即可.

先证向量组A

能由向量组A0线性表示即可.

设，而是

其一个任意最大无关组，则显然的每个向量都能由向量组线性表示，即

又因为是向量组A的最大无关组，所以A中任意向量添加到后的r+1个向量必线性相关.于是也能由向量组线性表示，故向量组A

能由向量组线性表示.反之，向量组也能由向量组A线性表示，只需所以向量组A

和它自己的最大无关组A0是等价的．证：由已知条件可知，向量组A

与向量组A0

等价，所以.故向量组A0是向量组A

的一个最大无关组.推论：设有向量组A

，如果在A

中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A

中任意一个向量都能由向量组A0

线性表示；那么A0是向量组A

的一个最大无关组．矩阵线性方程组有限向量组无限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b

有解当且仅当向量b

能否由向量组A

线性表示向量组与自己的最大无关组等价四、最大无关组的意义结论：向量组A

和它自己的最大无关组A0是等价的．用A0来代表A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体． 特别，当向量组A为无限向量组，就能用有限向量组来代表．凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去．例3：全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn的一个最大无关组及Rn的秩．解：

n阶单位矩阵的列向量组是Rn的一个最大无关组，Rn的秩等于n．思考：n阶上三角形矩阵的列向量组是Rn的一个最大无关组吗？例4：设齐次线性方程组的通解是试求全体解向量构成的向量组S

的秩．解：已知方程组通解为令则显然向量组

A线性无关.而齐次线性方程组的解全体解向量构成的向量组S

的每个向量都可以由向量组

A线性表示，故向量组

A是向量组S

的一个最大无关组，所以R(S)=2.例5：求矩阵的列向两组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示３．取行阶梯形矩阵中首个非零元所在的列，与之对应的是选取A的第一、二、四列．

解：１．先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．２．R(A)=3．即列向量组的秩等于３．A0的

3个列向量就是矩阵A

的列向量组的一个最大无关组．思考：如何把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的线性组合？思路1：利用P.83定理1的结论思路2：利用矩阵A

的行最简形矩阵．向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b

有解令A0

=

(a1,a2,a4)求解A0x

=

a3

A0x

=

a5解（续）：为把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的线性组合，把矩阵A

再变成行最简形矩阵于是Ax=0与Bx=0，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0同解．即矩阵

A的列向量组与矩阵

B的列向量组有相同的线性关系.可以看出：

b3=−b1−b2 b5=4b1+3b2−3b4所以

a3=−

a1−

a2 a5=4a1+3a2−3a4课堂练习习题四11（1），12（1）小结一、最大线性无关组的概念二、向量组的秩的概念四、最大无关组的求法三、矩阵的秩与行/列向量组的秩的关系五、向量组与其最大无关组的等价关系作业P108:11（2），12（2）矩阵线性方程组有限向量组无限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax=b

有解当且仅当向量b

能否由向量组A

线性表示向量组与自己的最大无关组等价§3

向量组的秩(续)上节内容回顾最大线性无关组所含向量的个数向量组的秩矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组定义求法向量组定义1向量组A0为向量组A

的最大无关组，若满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A

中任意r+1个向量都线性相关.向量组A

中任意一个向量都能由向量组A0

线性表示；求矩阵A

的一个最高阶非零子式Dr，则Dr所在的

r

列是A

的列向量组的一个最大无关组，Dr所在的

r行是A

的行向量组的一个最大无关组．推论

向量组

A

与向量组

B等价定理1

向量

b

能由向量组

A线性表示定理2向量组

B

能由向量组

A线性表示定理3向量组

B

能由向量组

A线性表示设有向量组和，则和，则向量组

定理2'向量组能由向量组线性表示的充要条件是证：设向量组和的极大无关组分别为

与，与等价.故向量组能由线性表示向量组能由线性表示又因为且

故五、向量组的线性表示与向量组的秩推论1向量组能由向量组线性表示的推论2向量组与向量组等价的充分必要

充分必要条件是

条件是定理3'向量组能由向量组线性表示，则即

证：设，且两个向量组的极大无关组分别为和

则向量组能由线性表示,再由定理3得六、向量组的线性相关性与向量组的秩定理5设有向量组则向量组线性相关向量组线性无关证：

由定理2.4可知，向量组线性相关又因为故向量组线性相关同理可证向量组线性无关的充要条件.

向量组B能由向量组A线性表示R(A)=R(A,B)是否成立?向量组A与向量组B等价R(A)=R(B)=R(A,B)向量组A线性相关R(A)<m

例6设向量组B能由向量组A线性表示，且

它们的秩相等，证明向量组A与向量组B等价.

证：已知向量组B能由向量组A线性表示，则由定理2可知，R(A)=R(A,B).又因R(A)=R(B)，故

R(A)

=R(B)=R(A,B).再由定理4，向量组A与B等价.

§4

线性方程组的解的结构回顾：线性方程组的解的判定包含n个未知数的齐次线性方程组Ax=0

有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<

n．包含n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b

有解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)=R(A,b)，并且当R(A)=R(A,b)=n时，方程组有唯一解；当R(A)=R(A,b)<

n时，方程组有无限多个解．引言问题：什么是线性方程组的解的结构？答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系．备注：当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．下面的讨论都是假设线性方程组有解．一、解向量的定义定义1设有齐次线性方程组Ax=0，如果x1=x11，

x2=x21，...，xn=xn1为该方程组的解，则称为方程组的解向量（solutionvector）．二、齐次线性方程组的解的性质性质1：若x=x1，

x=x2

是齐次线性方程组Ax=0

的解， 则x=x1+x2

还是Ax=0

的解．证明：A(x1+x2)=

Ax1+Ax2

=0+0=0．性质2：若x=x是齐次线性方程组Ax=0

的解，k为实数， 则x=kx

还是Ax=0的解．证明：

A(kx)=

k(Ax)

=k0=0．结论：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齐次线性方程组Ax=0

的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt

还是Ax=0

的解.结论：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齐次线性方程组Ax=0

的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt

还是Ax=0

的解.已知齐次方程组Ax=0的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解．能否通过有限个解向量的线性组合把Ax=0的解全部表示出来？把Ax=0的全体解组成的集合记作S，若求得S

的一个最大无关组S0：x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

，那么Ax=0的通解可表示为x=k1x1+k2x2+…+ktxt

．齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系（不唯一）．回顾：向量组的秩的概念定义：设有向量组A

，如果在A

中能选出r个向量a1,a2,…,

ar，满足①向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；②向量组A

中任意r+1个向量（如果A

中有r+1个向量的话）都线性相关；②'

向量组A

中任意一个向量都能由向量组A0

线性表示；那么称向量组A0是向量组A

的一个最大无关组．向量组的最大无关组一般是不唯一的．返回三、基础解系的概念定义2齐次线性方程组Ax=0的一组解向量x1,x2,...,xr如果满足①

x1，x2，...，xr线性无关；②方程组中任意一个解都可以表示x1,x2,...,xr的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系（

Basicsolutionsystem）．注：齐次线性方程组的基础解系不唯一.问：如何求齐次线性方程组的基础解系？后n-r

列前r

列设

R(A)=r，为叙述方便，不妨设A行最简形矩阵为对应的齐次线性方程组令xr+1,…,xn

作自由变量，则用初等变换法求方程组的基础解系.令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，则齐次线性方程组的通解记作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（满足基础解系②）

n

−

r

列前

r

行后

n

−

r

行故R(x1,

x2,…,xn-r)=n

−

r

，即x1,

x2,…,xn-r线性无关．（满足基础解系①）于是x1,

x2,…,xn-r就是齐次线性方程组Ax=0的基础解系．令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，则线性方程组的通解记作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（满足基础解系②）

此即为Ax=0

的基础解系．通解为

x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r，则令法二：定理设m×n

矩阵的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=n

−r．证明同上.例1求齐次线性方程组的基础解系．方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．即令x3=c1，x4=c2，得通解表达式因为方程组的任意一个解都可以表示为x1,x2

的线性组合．x1,x2的四个分量不成比例，所以x1,x2线性无关．所以x1,x2是原方程组的一个基础解系．方法2：先求出基础解系，再写出通解．即令合起来便得到基础解系，得还能找出其它基础解系吗？问题：是否可以把x1

选作自由变量？答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解．当两个矩阵行等价时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解．令x1=c1，x2=c2，得通解表达式即从而可得另一个基础解系：h1和h2．定理：设m×n

矩阵的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=n

−r．例：设Am×nBn×l=O（零矩阵），证明R(A)+R(B)≤

n．例：证明R(ATA)=R(A)．例：设n

元齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，证明R(A)=R(B)．非齐次线性方程组的解的性质性质3：若x=h1，

x=h2

是非齐次线性方程组Ax=b

的解，则x=h1−h2

是对应的齐次线性方程组Ax=0

（导出组）的解．证明：A(h1−h2)=

Ah1−Ah2

=b

−b=0．性质4：若x=h是非齐次线性方程组Ax=b

的解，x=x是导出组Ax=0

的解，则x=x+h

还是Ax=b

的解．证明：

A(x+h

)=

Ax+Ah

=0+b=b

．根据性质3和性质4可知若x=h*

是Ax=b

的解，x=x

是Ax=0

的解，那么

x=x+h*

也是Ax=b

的解．设Ax=0

的通解为x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

．于是Ax=b

的通解为h=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h*例：求线性方程组的通解．解：容易看出是方程组的一个特解

．其对应的齐次线性方程组为根据前面的结论，导出组的基础解系为于是，原方程组的通解为小结：关于线性方程组求解线性方程组（第三章，利用矩阵的初等行变换）线性方程组的几何意义（第四章，四种等价形式）齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构造．基础解系是解集S

的最大无关组．解集S是基础解系的所有可能的线性组合．非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系的关系.一、齐次线性方程组的解的性质性质1：若x=x1，

x=x2

是齐次线性方程组Ax=0

的解， 则x=x1+x2

还是Ax=0

的解．性质2：若x=x是齐次线性方程组Ax=0

的解，k为实数， 则x=kx

还是Ax=0的解．结论：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齐次线性方程组Ax=0

的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt

还是Ax=0

的解.上节内容回顾二、基础解系的概念定义1齐次线性方程组Ax=0的一组解向量x1,x2,...,xr如果满足①

x1，x2，...，xr线性无关；②方程组中任意一个解都可以表示x1,x2,...,xr的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系（

Basicsolutionsystem）．注：齐次线性方程组的基础解系不唯一.求齐次线性方程组的基础解系的方法：方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．方法2：对自由未知量取一些特殊的值，构造基础解系．三、非齐次线性方程组的解的性质性质3：若x=h1，

x=h2

是非齐次线性方程组Ax=b

的解，则x=h1−h2

是对应的齐次线性方程组Ax=0

(导出组)解．性质4：若x=h是非齐次线性方程组Ax=b

的解，x=x是导出组Ax=0

的解，则x=x+h

还是Ax=b

的解．根据性质3和性质4可知若x=h*

是Ax=b

的解，x=x

是Ax=0

的解，那么

x=x+h*

也是Ax=b

的解．设Ax=0

的通解为x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

．于是Ax=b

的通解为h=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h*§5

向量空间一、封闭的概念定义1所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．例1试讨论下列数集对四则运算是否封闭？

(1)整数集Z;

(2)有理数集Q;(3)实数集R.证：(1)对有故整数集对加减乘三种运算封闭.但可有故整数集对除法运算不封闭.

（2）有理数集Q对四则运算封闭；（3）实数集R

对四则运算封闭；二、向量空间的概念定义2设V

是n

维向量的集合，如果

①集合V

非空，

②集合V

对于向量的加法和乘数两种运算封闭，具体地说，就是：若a

∈

V，b

∈

V，则a+b

∈

V．（对加法封闭）若a

∈

V，l

∈

R，则l

a

∈

V．（对乘数封闭）那么就称集合V为向量空间(Vectorspace)．故集合是向量空间.解:(1)因为所以集合

例2下列哪些向量组构成向量空间？(1)n维向量的全体Rn;(2)集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R};(3)集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R};(4)齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0};

(5)非齐次线性方程组的解集S2={x|Ax=b}.

有对又因为和(2)显然故集合又因为对和故集合是向量空间.有(3)集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}不是向量空间.

因为所以集合但是对任意的和定义3齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间(Solutionspace).(4)齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0};因为故集合又根据齐次线性方程组解的性质，若则且对故集合是向量空间.也有

(5)非齐次线性方程组的解集S2={x|Ax=b}.则所以故集合仍不是向量空间.若则它不是向量空间.

若则假设

例3设a,b为两个已知的n维向量，集合L={la+mb|l,m∈R}是一个向量空间吗？解:显然

a,b

∈L，所以L是非空集合.

设x1=l1a+m1b,x2=l2a+m2b∈L，k∈R，则因为x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b) =(l1+l2)a+(m1

+m2)

b∈Lkx1=k(l1a+m1b)=(kl1)a+(km1)b∈L

所以，L

是一个向量空间．定义4把集合L={la+mb|l,m∈R}称为由向量a,b所生成的向量空间（Thevectorspacegene