专题04统计（精讲）-2022-2023学年高一数学常见考点精讲精练(人教b版2019必修第二册)(解析版)

专题04统计（精讲）知识梳理一数据的收集1．总体与样本(1)总体与样本的概念：考察问题涉及的对象的全体是总体，总体中每个对象都是个体，抽取的部分对象组成总体的一个样本，一个样本中包含的个体数目是样本容量(2)普查与抽样的概念：一般地，对总体中每个个体都进行考查地方法称为普查（也称为全面调查），只抽取样本进行考查的方法称为抽样调查。2．简单随机抽样(1)简单随机抽样的定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本.(2)简单随机抽样必须具备下列特点：=1\*GB3①简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的.=2\*GB3②简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N.=3\*GB3③简单随机样本是从总体中逐个抽取的.=4\*GB3④简单随机抽样是一种不放回的抽样.=5\*GB3⑤简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为.常见的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法.(3)抽签法的定义.一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.(4)抽签法的一般步骤：=1\*GB3①将总体中的N个个体编号(号码从1到N)；=2\*GB3②将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；=3\*GB3③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；=4\*GB3④从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽出n次；=5\*GB3⑤将总体中与抽到的号签编号一致的n个个体取出.(5)随机数表随机数表是由随机数（通常为0，1，2，…，9）相乘的数表，表中的每一个位置出现的数是随机的下列是一个随机数表的一部分.(6)随机数表进行简单随机抽样的一般步骤为：=1\*GB3①对总体进行编号；=2\*GB3②在随机数表中任意指定一个开始选取的位置，位置的确定可以闭着眼睛用手指随机确定，也可用其他方式随机确定；=3\*GB3③按照一定规则选取编号.=4\*GB3④按照得到的编号，找到对应的个体.3．分层抽样(1)分层抽样的定义一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成的，的几部分时，每一部分可称为，在各层中按层在总体中所占进行的方法称为分层随机抽样（简称分层抽样）注意：分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：=1\*GB3①分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体，即遵循不重复、不遗漏的原则.=2\*GB3②分层抽样为保证每个个体入样，需遵循在各层中进行，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比.(2)分层抽样的步骤：=1\*GB3①分层：按某种特征将总体分成若干部分.=2\*GB3②按比例确定每层抽取个体的个数.=3\*GB3③各层分别按简单随机抽样的方法抽取.=4\*GB3④综合每层抽样，组成样本.二数据的数字特征1．最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况，一般地，最大值用max表示，最小值用min表示.2．平均数如果给定的一组数是，则这组数的平均数为：这一公式在数学中常简记为：3.中位数、百分位数（1）地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：=1\*GB3①如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为，则称为这组数的中位数；=2\*GB3②如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为，则称为这组数的中位数.（2）数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值.4.众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，重复出现的次数最多的数据称为这组数据的众数.5.极差、方差、标准差（1）一组数的极差指的是这组数的最大值减最小值，不难看出，极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度.描述一组数的离散程度的量还有方差和标准差.（2）如果的平均数为，则方差可用求和符号表示为：注：如果a，b为常数，则：的方差为.（3）方差的算术平方根称为标准差；注：如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表面数据没有波动，数据没有离散；若各数据的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差越大，表明数据的波动幅度越大，数据的离散程度较高，因此标准差描述了数据相对平均数的离散程度.三数据的直观表示1.柱形图柱形图(也称为条形图)可以形象地比较各种数据之间的数量关系．一般地，柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的.2.折线图一般地，如果数据是随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示．3.扇形图扇形图(也称为饼图、饼形图)，可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况．扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比.4.茎叶图茎叶图的中间像植物的茎，两边像植物茎上生长的叶子．茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列．5.频数分布直方图与频率分布直方图（1）频数分布直方图与频率分布直方图的画法：=1\*GB3①找出最值，计算极差；=2\*GB3②合理分组，确定区间；=3\*GB3③整理数据；=4\*GB3④作出有关图示．（2）频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1.（3）个矩形上面一边的中点用线段连接起来可以得到频数分布折线图和频率分布折线图.注：为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的.四用样本估计总体1.用样本的数字特征估计总体的数字特征一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征.特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也成为样本方差）与总体对应地值相差不会太大.2.分层抽样下用样本的数字特征估计总体的数字特征假设第一层有个数，分别为，平均数为，方差为；第二层有个数，分别为，平均数为，方差为，则如果记样本均值为，样本方差为，则可以计算出3.用样本的分布估计总体的分布同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差.如果总体在每一个分组的频率记为：，样本每一组对应的频率为，一般来说，不等于0，同样，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性越来越大.常见考点考点一样本与总体典例1．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）下列各项调查中你认为合理的有（

）①为了了解全校同学喜欢课程情况，对某班男同学进行抽样调查②“神舟十四号”飞船发射前，采用抽样调查的方式检查其各零部件的合格情况③采用抽样调查的方式了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受④为调查我市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度，将要调查的问题放到某网站上，这样大部分上网的人就可以看到调查问题并及时反馈A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据调查的内容，结合全面调查和抽样调查的适用特征判断各项调查是否合理即可.【详解】①了解全校同学喜欢课程情况，应在各班进行抽样，同时不能仅限男同学，不合理；②“神舟十四号”飞船发射前，应采用全面调查检查其各零部件的合格情况，不合理；③了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受，采用抽样调查，合理；④对“垃圾分类”有关内容的了解程度，问题放到某网站上，受调查人群有局限，不合理.故选：B变式1-1．（2022·江苏·高一专题练习）在以下调查中，适合用全面调查的是（

）A．调查某企业的产品在全国市场的占有率B．了解一个班级学生的近视程度C．了解某地区的空气质量D．调查一个大型水库所有鱼中鲫鱼所占的比例【答案】B【分析】根据调查的范围，从经济性层面判断是否适合全面调查.【详解】A、C、D由调查范围较广，调查的经济成本高，不适合全面调查，B班级学生样本数量小，故适合全面调查.故选：B变式1-2．（2022·陕西汉中·高一期末）宝鸡是一座美丽的城市，为增强市民的环保意识，在6月5日的“世界环境日”活动中，某校以家庭为单位进行了废塑料袋情况的调查.其中，高二（1）班的50名学生在一天中调查了各自家庭丢弃废塑料袋的情况，这个问题中50名学生所在家庭一天丢弃废塑料袋的情况是（

）A．总体 B．样本的数目 C．个体 D．样本【答案】D【分析】根据样本的概念求解即可．【详解】解：高二（1）班的50名学生所在家庭一天丢弃废塑料袋的情况是某校以家庭为单位进行了废塑料袋情况的调查的一个部分，故50名学生所在家庭一天丢弃废塑料袋的情况是样本.故选：D变式1-3．（2022·全国·高三专题练习）为检查某校学生心理健康情况，市教委从该校名学生中随机抽查名学生，检查他们心理健康程度，则下列说法正确的是（

）A．名学生的心理健康情况是总体 B．每个学生是个体C．名学生是总体的一个样本 D．名学生为样本容量【答案】A【分析】根据总体、个体、样本容量概念依次判断选项即可.【详解】对选项A：名学生的心理健康情况是总体，故A正确；对选项B，每个学生的心理健康情况是个体，故B错误；对选项C，名学生的心理健康情况是总体的一个样本，故C错误；对选项D，名学生的心理健康情况为样本容量，故D错.故选：考点二简单随机抽样典例2．（2022·全国·高一）下列4个抽样中,简单随机抽样的个数是①一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩,玩后放回再拿一件,连续玩了5件;②仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查;③某连队从200名党员官兵中,挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作;④一彩民选号,从装有36个大小､形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根据简单随机抽样的特点逐个判断即可.【详解】①：不是简单随机抽样.因为一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩,玩后放回再拿一件,连续玩了5件,它不是“逐个抽取”.②：不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性,但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”③：不是简单随机抽样.因为50名官兵是从中挑出来的,是最优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.④：是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的､等可能的抽样.综上,只有④是简单随机抽样.故选：B【点睛】本题考查了简单抽样的定义，属于基础题.变式2-1．（2022·全国·高一课时练习）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（

）A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验【答案】B【分析】根据抽签法的特征:个体数以及样本容量较小，且易均匀混合，即可结合选项求解.【详解】选项A中总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法；选项B中总体中的个体数较小，样本容量也较小，且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法；选项C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法；选项D中总体中的个体数较大，不适合用抽签法.故选：B变式2-2．（2022·江西·模拟预测（文））某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（

）A．10 B．05 C．09 D．20【答案】C【分析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可.【详解】依题意，读取的第一个数为14，向右每两位读取数据，依次为：64，05，71，11，05，65，09，其中64，71，65不在编号范围内，舍去，而后一个05与前一个05重复，应舍去后一个05，读取符合要求的两位数据依次为：14，05，11，09，则09刚好是第四个符合要求的编号，所以得到的第4个样本编号是09.故选：C变式2-3．（2021·全国·高一课时练习）总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（

）．7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．01 B．02 C．07 D．08【答案】A【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【详解】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，其中第二个和第四个都是02，重复．可知对应的数值为08，02，14，07，01，则第5个个体的编号为01．故选：A．考点三分层抽样典例3．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期中）现从中小学生中抽取部分学生进行一次肺活量调查，据了解，某地小学､初中､高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男､女学生的肺活量差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（

）A．简单随机抽样B．按性别分层随机抽样C．按学段分层随机抽样D．按肺活量分层随机抽样【答案】C【分析】依据题给条件结合分层抽样定义及适用条件即可确定抽样方法.【详解】选项A：因小学､初中､高中三个学段学生的肺活量有较大差异，因此不适合简单随机抽样.判断错误；选项B：因同一学段男､女学生的肺活量差异不大，因此按性别分层随机抽样没有必要.判断错误；选项C：小学､初中､高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男､女学生的肺活量差异不大，因而按学段分层随机抽样.判断正确；选项D：因肺活量是待测量的量，不可以作为分层的标准.判断错误.故选：C变式3-1．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）某校一年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为140的样本，则此样本中女生人数为（）A．80 B．120 C．60 D．240【答案】C【分析】利用分层抽样的概念即得.【详解】样本中女生人数为：.故选：C.变式3-2．（2022·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（

）A．18 B．20 C．22 D．30【答案】B【分析】求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比，再列式计算作答.【详解】依题意，该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比为：，所以抽取的高二年级学生人数为.故选：B变式3-3．（2022·福建·石狮市第八中学高一阶段练习）某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取学生的人数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分层抽样的概念即得.【详解】该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，应从一年级本科生中抽取学生人数为：．故选：C.考点四平均数、中位数、百分位数、众数典例4．（2022·北京丰台·高二期中）一个车间里有名工人装配同种电子产品，现记录他们某天装配电子产品的件数如下：10，12，9，7，10，12，9，11，9，8，若这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平均数，中位数，众数的定义即得.【详解】将数据从小到大排序7，8，9，9，9，10，10，11，12，12，所以平均数为，中位数为，众数为，所以.故选：C.变式4-1．（2022·全国·高一课时练习）在一次英语听力测试中，甲组5名学生的成绩（单位：分）如下：9，12，，24，27，乙组5名学生的成绩如下：9，15，，18，24，其中x，y为两个不清楚的数据．若甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（

）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【答案】C【分析】根据中位数、平均数的定义及求法，结合甲乙组学生成绩数据求参数值即可.【详解】因为甲组数据的中位数为15，易知．因为乙组数据的平均数为16.8，所以，解得．故选：C变式4-2．（2022·全国·高三专题练习）某读书会有5名成员，寒假期间他们每个人阅读的节本数分别如下：3，5，4，2，1，则这组数据的分位数为（

）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】B【分析】这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，4，5，根据，结合百分数的定义，即可求解.【详解】由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，4，5，且，可得这组数据的分位数为从小到大排列的第3个数和第4个数的平均数为.故选：B.变式4-3．（2022·辽宁·高二开学考试）某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的第80百分位数为（

）A．91 B．92 C．93 D．93.5【答案】D【分析】将数据从小到大排序，应用百分位数的求法求第80百分位数.【详解】数据从小到大为，而，所以第80百分位数为.故选：D考点五极差、方差、标准差典例5．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为3，众数为5；②中位数为3，极差为3；③中位数为1，平均数为2；④平均数为3，方差为2；可以判断一定没有出现6点的描述共有（

）A．1人 B．2人 C．3人 D．4人【答案】B【分析】根据数据的特征，写出满足要求的数据集判断①②③；写出一个含6的数据集判断是否存在满足的情况判断④.【详解】①5出现两次，又中位数为3，则数据从小到大为{m,n,3,5,5}，一定没有6；②中位数为3，极差为3，则数据从小到大为{1,m,3,n,4}、{2,m,3,n,5}、{3,3,3,m,6}，故可能出现6；③中位数为1，平均数为2，则数据从小到大为{1,1,1,m,n}，即，故可能出现6；④平均数为3，方差为2，则满足要求且含6的数据从小到大为{a,b,c,d,6}，故且、，显然不能同时满足，故一定没有6.综上，①④一定没有6.故选：B变式5-1．（2023·全国·高三专题练习）某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，再从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；丙：众数为23，方差不超过1，则一定能通过试用期的有（

）A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙【答案】A【分析】根据甲乙丙的统计数据，判断他们的合格品数是否有可能低于22，只要不低于22，则一定能通过.【详解】对于甲：由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品数不低于24，最低合格品数不低于2，所以甲一定能通过；对于乙：设乙每天的合格品件数为，则，即.若乙有不止一天的合格品数低于21，，不合题意；若乙只有一天的合格品数低于22，不妨取，，因为平均数为23，则至少有一天的合格品数为25或至少有两天的合格品数为24，无论哪种情况，都可以得到，不合题意，所以乙的每一天的合格品数都不低于22，乙一定能通过；对于丙：若丙的合格品数为21，22，23，23，23，则丙的众数为23，方差为0.64，符合丙的统计数据，但丙不能通过；所以甲、乙一定能通过，A正确；故选：A.变式5-2．（2022·北京·高一期末）已知五位同学高一入学时年龄的平均数，中位数均为，方差为，那么三年后，下列说法错误的是（

）A．这五位同学年龄的平均数变为B．这五位同学年龄的中位数变为C．这五位同学年龄的方差仍为D．这五位同学年龄的方差变为【答案】D【分析】利用平均数、中位数、方差的定义直接求解.【详解】五位同学高一入学时年龄的平均数，中位数均为，方差为，那么三年后，这五位同学年龄的平均数变为，故A正确；这五位同学年龄的中位数变为，故B正确；这五位同学年龄的方差不变，故C正确，D错误；故选：D.变式5-3．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习（文））如果一组数，，⋯，的平均数是，方差是，则另一组数，

，⋯，的平均数和方差分别是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】直接利用公式：平均值,方差为，则的平均值和方差为：得到答案.【详解】因为一组数，，⋯，的平均数是，方差是，所以另一组数，，⋯，的平均数为，方差是故选：C.考点六条形图、折线图、扇形图、茎叶图典例6．（2023·全国·高三专题练习）“社保”已经走入了我们的生活，它包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险、生育保险全年支出最重要的三项分别为养老保险、失业保险、工伤保险三项，下图是近五年三项社会保险基金的收支情况，下列说法中错误的是（

）近五年三项社会保险基金收支情况A．三项社会保险基金在2020年以前收入为逐年递增；B．三项社会保险基金在2020年以前支出为逐年递增；C．三项社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”（收入低于支出）；D．2020年三项社会保险基金支出合计57580亿元，比上年增加3088亿元，约增长【答案】D【分析】根据条形图中给定数据结合题意分析所有选项即得.【详解】由条形图可知，三项社会保险基金在2020年以前收入为逐年递增的，故A正确；三项社会保险基金在2020年以前支出为逐年递增的，故B正确；三项社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”，故C正确；2020年三项社会保险基金支出合计57580亿元，比上年增加3088亿元，约增长5.7%，故D错误.故选：D.变式6-1．（2022·山西吕梁·高一期末）为了促进市场经济发展，某电商平台对出售同一款商品的A，B两个店铺进行网络调查，其中甲，乙，丙，丁，戊五位网购者对这两个店辅服务态度的对比评分图如图，则下面结论正确的是（

）A．B店铺的得分总高于A店铺的得分 B．A店铺的均分高于B店铺的均分C．B店铺的中位数小于A店铺的中位数 D．A店铺的得分更稳定【答案】D【分析】根据图表逐项分析即得.【详解】由题可知A店铺的得分是：5，6，6.5，7，8．B店铺的得分是4，6，7，8，9．故A选项错误；A店铺的均分是6.5，B店铺的均分是6.8，故B选项错误；A店铺的得分中位数是6.5，B店铺的得分中位数是7，故C选项错误；由图可知，A店铺的得分较为集中，B店铺的得分比较分散，故A店铺的得分更稳定，故D正确.故选：D．变式6-2．（2022·江苏·高一专题练习）某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示．高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得银杏树的数量为（

）A．34 B．46 C．50 D．70【答案】B【分析】根据分层抽样的等比例性质求高三年级应分得银杏树的数量即可.【详解】由题意，高三年级应分得银杏树的数量为棵.故选：B变式6-3．（2023·全国·高三专题练习（文））一名篮球运动员在最近8场比赛中所得分数的茎叶图如图所示，则该运动员这8场比赛得分的平均数和中位数分别为（

）．A．18.5，19 B．19，19 C．19，18.5 D．18，18.5【答案】C【分析】根据平均数及中位数的定义计算即得.【详解】该运动员这8场比赛得分的平均数为，中位数为．故选：C.考点七频率分布直方图、频率分布折线图典例7．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段，，…，后画出频率直方图如图所示．观察图形的信息，则（

）A．成绩在区间上的人数为5B．抽查学生的平均成绩是71分C．这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为D．若从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，则选到第一名学生的概率(第一名只一人)为【答案】B【分析】由频率分布直方图，根据频率的意义和平均值的计算公式判断个选项即可.【详解】成绩在区间上的人数为，故A错误.抽查学生的平均成绩是分，故B正确.依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为：，所以抽样学生成绩的及格率为，故C错误.成绩是70分以上（包括70分）的学生人数为：人，所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选一个，选到第一名的概率，故D错误.故选：B.变式7-1．（2022·江苏·常州市北郊高级中学高二开学考试）某校对200名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成，，，，五组，得到如图所示频率直方图，则根据频率直方图，下列说法错误的是（

）A．B．估计该校学生数学竞赛成绩的平均数在内C．该校学生数学竞赛成绩的中位数小于80D．该校学生数学竞赛成绩不低于80分的有90人【答案】D【分析】根据直方图，由频率和为1求得，再求出平均数、中位数判断B、C，结合已知求，的人数判断D.【详解】由直方图知：，可得，A正确；平均数为，B正确；由，若中位数为，则，可得，C正确；由，的频率和为，故成绩不低于80分的有0.35×200=70人，D错误.故选：D变式7-2．（2022·北京市十一学校高二期末）为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试.如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图.则下列关于这次考试成绩的估计错误的是（

）A．众数为82.5 B．中位数为85C．平均数为88 D．有一半以上干部的成绩在80~90分之间【答案】C【分析】A根据直方图判断众数的位置即可；B由中位数定义，找到频率前n组中频率和为的位置即可；C利用直方图求出平均数即可；D求出80~90分之间的频率，与比较大小即可.【详解】由图知：众数出现在之间，故众数为，A正确；由，即中位数为，B正确；由，C错误；由，有一半以上干部的成绩在80~90分之间，D正确.故选：C变式7-3．（2022·江苏·高一专题练习）某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．根据“频率分布”折线图，估计该班级的平均分为（

）A．653.6 B．653.7 C．653.8 D．653.9【答案】A【分析】根据折线图求出平均分即可.【详解】由图知：该班级的平均分为.故选：A考点八用样本估计总体典例8．（2023·全国·高三专题练习）随着和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：(1)请你估计该地区所有用户评分的25%，95%分位数；(2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，且抽到的10个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89，试计算这10个数据的平均数和方差；(3)在（2）的条件下，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比．（参考数据：，，）【答案】(1)76.5，95(2)，(3)【分析】（1）根据百分位数的定义求解；（2）根据平均数和方差的公式求解；（3）求出样本中“A级”的百分比，即为总体中“A级”的百分比.（1）这40个用户评分按从小到大排列如下：63，66，72，73，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，86，86，88，88，89，89，91，92，93，95，95，97，得到，，可知这40个用户评分的25%，95%分位数分别为第10项和第11项数据的平均数，第38项和第39项数据的平均数，分别为76.5，95，据此估计该地区所有用户评分的25%，95%分位数分别约为76.5，95．（2），．（3）由题意知评分在，即（77.26，88.74）内的满意度等级为“A级”，样本中评分在（77.26，88.74）内的有5人，则可估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为．变式8-1．（2022·全国·高二课时练习）农业技术人员发现指标及可以显示出棉花纤维的质量水平.已知某棉花种植基地今年产量为2000吨，技术人员随机抽取了1吨棉花，得到指标与棉花质量的如下分布表：指标质量/吨0.040.060.120.160.32a0.060.030.01(1)求a的值，并补全频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图，估计样本指标的众数及中位数；(3)根据指标可将棉花分为A､B､C三个等级，不同等级的棉花价格如下表所示：指标或3.4以下级别ABC价格/（万元/吨）1.61.521.44用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值.【答案】(1)，频率分布直方图答案见解析；(2)众数为，中位数为3.875；(3)（万元）.【分析】（1）由频率分布直方图和统计表可计算求得，由此可补全频率分布直方图；（2）由频率分布直方图估计众数和中位数的方法直接求解即可；（3）计算求得1吨样本的产值，进而可得今年的总产值.（1）由分布表知，，解得.在频率分布直方图中对应的为，补全频率分布直方图如下：（2）由频率分布直方图知，指标落在区间上的频率最大，故众数为.因为，且，所以中位数在区间上，设中位数为x，则，解得，即中位数为3.875.（3）由题可得1吨样本的产值为（万元），估算棉花种植基地今年的总产值为：（万元）.变式8-2．（2022·黑龙江·宾县第二中学高一期末）某大学艺术专业40