2023年中考数学压轴题训练-二次函数与相似三角形

2023年中考数学压轴题训练一一二次函数与相似三角形

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线ynax^+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y

轴相交于点C(0,3).且点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),点P是抛

物线上第一象限内的一个点.

备用图

(1)求抛物线的函数表达式；

⑵连P0、PB,如果把APOB沿0B翻转，所得四边形POP'B恰为菱形，那么在抛物线

的对称轴上是否存在点Q,使AQAB与APOB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，

说明理由；

⑶若(2)中点Q存在，指出AQAB与APOB是否位似？若位似，请直接写出其位似中

心的坐标.

2.如图1,在平面直角坐标系中，已知aABC中，ZABC=90°,B(4,0),C(8,0),

(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；

⑵如图2,过点A作ADJ_AB交BC的垂线于点D,动点P从点A出发，沿线段AB向终

点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长

度，运动时间为t秒，过点P作PE_LAB交AC于点E.

①过点E作EF1AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG取得最大值？最

大值是多少？

②连接EQ,在点P,Q运动过程中，t为何值时，使得4CEQ与AABC相似？

3.如图，抛物线y=ax?+bx+c经过A(-1,0),B两点，且与y轴交于点C(0,3),

抛物线的对称轴是直线x=l

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)抛物线与直线y=-X-1交于A、E两点，P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P、

B、C为顶点的三角形与aABE相似，求点P的坐标；

(3)F是直线BC上一动点，M为抛物线上一动点，若AMBF为等腰直角三角形，请直接

写出点M的坐标.

4.如图，以D为顶点的抛物线y=-gx?+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,

(1)求抛物线的表达式；

(2)在直线BC上有一点P,使PO+PA的值最小，求点P的坐标；

⑶在x轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形与4BCD相似？若存在，

请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

5.如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线y=gx+2与x轴交于点A,与y轴交于点

C,抛物线y=a/+bx+c的对称轴是直线x=-：且经过A,C两点，与x轴的另一交

图1图2

(1)求抛物线解析式；

(2)在第四象限的抛物线上找一点M,过点M作MN垂直x轴于点N.若4AMN与AABC相

似，求点M的坐标；

(3)如图2,P为抛物线上一点，横坐标为p,直线EF交抛物线于E,F两点，其中/EPF

为直角，当p为定值时，直线EF过定点D,求随着p的值发生变化时，D点移动时形成

的图像解析式.

6.如图所示，已知抛物线y=x2-l与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)过点A作AP〃CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积；

(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MGLx轴于点G,使以A、M、G三

点为顶点的三角形与APCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由.

7.如图，抛物线y=-V+fec+c与x轴交于点4-1,0)和点B.与y轴交于点CQ-5),

连接BC,N是线段BC上方抛物线上一点，过点N作NMJ.8C于M.

(1)求抛物线的解析式和点B的坐标；

(2)求线段的最大值；

(3)若点P是y轴上的一点，是否存在点P,使以B,C,P为顶点的三角形与相

似？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由，

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛

物线y=x?+bx+c经过点A和点B,且其顶点为D.

(1)求抛物线的表达式：

(2)求NBAD的正切值；

(3)设点C为抛物线与x轴的另一个交点，点E为抛物线的对称轴与直线y=x-3的

交点，点P是直线y=x-3上的动点，如果aPAC与4AED是相似三角形，求点P的坐

9.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax>bx-1(aWO)经过点A(-2,0),B(1,

0)和点D(-3,n),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的表达式及点D的坐标；

(2)将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求AODE的面积；

(3)如果点P在y轴上，4PCD与AABC相似，求点P的坐标.

叫

1-

~01X

10.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(5,0)(如图)，经过点A的抛物线丫=

x?+bx+5与y轴相交于点B,顶点为点C

(1)求此抛物线表达式与顶点C的坐标；

(2)求NABC的正弦值；

(3)将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D,且4DCA与相似，求平移

后的新抛物线的表达式.

3

11.如图，抛物线y=x?+bx+c交x轴于A(--,0),B两点，交y轴于点C(0,-3),

4

点D是线段BC下方的抛物线上一个动点，过点D作DE±x轴于点E,交线段BC于点F.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求4BCD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.

(3)是否存在点D,使得4CDF与4BEF相似，若存在，求出点D的坐标，若不存在,

12.如图所示，直线1：y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把AAOB沿y轴翻

折，点A落到点C,抛物线过点B、C和D(3,0).

(1)求直线BD和抛物线的解析式.

(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M,点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角

形与相似，求所有满足条件的点N的坐标.

(3)在抛物线上是否存在点P,使SAPBD=6?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说

明理由.

13.如图，抛物线y=yx2+mx+n与直线y=-yx+3交于A,B两点，交x轴与I),C两点，

(I)求抛物线的解析式和tan/BAC的值；

(II)在(I)条件下：

(1)P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA,过点P作PQ1PA交y轴于点Q,问：是

否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与aACB相似？若存在，请求出所有符合条

件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(2)设E为线段AC上一点(不含端点)，连接DE,一动点M从点D出发，沿线段DE

以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒血个单位的速度运动到A后停止,

当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

14.如图，已知抛物线＞=依2+法(〃K0)过点A(6,-3)和B(36,0)，过点A作直线

AC〃x轴，交y轴与点C

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线，垂足为D,连接0A,使得以A,D,

P为顶点的三角形与aAOC相似，求出对应点P的坐标；

(3)抛物线上是否存在点Q,使得“4改=35凶。°?若存在，求出点Q的坐标；若不存

在，请说明理由.

15.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx+c(a工0)与x轴的两个交点分别为A(-3,

0)、B(1,0),与y轴交于点D(0,3),过顶点C作QUx轴于点H.

(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

(2)连结AD、CD,若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合)，当4ADE与4ACD

面积相等时，求点E的坐标；

(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，过点P向CD所在的直线作垂

线，垂足为点Q,以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标.

16.如图，二次函数yn-x'+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),B(2,0),与y轴相

交于点C.

(1)求二次函数的解析式；

(2)若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E

的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；

(3)若点M在抛物线上，且在y轴的右侧.(DM与y轴相切，切点为D.以C,D,M为

顶点的三角形与AAOC相似，请直接写出点M的坐标.

17.已知：直角梯形。4BC中，BC〃OA,N4?C=90°,以AB为直径的圆M交0C

于点£>、E,连接A。、BD、BE.

(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形：

(2)直角梯形。43c中，以。为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系(如图2),

若抛物线'=如2-2以-3〃(4<0)经过点A、B、D,且8为抛物线的顶点.

①写出顶点8的坐标(用含”的代数式表示);

②求抛物线的解析式；

③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P,过点P作/轴于点N,使得以点P、

A、N为顶点的三角形与△AD8相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

图1图2

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数尸#十法+c图象经过点4-2,0),

C(0,-6),其对称轴为直线x=2.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若直线y=-gx+〃?将的面积分成相等的两部分，求加的值；

(3)点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点。是直线x=2上位于x轴下方的动

点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x=2右侧.若以点E为直

角顶点的与凶OC相似，求点E的坐标.

参考答案:

1.(l)y=-X2+2X+3

(2)存在，(1,5)或(1,-5)

⑶(3,0)或牛。)

【分析】(1)根据待定系数法求解析式即可；

(2)根据抛物线的对称性以及菱形的对称性求得。点的坐标；

(3)根据(2)的结论找到位似中心，分类讨论，根据相似的性质即可求解.

(1)

VA(-1,0)、B(3,0),C(0,3)在抛物线y=ax、bx+c上，

a-b+c=G

<9。+3〃+c=0,

c=3

a=-\

解得b=2.

c=3

抛物线的解析式为y=-X2+2X+3；

(2)

根据题意。为对称轴上的点，尸为08的垂直平分线上的点,

B(3,0)

13

则埠=万(0+3)=万

当犬=|■时，y=-卜3+3=，；

设直线PB的解析式为y=mx+n,

3m+n=0

则有《315，

—m+n=——

124

5

m=——

2

解得

15

n=一

2

直线PB的解析式为y=-|x+y.

♦.•抛物线的对称轴为x=--^—=1,

2x(-1)

515

.'.x=l,y=X1+—=5,

22

.,.点Q的坐标为(1,5)

根据对称性点Q坐标还可以为（1,-5）.

（3）

①如图，由（2）可得△QABSAPOB,Z\QAB与APOB位似，则N尸8。=/。衣4,

/.AQ//PB

又AO,Q尸交于点&则位似中心为点B,点B的坐标为（3,0）.

②如图，若当Q点坐标（1,-5）时，设P。与x轴的交点为。，则位似中心为

由（2）可得△QABSAPOB,则NP8O=NQ8A,

:...PBD^..QAD

.PBBD

又工04BsPOB

.PBOB

''AQ~~BA

.BDOB

'~AD~~AB

P（|，m，Q（l，-5）,A（-1,0）,B（3,0）

.3-。_3

''a+1~4

9

解得4=]

9

则当Q点坐标(1,-5)时，位似中心。坐标为(,，0)；

9

综上所述，位似中心坐标为(3,0)或(,，0)

【点评】本题考查了二次函数与相似三角形的性质与判定，翻折的性质，菱形的性质，位似

图形的性质，掌握以上知识是解题的关键.

2.⑴A的坐标为(4,8),抛物线得解析式为：y=-；x?+4x

40

⑵①t=4时，线段EG有最大值且为2；②t=4或不

【分析】(1)由tan/ACB=2求出A(4,8),然后再将A、C两点坐标代入y=ax、bx中即可

求出二次函数解析式；

(2)①先求出E的坐标为(4+；,8-t),再代入二次函数y=-gd+4x中进而求出G点纵

坐标，最后用G点纵坐标减去E点纵坐标即可求出EG关于t的表达式，利用配方法求最大

值即可；

22

②由勾股定理求出34AP+PE=争，AC=VFT^=4石，再分当△CEQS^ACB

时和当△CEQs^ABC时两种情况分类讨论即可求解.

【解析】(1)解：：B(4,0),C(8,0),

；.BC=4,

VZABC=90°,tanZACB=2,

/.AB=BC*tanZACB=8,

.*.A的坐标为(4,8),

将A(4,8),C(8,0)代入y=ax?+bx,

乍J16。+4。=8

(644+86=0'

解得："二一5,

b=4

.♦.抛物线得解析式为：y=-1x2+4x；

(2)解：①由题得：AP=t,ZAPE=ZABC=90°,ZEAP=ZCAB,

APAB

PE4即PE=tg,

t82

VPB=AB-AP=8-t,

・，.E的坐标为（4+彳，8-t）,

将x=4+，代入》=一,炉+4%,

22

1,

得：＞+8，

8

；・G的纵的坐标为-三产+8,

8

.*.EG=--r2+8-(8-r)=--/2+f=-i(r-4)2+2,♦；0<tW8,

888

，t=4时，线段EG有最大值且为2；

®VCQ=t,PE=pAP=t,BC=4,AB=8,

，AE=14尸+PE?=*t,AC=yjAB2+BC2=475>

CE=AC-AE=4石-丹，

2

当^CEQsaACB时，g=坐，代入数据：

ACAB

.4君一坐

.._____2__£,

4石-8

解得：t=4,

当△CEQs^ABC时，g=g,代入数据：

ABAC

.4下-粤t

8一4石

解得t=¥

9

.•.综上，t=4或至.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数中线段最值问题，相似三角形

的判定及性质等，本题属于综合题，熟练掌握二次函数图像性质及相似三角形的性质是解题

的关键.

3.(l)y=-x，2x+3

39

(2)点P的坐标为(弓，0)或(-；,0)

⑶点M的坐标为(-1,0)或(-2,-5)

【分析】(1)由点A的坐标及抛物线的对称轴可得出点B的坐标，由点A、B、C的坐标，利

用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；

(2)联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点E的坐标，进而

可得出AE的长度，由直线AE的函数表达式可得出NBAE=45°,由点B、C的坐标可得出NCBO

=45°、BC=3a,设点P的坐标为(m,0),则PB=3"m,由NBAE=NCB0利用相似三角

PRARPRAP

形的性质可得出总=笠或会=黑，代入数据即可求出m的值，此问得解；

BCAEBCAB

(3)由NCB0=45°可得出存在两种情况：①取点血与点A重合，过点M作ME〃y轴，交

直线BC于点F”则△BME为等腰直角三角形，由此可得出点品的坐标;②取点C'(0,T),

连接BC',延长BC'交抛物线于点M2,过点也作gFJ/y轴，交直线BC于点F,,则△岫BF,

为等腰直角三角形，由点B、C'的坐标可求出直线BC'的函数关系式，联立直线BC'和抛

物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点岫的坐标，综上即可得出结论.

(1)

解：•.•抛物线的对称轴是直线x=l,且过点A(-1,0),

...点B的坐标为(3,0).

将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=ax，bx+c,得：

a-h+c=Oa=-1

v9。+38+c=0,解得：b=2,

c=3c=3

.••抛物线的函数表达式为y=-X2+2X+3.

(2)

y=-x-l

联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组，得:

y=-V+2x+3

.♦.点E的坐标为（4,-5）,

二AE=J[4-（-l）]2+（-5-O）2=5垃.

•••点B的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,3）,

，/CB0=45°,BC=3&.

•.•直线AE的函数表达式为y=-X-1,

.\ZBAE=45°=ZCBO.

设点P的坐标为(m,0),则PB=3-m.

•・,以P、B、C为顶点的三角形与4ABE相似,

,,就二花或就"罚’

.3-m_43-m5近

•.而=妮或艰=十

.,3、9

解得：m=§或01=一万,

VZCB0=45°,

•••存在两种情况(如图2).

①取点Mi与点A重合，过点此作ME〃y轴，交直线BC于点宿，

VZCBMI=45°,NBMR=90°,

此时△BME为等腰直角三角形，

点虬的坐标为(-1,0)；

②取点C'(0,-3),连接BC',延长BC'交抛物线于点曲，过点曲作快F"y轴，交直

线BC于点&,

•.•点C、C关于x轴对称，N0BC=45°,

/.ZCBC,=90°,BC=BC,,

/.△CBC,为等腰直角三角形，

•加2〃丫轴，

/.△M2BF2为等腰直角三角形.

•.,点B(3,0),点C'(0,-3),

二直线BC'的函数关系式为y=x-3,

y=x-3

联立直线BC'和抛物线的函数关系式成方程组，得:

y=-x"+2x+3

-2X=3

解得:2

一5'

%=y2=0

.•.点Mz的坐标为（-2,-5）.

综上所述：点M的坐标为（-1,0）或（-2,-5）.

【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求一次（二次）函数解析式、相似三角形

的性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函

PRARPRAf7

数关系式；（2）利用相似三角形的性质找出会=线或会=笠，；（3）根据等腰直角三

BCAEBCAB

角形的性质找出点M的位置.

4.（l）y=-g/+2x+6

1824

（2）点P的坐标为TTT

（3）存在，Q的坐标为（0,0）或（18,0）

【分析】（1）先求解8,C的坐标，再把民C的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数

法求解二次函数的的解析式即可；

（2）如图1所示：作点0关于BC的对称点0',当A、P、0'在一条直线上时，0P+AP有最

小值，再求解AO,的解析式，再求解两直线的交点P的坐标即可；

（3）分两种情况讨论：当△ACQS/^DCB时，当△ACQs^DBC时，再利用相似三角形的性质

列方程求解即可.

【解析】（1）解：（1）把x=0代入y=-x+6,得：y=6,

：.C（0,6）,

把y=0代入y=-x+6得：x=6,

AB（6,0）,

将C（0,6）、B（6,0）代入y=—g/+bx+c得：

一~-x36+6Z?+c=0

<2,

c=6

b=2

解得

c=6

，抛物线的解析式为y=-gx?+2x+6；

(2)解：如图1所示：作点0关于BC的对称点0',由O8=OC=6,?。8c1OCB45?,

则O"=OC,O8=O3,?O@B?OBC45?,

VO,与0关于BC对称，

.*.PO=PO'.

・・・PO+AP=PO'+AP.

・••当A、P、O'在一条直线上时，OP+AP有最小值.

Vy=-^-x2+2x+6,

当y=0时，-gx2+2x+6=0,

解得：xi=-2,X2=6,

AA(-2,0),

设AP的解析式为y=mx+n,

[—2/n+/?=C

把A(-2,0)、O'(6,6)代入得：/

0/77+«=O

解得：，

33

JAP的解析式为y=wx+]

f33

qqIv=Y+

将丫=二%+5与y=-x+6联立J“42,

42[),=_*+6

18

x——

7

解得：

24，

y=T

，点p的坐标为

(3)解：如图2,

图2

1,1,

y=——X"+2,x+6=——(x—2)'+8,

AD(2,8),

又■(0,6)、B(6,0),

，CD=2后，BC=6&,BD=4石.

.*.CD2+BC2=BD2,

...△BCD是直角三角形，

Be

tanZBDC=---=3,

CD

VA(-2,0),C(0,6),

/.0A=2,0C=6,AC=29

oc

•二tanZCAO==3,

OA

AZBDC=ZCA0.

当△ACQSZ\DCB时，有g=黑，

DCDB

pn2MAQ

即亚=而解得AQ=20,

AQ(18,0)；

当△ACQs^DBC时，有4£=超

DBDC

2710AQ

4石―2店'解得AQ=2,

AQ(0,0)；

综上所述，当Q的坐标为(0,0)或(18,0)时，以A、C、Q为顶点的三角形与aBCD相

似.

【点评】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，利用轴对称求解两条线段和

的最小值，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理的应用，锐角三角函数的应用，证

明ZBDC=ZCA0是解决问题的关键.

13

5.(1)y=—x~9—x+2

22

(2)M(2,-3)或(5,-18)

(3)y--^-x2-^-x

22

【分析】(1)利用函数的对称轴确定点B的坐标，再用待定系数法求解即可.

(2)利用勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形，根据三角形相似，对应边不确定

时，分类求解即可.

(3)设E(乙，先)，F(xf,炸)，P(p,%),过P作y轴平行线/,分别过E,F作直

线/的垂线，垂足分别为M,N,构造一线三直角相似模型，证明相似，再构造方程组，转化

为一元二次方程的根与系数关系定理，求解即可.

(1)

,直线y=gx+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,

当x=0时，y=2,即C(0,2),

当y=0时，1x+2=0,

解得x=-4,即A(-4,0).

3

由A、B关于对称轴x=-1对称，得

B(1,0).

将A、B、C点坐标代入函数解析式，得

l6a-4b+c=0

■a+b+c=O,

c-2

3

解得

c=2

1,3

...抛物线的解析式为y=-]x2-1x+2.

(2)

连接BC,

图1

i3

设M(m,—m2—m+2),则N(m,0).

22

I_3

AN=m+4,MN=-w2+—m-2.由勾股定理，得

22

AC=4AOr+OC2=742+22=2石，BC=^BO2+OC2=Vl2+22=石,

AB=l-(-4)=5,

AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

①当△ANMs/\ACB时，NCAB=NMAN,

Be]

VtanZCAB=tanZMAN,tanZCAB=---=—,

AC2

12^30

.—mH—in—21

•.tanN/AMIA1NT=22_£，

根+42

整理，得加+2〃?-8=0,

解得:叫=-4(舍去)，m2=2,

AM(2,-3),

②当△ANM's/\BCA时，ZCBA=ZMAN,

AC

1anZCBA=tanZMAN,tanZCBA=---=2,

BC

13c

・八一根2—m—2

..tanZMAN=22—乙，

〃z+4

整理，得病-加-20=0,

解得：叫=-4(舍去)，加2=5,

AM(5,-18),

综上，点M的坐标是M(2,-3)或(5,-18).

(3)

设E(X£,%),F(X..，力)，P(p,%)，过P作y轴平行线/,分别过E,F作直线/的

垂线，垂足分别为M,N,

图2

・・・NEPF为直角，

・・・NMPE+NNPF=90°,

•・・NPFN+NNPF=90°,

・・・NMPE=NNPF,

VZPME=ZFPN=90°,

/.△PME^AFNP,

.MEPM

・・丽一俞’

.•.ME・NF=PM・PN,(xE,yE),F(xF,yF),P(p,yP),

••(-p)(工尸-p)=(九-%)yp~yF)①,

I3।3]

12

<%-yp=一耳工/--xE+2-(--p--/?+2)="—(xE-p)(x£+p+3),

1931?31

yp~+_/工/+2)=5(xE-p)(xF+p+3),

代入①式得4•/■+(p+3)+x尸)+〃2+6p=-13②，

设直线EF的解析式为y=kx+m,联立y=-5/-耳1+2得

y=--x2--x+2

22,

y=kx+m

：.x2+(2k+3)x+2加一4=0,

・・・/、号是该方程的两个根,

==：

.・冗6+x尸-2k-3,%E•Xp2m-4,

代入②，整理，得

/+3,

m=(p+3)k-

2

则直线EF的解析式为y=kx+(p+3)k-/+3p,

2

・••当P为定值时，直线EF过定点D(-p-3,-"+3p

),

2

x=-p-3,y=-P+3〃,

2

._123

・・y=--x~2Xf

13

随着p的值发生变化时，D点移动时形成的图像解析式为＞

【点评】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，勾股定理，三角函数，三角形相似

的判定和性质，一元二次方程根与系数关系定理，定点的意义，熟练运用待定系数法，灵活

用三角形的相似，一元二次方程根与系数关系定理是解题的关键.

6.(1)A(-1,0),B(1,0),C(0,-1)；(2)四边形ACBP的面积为4；(3)M点的坐标

47

为(-2,3)或(§,—)或(4,15).

【分析】(1)抛物线与x轴的交点，即当y=0,C点坐标即当x=0,分别令y以及x为0,求

出A,B,C坐标的值；

(2)四边形ACBP的面积=AABC+ZXABP,由A,B,C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，

且AC=BC,则可求出AABC的面积，根据已知可求出P点坐标，可知点P到直线AB的距离，

从而求出AABP的面积，则就求出四边形ACBP的面积；

(3)假设存在这样的点M,两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，NPAC和NMGA是

直角，只需证明当=鬻或婴=誓即可.设M点坐标，根据题中所给条件可求出线段

PACACAPA

AG,CA,MG,CA的长度，然后列等式，分情况讨论，求解.

【解析】解：(1)令y=0,

得x2-l=0,

解得x=±l,

令x=0,得y=T,

AA(-1,0),B(1,0),C(0,-1)；

(2)VOA=OB=OC=1,

AZBAC=ZAC0=ZBC0=ZCB0=45°.

・.・AP〃CB,

・・・NPAB=NCB0=45°.

过点P作PE，x轴于E,则4APE为等腰直角三角形，

y

令OE=a,则AE=PE=a+l,

；・P(a,a+1).

•・•点P在抛物线y=x2-l±,

•*.a+l=aJ_l.

解得5=2,a2=-l(不合题意，舍去).

APE=3.

四边形ACBP的面积S=-AB«OC+-AB«PE

22

=-X2X1+-X2X3=4；

22

(3)假设存在,

VZPAB=ZBAC=45°,

APA±AC,

•；MG，x轴于点G,

/.ZMGA=ZPAC=90°,

在RtZ\AOC中,0A=0C=L

；.AC=&,

在RtZ\PAE中,AE=PE=3,

，AP=3后，

设M点的横坐标为m,则M(m,m2-l),

①点M在y轴左侧时，则m<-l.

(i)当△AMGs/\pcA时，有---=----

PACA

AG=-m-l,MG=m2-l.

-m-\病_[

即WFF'

2

解得nh=T（舍去）m2=y（舍去）;

(ii)当△MAGs/iPCA时有％="

CAPA

-m-\_m2-\

即丁一近

解得：m=~l（舍去）小2二-2,

AM（-2,3）；

(i)当Z\AMGsAPCA时有---=---

PACA

VAG=m+l,MG=m2-l,

/n+1_m2-1

‘次"丁’

4

解得叫二-1（舍去）m2=y；

（。，〉；

(ii)当△MAGs/ipCA时有半=也

C4PA

即空_m2—1

一3丘.

解得：叫二-1（舍去）m2=4,

AM（4,15）；

4

・・・存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与4PCA相似，M点的坐标为（-2,3）或（耳，

7

或（4,15）.

y

【点评】本题考查了抛物线与数轴交点求解问题，以及抛物线与三角形，四边形之间关系转

换问题，相似三角形问题，要特别注意在第三问时要分情况讨论.

7.(1)抛物线解析式为y=-/-6x-5,点B(-5,0)；(2)NM最大值为=耳?；(3)存

在，点P的坐标(0,-1)或(0,).

【分析】(1)利用待定系数法点A(T，。)、点C(O,-5)代入抛物线)，=-/+队+。上，的方程

f—1—/?+<?=0[Z?=-6

组u，解方程组求出｛」令y=0,解方程，即可求出点B(-5,0)；

[c=-5[c=-5

(2)过N作ND〃y轴交BC于D,用待定系数法求BC解析式为：y=-x-5,由0B=0C=5,

/B0C=90°,可得△B0C为等腰三角形，Z0CB=45°,由MWJ_BC可得NNDM=N0CB=45°，

利用三角函数NM=^ND,ND最大时，NM最大，设N(x,-x2-6x-5),D(x,-x-5),

2

ND=/x+g+生，由a=T<0,当x=时，ND有最大值=3即可；

I2)424

(3)存在，点P的坐标(0,T)或(0,y).分类考虑，当点P在0C上,PC=AB时，AABC^APCB

(SAS),P(0,-1),当点P在y轴正半轴上，ZABC=NPCB=45。,当器=冬时，

△ABC^APCB,点P(0,y)即可.

【解析】解：(1)点解TO)、点。(0,-5)在抛物线y=-f+fcc+c上,

[―1—/?+c=0

代入抛物线得：「，

解得

...抛物线解析式为y=-x2-6x-5,

当y=0时，一V-6x-5=0,因式分解得(x+5)(x+l)=。,

解得x=-5,x=-1,

・••点B(-5,0)；

(2)设BC解析式为：y=kx+bf过点B(-5,0)和(0,-5),

-5k+b=0

代入得

b=-5

k=-\

解得

b=-5

BC解析式为：产-x-5,

V0B=0C=5,ZB0C=90°,

•••△BOC为等腰三角形，

AZ0CB=45°,

过N作ND〃y轴交BC于D,

・・・NNDM=N0CB=45°,

又•：NMIBC,

ANM=NDXcos45°二，ND,

2

・・・ND最大时，NM最大，

设N(x,-x2-6x-5),D(x,-x-5),

Va=-l<0,

当工=-；5时，ND有最?5大值二?，

ANM最大值为二立ND=旦义竺=身旦;

2248

(3)存在，点P的坐标(0,-1)或(0,—).

2

当点P在0C上，PC=AB时，

在aABC和aPCB中，

AB=PC

<NABC=/PCB=45。,

BC=CB

AAABC^APCB(SAS),

；・AABC^APCB,

VAB=-l+5=4,

・・・PC=4,

A0P=0C-PC=5-4=l,

P(0,-1),

当点P在y轴正半轴上，

■:NABC=NPCB=45。,

当空=g£时，△ABCS/\PCB,

BCCP

：.CP8c2_(50)125,

AB42

2515

/.PO=PC_0C=---5=—

22f

点P(0,),

存在点P,使以B,C,P为顶点的三角形与-ABC相似，点P的坐标（0,-1）或（0,y）.

【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式，解一元二次方程，等腰直

角三角形，特殊角锐角三角函数，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，掌握待

定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式，解一元二次方程，等腰直角三角形，特殊角锐

角三角函数，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质是解题关键.

8.(1)y=x2-2x-3；(2)tanN84D=g；(3)P点坐标为(5,2)或(7,4)

【分析】(1)根据一次函数y=x-3可以求出A点和B点坐标，把A点和B点坐标代入

y=+for+c即可求出抛物线的表达式；

(2)利用勾股定理分别求出AB、AD、BD的长度，再根据勾股定理逆定理可以证明4ABD是

直角三角形，从而可以求出/BAD的正切值；

ArAPACAP

(3)先通过计算得出NAEO=135。，则P点在x轴上方，然后分黑=娱或置=三两

AEDEDEAE

种情况进行讨论即可得到答案.

【解析】解：(1)在y=x-3中，

x=0时，y=-3,

y=0时，x=3,

・・・A(3,0),B(0,-3),

(c=-3

把A(3,0),B(0,-3)代入丫=/+法+。得：上°,'八，

9+3/?+c=0

h=-2

解得

...抛物线的表达式为y=x?-2x-3；

(2)Vy=x2-2x-3=(x-l)2-4,

AD(1,-4),

又•；A(3,0),B(0,-3),

AD=^(3-l)2+[0-(-4)]2=2yj5,BD="O-lf+[(-3)-(-4)f=&,

AB=>/(3-0)2+[0-(-3)]2=3夜，

AB2+BD2=(3&y+(&y=20,AD2=Q舟=20,

...AB2+BD2=AD2.

.'△ABD是直角三角形,且NADB=90°.

tanZBAD=

(3)如图，

V0A=0B=3,ZA0B=90°,

・・・N1=N2=45°，

又・・・DE〃OB,

・・・N3=N2=45°,

.,.ZAED=135°,

又,•'△PAC与AAED相似，Zl=45°,

•An*IIA口ACAP—ACAP

..点P在X岫上方，且瓦=法或须=布

在y=x-3中,x=l时，y=-2,

在y=f-2x-3中，y=0时，x1=-Lx2=3,

/.E(l,-2),C(-l,0),

・・・AC=3-(-1)=4,DE=(-2)-(-4)=2,AE=^(3-l)2+[O-(-2)]2=272,

4AP—4Ap

二显=3或5=TT

解得：AP=2应或AP=40,

过点P作PQ_Lx轴于点Q

又；N4=N1=45°,

.♦.△PAQ是等腰直角三角形，

当4P=2&时，AQ=2,此时P(5,2),

当AP=4x历时,AQ=4,此时P(7,4),

综上所述，P点坐标为(5,2)或(7,4).

【点评】本题为二次函数综合题.考查一次函数与坐标轴的交点问题，利用待定系数法求函

数解析式，两点的距离公式，勾股定理，三角函数解直角三角形，相似三角形的性质以及等

腰直角三角形的判定和性质等知识.利用数形结合的思想结合分类讨论并正确的作出辅助线

是解答本题的关键.

9.(1)y=；f+；x-l,D(-3,2)；(2)S&0DE=|；(3)P的坐标为(0,8)或(0,1)

【分析】(1)由待定系数法可求出解析式，由抛物线解式可求出点。的坐标；

(2)求出E点坐标，由三角形面积公式可得出答案；

(3)由点的坐标得出？ABC?OCD45?,若APC£)与AABC相似，分两种情况：①当

?BAC?C£>尸时，DDCP^DABC；②当？8AC?/)PC时，DPCD^DABC,得出比例线段，则

可求出答案.

【解析】解：(1)抛物线丫=奴2+'T经过点A(-2,0),8(1,0)和D(-3,“),

|4a-2b=1

Jt7+b-1'

1

a=—

2

解得：7,

b=—

2

••・抛物线解析式为：y=^2+|x-i；

••.«=!?(3『+；?(3)-1=2,

•・.£>(-3,2)；

(2)将抛物线平移，使点C落在点8处，点。落在点E处，

\E(-2,3),

\SDODE=9-驷2?21=|；

(3)如图1,连接CO,AC,CB,过点。作DE工y轴于点E,

图1

.4-2,0),8(1,0),C(-l,0),£>(-3,2),

OB=OC,DE=CE=3,AB=