第一章基础知识课件

本科时开出的数字信号处理课程，主要讲授的有：离散时间信号和系统的基本理论，离散付里叶变换及快速算法（DFT、FFT）等，这称为所谓“经典”理论。为研究生开设的这门学位课，主要内容为：最佳线性滤波（维纳滤波和卡尔曼滤波），自适应信号处理，现代谱估计理论，同态信号处理，阵列信号处理，人工神经网络和小波变换在信号处理中的应用，以及数字信号处理的硬件实现等。它们大多是近十多年来发展迅速和应用广泛的前沿学科领域，其中不少属交叉学科领域。因此，取名为“现代数字信号处理”。但“经典”与“现代”没有严格的界线，因为许多“经典”内容，也曾一度作为新兴前沿学科，而今正在发展的“现代”理论和方法，终有成为“经典”的一天。本课程总学时数有限，许多内容还要同学们自学，不然的话，在这有限的学时中，很难完成我们的教学内容和学习目的。绪论第一章基础知识1.1随机矢量1.2相关抵消1.3Gram-Schmidt正交化1.4偏相关系数1.5功率谱和周期图1.6谱分解1.7信号的参数模型1.1离散随机信号及其数字特征

一、随机信号指不能用确定性的时间函数来描述，只能用统计方法研究的信号。统计特性

：概率分布函数、概率密度函数

统计平均：均值、方差、相关

在时域离散情况下的随机过程——离散随机信号二、离散随机信号视为随机矢量常用的数字特征是各种平均特性及相关函数等。说明：我们考虑的是：①各态历经信号——指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。所以只需测量一次样本就是以描述所有样本的随机特性。还有：我们研究的多是：②平稳随机信号——其均值和相关不随时间变化。注意：各态历经信号一定是平稳随机信号，反之不然。定义：⒈

均值：⒉

方差:我们讨论的是③零均值的随机信号，即可重新定义，让零均值。Note：也为该信号的交流功率（平均功率）。⒊

相关函数：即在时刻n、m的相关性。⑴

自相关函数（一个随机信号）⑵

互相关函数（两随机信号）自相关函数：

白噪声信号互相关函数：⒋自协方差函数:三、N维随机矢量是由N个不同随机变量为分量构成：N维随机矢量X的均值也是一个N维矢量：X的自相关函数：是一维的正半定对称矩：也称平均互功率矩阵。用它来描述N维矢量中任两个元素间的相关程度，X的自协方差函数也是个的正半定对称矩阵：且：，类似于

（零均值）时，1.2相关抵消如果X、Y分别是N维和M维零均值随机矢量，且它们相关：

现对Y进行线性变换（让变换后的矢量与X不相关），得：（H是维）构造：，使e与Y不相关：即∴此式具有三个功能，即：①

最佳线性估计②

相关抵消③

最佳信号分离由此构成相关抵消器原理图：Hxy-+1.3Gram-Schmidt正交化

一、基本定义⒈

内积的定义：设u、v为线性空间的任二矢量由前面分析可知：

任一矢量X相对于Y可分为两部分：一部分为：

另一部分为：e与Y不相关

两部分的相关函数：并且，可以证明相互正交。其内积为：⒉两矢量正交：二、正交投影定理定理：矢量X在线性空间Y上的正交投影是Y中与x距离最近的一个矢量。定理说明：

可见，说明用Y中随机变量的线性组合来逼近x时，在最小二乘方的意义上，是最佳的。这是因为：由内积空间中两矢量U、V的距离公式：就可得前面的结论。三、Gram-Schmidt正交化

这是一个递归处理过程：其目的是由非正交基底,求出一组正交基底。处理过程为：这样构造出的基底是Y的正交基底。设1.4偏相关系数偏相关是一个与Gram-Schmidt正交化紧密相关的概念，它在线性预测和现代谱估计中起着重要的作用。根据正交分解定理，有：上式写成矩阵形式：可得：1.5功率谱和周期图一、定义：功率谱又称功率谱密度定义为自相关函数的付里叶变换。对于离散时间实平稳随机信号的功率谱定义为：的双边正变换：二、说明⒈

若是稳定的，则的收效域包括，令，便为功率谱：⒉

不相关随机信号（白噪声），其自相关函数：∴其功率谱：⒊

两实平稳随机信号根据定义，互功率谱且有：三、周期图⒈

说明：在实际应用中，通常观测到的是信号的有限个（N个）取样值，用表示，可以认为它是分段平稳随机信号中的一段，也可以看成是从平稳随机信号中截取出来的一段数据。我们知道，平稳随机信号，无论从何时开始取其中任何一段长为N的数据，所计算出来的均值或自相关值都是相同的。

信号可以看成是用宽为N的数据窗W(n)从平稳随机信号y(n)中截取出来的，即：则自相关函数：可看成：⒉

定义：由此得周期图的定义：取样自相关函数的双边Z变换：考虑到：时域卷积对应频域相乘上式很适合FFT计算。⒊

讨论长为N的数据来计算周期图，能达到的频率分辩率为：∵数学频率ω与物理频率f，有∴（物理）频率分辨率：其中，是数据段的持续时间，单位秒。1.6谱分解

零点的位置不影响系统的幅频特性，只影响相频特性（亦不影响因果性和稳定性）。即：是最小相位序列，则其Z变换：式中：零点

为最小延时多项式。一、最小相位序列Z变换的所有零点都在Z平面单位圆内的序列——最小相位序列，当把共轭倒序为时，相应的零点就从。若在单位圆内，则就在单位圆外。

当将这M个零点都移至单位园外时，它对应的序列就是最大相位序列或最大延时序列。即全部零点在单位圆外。二、最大延时序列三、部分能量和最小延时序列的总能量由帕斯瓦尔Parseval恒等式：可以证明：最小相位序列的能量主要集中在初始阶段。（具有最小延时）而最大相位序列的能量主要集中在尾部。（具有最大延时）四、谱分解定理⒈

定理：任何实平稳随机信号的有理功率谱，都可唯一地表示成最小相位形式：式中为常系数，为有理函数，可调整，使、为首1多项式，则分解唯一。⒉

意义：首先是保证了平稳随机信号模型的存在。

任何一个平稳随机信号都可看作是：白噪声激励一个LTI因果系统产生输出的。白噪声序列B(z)因果、稳定、LTI

平稳随机信号模型谱分解定理的证明很简单。

是实平稳随机信号的功率谱密度函数：①

满足对称条件：②

如果是它的实数零点，则也是实数零点；如果是复数零点，则的实数性质可以判定也将是一个复数零点；③

说明的分子多项式可以写成最小相位多项式之积；④

对于的分母多项式也有类似的情况，即；可调整，使、为首1多项式，则分解唯一。⑤

为使是因果和稳定的，它的全部极点，即的全部零点都应在单位圆内，而为了使它的滤波器是因果和稳定的，的全部极点即的全部零点也应在单位圆内，因此、都应是最小相位的，该模型的输出功率正好为：“谱分解”定理，也保证了的成立。例：用谱分解定理对有理功率谱进行分解

解：

由上式分解为：

其中：

大家下去完成

的谱分解。Note:分母多项式不需分解，只对分子多项式分解。Let：再比较两边系数

解得：故：即：[进一步说明]：谱分解定理对于实平稳随机信号有理功率谱这里：最小相位∴是两个最小相位Z变换之比。合成系统分析系统⑴若系统为因果稳定，由可知，的极点与的零点都必须在单位圆内，因此是最小相位序列。⑵若系统亦为因果稳定，同理可知，亦为最小相位序列，因此、均为最小相位序列。1.7信号的参数模型信号的参数模型应用很广，多种多样，但其思想是共同的，即将具有许多变量的复杂过程用包含少量参数的简单模型来表示，用简单模型表示复杂过程就会有近似误差，但是，如果模型参数具有物理意义，就可研究模型参数产生的影