测控系统仿真技术课件

控制系统的数学模型2.1微分方程控制系统的数学模型通常是指动态数学模型。最基本、最重要的数学模型是微分方程，它反映了元部件或系统动态运行的规律。建立系统的数学模型，一般是根据系统的实际结构、参数及计算精度的要求，抓住主要因素，略去一些次要的因素，使系统的数学模型既能准确地反映系统的动态本质，又能简化分析计算的工作。建立数学模型比较常见的方法是解析法和实验法。

解析法是根据系统及元部件中各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出系统各变量之间数学表达式，然后建立起系统的数学模型；实验法是采用某些检测仪器，在现场对控制系统加入特定信号，对输出响应进行测量和分析，得到实验数据，从而建立系统的数学模型。2.1.1微分方程的建立1.微分方程建立的一般步骤采用解析法来建立系统或元部件的微分方程所遵循的一般步骤是：（1）确定系统或元部件的输入、输出变量。（2）根据物理和化学定律（比如：牛顿运动定律、能量守恒定律、克希霍夫定律等）列出系统或元部件的原始方程式，按照工作条件忽略一些次要因素。（3）找出原始方程式中间变量与其它因素的关系式。（4）消去原始方程式的中间变量，得到一个关于输入、输出的微分方程式。（5）进行标准化处理，将输出各项放在等号左端，输入各项放在等号右端，并且按照微分方程的阶次降幂排列，同时将各系数化为具有一定物理意义的形式。例2.1

R—L—C串联电路，建立该系统的微分方程。

解：在R—L—C串联电路中，输入电压Ur为系统的输入量，输出电压Ｕc为系统的输出量。根据克希霍夫定律，可以得到回路的电压方程如下：电容Ｃ两端的电压为：中间变量为：

带入原始方程中，消去中间变量，并移项整理得：

该式即为R—L—C串联电路的微分方程。

2.1.2线性微分方程的求解采用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤（1）将系统的微分方程进行拉普拉斯变换，得到以S为变量的代数方程，也称为变换方程。（2）求解变换方程，得到系统输出变量的象函数表达式。（3）将输出的象函数表达式展开成部分分式。（4）对部分分式进行拉普拉斯反变换，即可得到系统微分方程的解。2.1.3非线性数学模型的线性化处理

1.线性化的基本概念所谓非线性数学模型的线性化就是对一个非线性系统的数学模型找出其稳定的平衡点，如果在工作过程中，代表系统属性的各物理量只在该平衡点附近产生微小的变化，非线性系统模型就能够以此平衡点为基础，表示成一个线性模型，关于线性系统的控制理论都能适用于该模型。这便是自动控制理论里关于小偏差线性化方法或称增量线性化方法的概念。2.非线性数学模型的线性化的基本方法对于非线性系统，当系统变量偏离工作点的偏差值很小时，由级数理论可知，若变量在给定的工作区间内其各阶导数存在，便可在给定工作点的邻域内将非线性特性展开为泰勒级数，当偏差的范围很小时，可以忽略级数中偏差的高次项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。3.求线性化微分方程的步骤（1）按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。（2）找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。（3）将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。（4）消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值加偏差量来表示。

2.2传递函数

2.2.1.传递函数的概念1.传递函数的定义对于一个线性定常系统，在初始条件为零时，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为该系统的传递函数。表示为：2.传递函数的求取按照传递函数的定义，利用系统的微分方程进行相应的拉氏变换，即可得到系统的传递函数。例LRC电路的传函：3.传递函数的性质根据线性定常系统的传递函数表达式的分析，传递函数具备下列性质：（1）传递函数是描述线性系统或元部件动态特性的一种数学模型，在形式上与系统的微分方程一一对应。（2）传递函数只表明输入变量与输出变量之间的动态关系，不能够反映出系统内部的信息。（3）传递函数只能直接反映系统在零初始状态下的动态特性，即在零时刻之前，系统在给定工作点处是相对静止的；若系统处于非零初始状态下，则传递函数无法反映系统的特性和运动规律，需要作其它方面的处理。（4）传递函数完全由系统的结构、参数确定，而与输入信号的形式无关，它反映了系统本身的动态特点。对于同一系统，当选取不同的输入量和输出量时其传递函数是不同的。（5）同一个系统，对于不同作用点的输入信号和不同观测点的输出信号之间，传递函数具有相同的分母多项式，所不同的是分子多项式。在分析系统性能时，常将传递函数的分母多项式称为特征多项式，它决定着系统响应的基本特点和动态本质。（6）实际系统中，传递函数的分母多项式阶次n总是大于分子多项式阶次m，这是因为控制系统总是存在“惯性”，且外部提供的能量是有限的。（7）传递函数是一种数学抽象，无法直接由它看出实际系统的物理构造，物理性质不同的系统，完全可以有相同的传递函数表示。

2.2.2典型环节及其传递函数通常，控制系统是由若干元部件有机组合而成的，从结构和作用原理来看，可以有各种各样的不同元部件，但是从动态性能和数学模型来看，可以分为几个基本的典型环节。不管元部件是机械式、电气式、液压式等，只要其数学模型一样，它们就可以归纳为同一个环节，这样给分析、研究系统性能带来很多方便。常用的典型环节主要有比例环节、惯性环节、一阶微分环节、积分环节、振荡环节、延迟环节等6种形式。1.比例环节比例环节也称为放大环节，其特点是环节的输出量与输入量成正比。传递函数为：

其中k为放大系数。2.惯性环节

传递函数为：

k为传递系数；T为惯性时间常数

3.一阶微分环节

传递函数为：

为微分时间常数

理想的微分环节(纯微分)传递函数为：4.积分环节传递函数为：式中，称为积分时间常数。

5.振荡环节传递函数为：其中T为时间常数，为阻尼系数，也称为阻尼比，称为无阻尼自然振荡频率。

6.延迟环节延迟环节的特点是具有时间上的延迟效应，当输入量作用后，在给定一段时间之前，延迟环节的输出量一直未变化，只有到达延迟时间以后，环节的输出量才无偏差的复现原信号。延迟环节的传递函数为：

通过上述分析，我们要明确以下几点：（1）系统的典型环节是按照数学模型的共性来建立的，它与系统中使用的元部件不是一一对应的，一个系统可能是一个典型环节，也可能由几个典型环节组合而成。（2）按照数学模型对元部件和系统进行分类，产生出若干典型环节，将有助于系统动态特性的研究和分析。（3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常系统来描述的场合。

2.2.3自动控制系统的传递函数

如下图所示的闭环控制系统，采用叠加原理可分别求出在输入信号和扰动信号作用下的系统各类传递函数。

其中各类信号和装置分别定义为：输入信号：R（S）输出信号：C（S）主反馈信号：B（S）偏差信号：E（S）干扰信号：N（S）控制器：G1（S）被控对象：G2（S）反馈环节：H（S）输入信号主反馈信号干扰信号被控对象输出信号偏差信号控制器反馈环节1.系统开环传递函数

闭环系统在开环状态下的传递函数称为系统的开环传递函数，这是指当系统主反馈通路断开以后，反馈信号与输入信号之间的传递函数。表示为：

从上式可以看出，系统开环传递函数等于前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数之乘积。输入信号作用下的系统闭环传递函数

令干扰信号为0，系统输出信号与输入信号之间的传递函数即为输入信号作用下的系统闭环传递函数。表示为：

3.干扰信号作用下的系统闭环传递函数令输入信号为0，系统输出信号与干扰信号之间的传递函数即为干扰信号作用下的系统闭环传递函数。

表示为：

4.闭环系统的误差传递函数

输入信号作用下的误差传递函数：令干扰信号，误差信号与输入信号之间的传递函数即为输入信号作用下的系统误差传递函数。表示为：

2.3动态结构图及其等效变换

2.3.1结构图的组成及绘制1.结构图的组成符号、名称及功能系统动态结构图的组成符号主要有以下4种：（1）信号线：表示系统中信号的流通方向，并标明信号对应的变量。（2）引出点：表示信号从该点取出，从同一信号线上取出的信号，其大小、性质完全相同。（3）比较点：表示两个或两个以上的信号在该点进行叠加。（4）方框：表示输入、输出信号之间的动态传递关系。

结构图的绘制步骤（1）列出系统中各元部件的微分方程，确定输入、输出变量。（2）以典型环节或典型环节的组合来取代系统中的具体元部件，将各环节的传递函数填入方框中，标出信号及其流向。（3）按系统中信号的流向，把代表各环节的方框连接起来，即构成系统的结构图。方框图中给出了信息传递的方向，又标出了输入、输出的定量关系。2.3.2结构图的等效变换控制系统通常是由不同的典型环节按照各自相互关系有机地连接起来，这种连接可以分为以下3种形式：1.串联连接环节串联连接的特点是：前一环节的输出量是后一环节的输入量。一般情况下，当n个环节串联时，忽略负载效应后，其等效传递函数为：

可见，串联等效环节的传递函数等于各环节传递函数的乘积。

并联连接其特点是：各环节的输入信号相同，输出在相加点进行叠加。一般情况下，当n个环节并联时，其等效传递函数为：

可见，并联等效环节的传递函数等于各环节传递函数的代数和。3.反馈连接反馈连接的特点是：环节的输出信号反馈到输入端与输入信号进行比较。则负反馈连接的系统闭环传递函数为：

若称为单位负反馈系统。

2.4状态空间描述

状态空间表达式：根据分析，对于某一特定系统（可以是线性或非线性的、定常或时变的），当引入n个状态变量(系统的内部变量)，将其化为n个一阶微分方程组的形式，再对其采用矩阵描述，可以得到如下表达式：

.X=AX+BU,状态方程，描述状态变量与输入量间的一阶微分方程

Y=CX

,输出方程，输出量与状态变量间的函数关系式

其中：

A——状态变量系数矩阵,系统矩阵

B——输入变量系数矩阵，控制矩阵

C——输出变量系数矩阵，输出矩阵

例，对于RLC电路通常取储能元件上的参数为状态变量：

X1=Uc,X2=i

代入上式就可得：通常输出信号记为y,有y=Uc=X1,写成向量矩阵形式：2.5数学模型的相互转换

在实际工程中，由于要解决自动控制问题所需要的数学模型与该问题所给定的已知数学模型往往是不一致的，也可能是要解决问题最简单而又最方便的方法所用到的数学模型与该问题所给定的已知数学模型不同，此时，就需要对控制系统的数学模型进行转换。另外，在不同的应用场合，由于实际系统所给定的数学模型形式各异，在仿真时要进行模型的转换，即将给定模型转换为仿真程序能够处理的模型形式。通常，系统的微分方程作为描述动态性能的基本形式，当作为共性的内容进行分析时，又常常将其转换为传递函数形式，而在计算机中，利用系统的状态空间描述最方便。所以，讨论系统数学模型之间的转换具有实际的指导意义。

本章小结

本章介绍了几种控制系统中常用的数学模型形式，其中，系统的微分方程是最基本、最常用的；通过拉氏变换得到的传递函数也是表达系统性能的常见数学模型；若系统内部的结构较复杂，又要表示出各变量之间的信号传递关系，就可以采用动态结构图来描述；此外，为了反映出系统中变量的初始状态，还可以用状态变量来描述系统的数学模型。要明确各类数学模型的定义、特点、表示方法，掌握数学模型的建立过程，为后面的实际应用打下良好的基础。在实际应用中，可以根据系统的性能和表达方式来合理地选择数学模型的类别，也可以将各种不同模型进行转换，以得到一个最适合的模型，用于控制系统的分析和讨论。

控制系统的分析方法3.1典型输入信号及其响应

3.1.1概述系统的响应是指在给定信号作用下，系统的输出信号随时间变化的状况，也是系统微分方程的解。我们将系统在稳定之前的响应称为暂态响应，它提供系统在过渡过程中各项动态性能指标；系统到达稳态后的响应称为稳态响应，它反映出系统的稳态性能指标，也即系统稳态误差的大小。为了便于研究和分析控制系统，通常选用几种确定的函数来作为典型的外部输入信号，其具备的基本特点是：在实际工作现场或实验室中，这种外作用信号容易产生。在典型的外部信号作用下，系统的响应能够反映出该控制系统在实际工作中的确定性能。选择的外部作用信号其数学表达式简单，便于进行理论计算。

3.1.2典型输入信号

目前，在工程设计中比较常见的典型外部作用信号主要有以下5种：1.阶跃函数信号阶跃函数信号是控制系统在实际工作条件下经常遇到的一种外作用信号，例如，给系统加重和卸载；电源电压的突然跳动，表现出来的即为阶跃函数信号。2.斜坡函数信号斜坡函数信号也称为速度函数信号，例如，运算放大器输入为恒值电压时，输出即为斜坡函数。3.抛物线函数信号抛物线函数信号也称为加速度函数信号，在随动系统中是最常见的作用信号。4.脉冲函数信号脉冲函数信号也称为冲击函数信号，单位脉冲函数信号为数学上的一种抽象，在实际系统中难以产生。5.正弦函数信号正弦函数信号是在频率法中采用的外作用信号，用正弦函数作为系统的外作用信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入信号的稳态响应，称之为频率响应。3.1.3典型信号的响应

对于一个控制系统来讲，设其各变量的初始状态为零，在输入典型外作用信号时，系统的输出称为典型信号的响应。（1）单位阶跃响应：系统在单位阶跃函数信号作用下的输出称为单位阶跃响应。（2）单位斜坡响应：系统在单位斜坡函数信号作用下的输出称为单位斜坡响应。（3）单位脉冲响应：系统在单位脉冲函数信号作用下的输出称为单位脉冲响应，也称为脉冲过渡函数。3.2时域分析法控制系统对非周期性信号的响应称为时域响应。在经典控制理论中，时域分析法是一种最常见的分析方法，表现出直接、准确的特点，可以提供系统时间响应的全部信息。3.2.1一阶系统的时域响应可以采用一阶微分方程来描述其暂态过程的系统称为一阶系统。一阶系统的微分方程一般形式为：其闭环传递函数为：T为系统的时间常数，下面讨论在系统初始条件为零时，一阶系统对典型输入信号的响应。

一阶系统的单位阶跃响应分析对一阶系统输入单位阶跃函数信号：其拉氏变换为：系统的输出响应：将上式进行拉氏反变换，可以得到系统输出的过渡过程表达式：

在单位阶跃输入信号作用下，一阶系统的输出量随时间变化的规律是单调上升的指数曲线，响应的最终值为1，时间常数T是描述响应速度的唯一参数，Ｔ越小，暂态过程进行得越快，即速度越快。

结论：一阶系统的阶跃响应曲线是一个单调的非周期响应，没有超调量，系统过渡过程的快慢是其主要性能指标，通常称之为调节时间。一般有：ts=3T（对应5%的误差带）

ts=4T（对应2%的误差带）从上式中可以看出，系统的时间常数越小，调节时间就越小，系统响应的过渡过程时间就越短，响应过程的快速性就越好。

【例3.1】已知一阶系统的传递函数为求其单位阶跃响应表达式，计算系统的过渡过程调节时间，分析系统的性能特点。解：（1）将一阶系统的传递函数化为标准式并找出系统的特征参数即：；放大系数K=5，时间常数T=0.5按公式可得加入放大器后系统的单位阶跃响应表达式为：

（2）计算系统的过渡过程调节时间取5%的误差带：ts=3T=3×0.5=1.5（秒）取2%的误差带：ts=4T=4×0.5=2（秒）（3）从上述计算结果分析该系统的性能特点该系统中加入了1个放大器，系统的单位阶跃响应是一条从零开始，按指数规律变化，最终稳态值为5的非周期性曲线，动态过程无振荡；由于时间常数为0.5，使得调节时间稍长，快速性较差；系统的稳态误差为零。

3.2.2二阶系统的时域响应

如果系统的数学模型可采用二阶微分方程来描述，则该系统称为二阶系统。二阶系统的传递函数为：

T为时间常数，为阻尼比，为无阻尼自然振荡频率。二阶系统的闭环特征方程为方程的特征根为：当方程特征根中的阻尼比取值不同时，系统的特征根和响应状态均不相同，其对应关系见表3-1所示。。

1.二阶系统的单位阶跃响应分析下面重点分析在欠阻尼状态下的二阶系统的单位阶跃响应。由于欠阻尼状态下，阻尼比取值为0＜＜1，此时系统的特征根为一对实部为负的共轭复根，可变为：

是特征根实部的模值；称为阻尼振荡角频率，对二阶系统输入单位阶跃函数信号：拉氏变换为：系统的输出响应为：将上式进行拉氏反变换，可以得到系统输出的过渡过程表达式：

这就是二阶系统在欠阻尼状态下单位阶跃响应的过渡过程。

2．二阶系统的性能指标计算及其参数对应关系

通常，在欠阻尼状态下，如上图所示，描述系统的动态性能指标有以下5个方面：

（1）延迟时间：

这是系统的单位阶跃响应到达其稳态值的50%所需的时间。增大自然频率或是减少阻尼比，都可以使系统响应的延迟时间减少，从而使响应的初始段时间短，跟踪迅速。

（2）上升时间：其中，这是系统的响应从其稳态值的10%上升到90%所需的时间。表征了系统的响应速度，上升时间越小，响应越快。当阻尼比不变时，角就不变，则增大自然频率会使上升时间缩短，可加快系统的响应速度；当阻尼振荡频率不变时，阻尼比越小，上升时间就越短。（3）峰值时间：这是指系统响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。其值与阻尼振荡频率成反比。（4）超调量：这是系统响应在过渡过程中，输出量的最大值与稳态值之间的偏差。超调量只是阻尼比的函数，阻尼比越大，超调量越小，系统的动态响应越平稳。（5）调节时间：

；对应5%的误差带，这是指系统响应到达稳态值的±5%所需的时间。

；对应2%的误差带，这是指系统响应到达稳态值的±2%所需的时间。

调节时间与阻尼比和阻尼振荡频率的乘积成反比。调节时间越短，说明系统的动态响应速度越快。上述5个动态性能指标基本上可以体现出控制系统过渡过程的总体特征。在实际应用中，经常使用的动态性能指标为系统的上升时间、调节时间和超调量。3.2.3控制系统的稳定性分析1.稳定的基本概念系统是否稳定是决定系统能否正常工作的前提条件，系统的稳定性反映在干扰消失后的过渡过程性质上。若系统受到扰动偏离原来的平衡状态后，去掉扰动量，系统能够按照一定精度恢复到原始状态，这样的系统我们称之为稳定的系统。反之，如果去掉扰动，系统不能回到原始状态，或者偏离量随时间增长而增加，则称之为不稳定系统。

2.控制系统稳定的必要条件是：——特征方程式的系数具有相同的符号，且均不为零，也即特征方程不缺项。控制系统稳定的充要条件是：——特征根均为负实数或者具有负的实数部分；或者说特征方程所有根均在根平面的左半部分；也可以说系统闭环传递函数的所有极点均位于[S]平面的左半部分。

3.劳斯稳定判据英国人E.J.劳斯提出一种代数判据，它是根据系统特征方程式的系数来直接判断特征根的实数部分的符号，从而决定系统的稳定性。劳斯稳定判据为：控制系统稳定的充要条件是劳斯阵列表中第一列所有元素的计算值均大于零。检查劳斯阵列表中第一列所有元素的符号：若第一列各元素均为正值，说明特征根具备负的实数部分，即所有闭环极点都在[S]平面的左半部分，系统是稳定的；如果第一列元素值出现负号，则系统不稳定，符号改变的次数等于特征右根的个数。

3.2.4系统的稳态误差分析前面所讨论的系统过渡过程表征了系统的动态性能，这是控制系统的重要特征之一。控制系统的另一个特征是稳态性能，对于稳定的系统，它的稳态性能一般是根据系统在阶跃函数、斜坡函数、加速度函数等输入信号作用下引起的稳态误差来衡量。1.稳态误差的概念我们将稳定系统误差的终值称为系统的稳态误差，记为：

系统的稳态误差取决于系统的结构（包括系统的类型及参数）和外部输入信号的性质。

在典型输入信号作用下的稳态误差与系统型号、静态误差系数的对应关系参见表3-4。

2.稳态误差的计算我们采用静态误差系数法来分析讨论系统稳态误差的计算，这是给定稳态误差终值的一种计算方法。

对于单位反馈系统来讲，稳态误差系数与开环传递函数中的积分环节数有直接的关系。对于稳定的系统，静态误差系数反映了系统限制或消除稳态误差的能力，系数越大，稳态误差越小；系统的类型号越高，则限制或消除稳态误差的能力越强。

3.关于稳态误差计算时的几点说明（1）只有稳定的系统才能计算其稳态误差，否则无意义，如果系统的稳定性事先没有确定，要按照稳定的条件和判断方法确定系统是稳定的，然后才能计算稳态误差。（2）前面的分析和计算公式的推导是在输入信号作用下，单位负反馈系统的稳态误差处理，如果是非单位反馈系统，应该将其转换为单位反馈，再利用公式处理。（3）公式中的K值，是根据式（3-19）所表示的系统开环传递函数得到的，如果给定的系统传递函数表达式不是标准式，则应先将其转换为式（3-19）所示的形式。

4.减少稳态误差的措施（1）组成控制系统的元器件参数应具备相应的精度和稳定性。（2）提高系统的开环放大倍数可以降低系统的稳态误差，通常是在系统的前向通道中串联放大环节。但是，单纯提高K值会使系统的稳定性变坏，造成系统不稳定，解决的办法是可以进行相应的校正，如引入局部速度负反馈等。（3）提高系统的型号，可以增强系统跟随输入信号的能力，通常是在系统的前向通道中串联积分环节。但是，积分环节增加以后，会改变闭环系统的传递函数极点，将使系统稳定性下降。3.3频域分析法

频域分析法采用自动控制中的另一种数学工具——频率特性，可以研究系统控制过程的性能，包括系统的稳定性、动态性能及稳态精度。这种方法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地运用系统的开环频率特性曲线，分析闭环系统的响应，因此它是一种图解的方法。3.3.1频率特性的概念频率特性的定义线性定常系统在正弦信号作用下，其稳态输出随频率变化的特性称为频率特性，它等于输出的稳态分量与输入的复数比。频率特性的表达式为：3.3.2典型环节的频率特性1.频率特性的3种图示法及其应用场合（1）幅频、相频特性曲线这种方法主要用于分析系统性能，推算系统的数学模型和参数。（2）对数幅频、对数相频特性曲线对数频率特性曲线也称为伯德图（Bode图），主要用于系统性能的分析和讨论，包括稳定性、动态性能、抗干扰能力和性能的改善等。（3）福相特性曲线画有福相特性曲线的图称为极坐标图，福相特性曲线也称为奈奎斯特曲线（Nyquist曲线），主要用于判断系统的稳定性。

2.典型环节的对数频率特性在系统频率特性的表示方法中，采用对数坐标图表示的伯德图具有下述特点：可以将频率特性幅值的乘除化为对数坐标中的加减运算，便于进行叠加处理。可以用比较简便的方法来绘制环节或系统的近似对数幅频特性曲线，即渐近线表示。通过实验获得的数据画成伯德图，可以方便地确定系统的频率特性表示式。由于开环系统是由各种典型环节组合而成的，可以通过典型环节的叠加后形成系统的开环特性。3.3.3系统开环频率特性为方便讨论，我们通过开环对数频率特性来分析系统的性能。为此就要绘制出系统的开环对数频率特性曲线，其基本思路是：（1）将化为标准形式，分解为各典型环节的组合。（2）按典型环节对数频率特性的特点，从小到大找出系统特性曲线在转折点处的频率和每段的斜率变化规律。（3）选定绘制系统特性曲线所采用的坐标轴比例尺和频率范围。（4）按各典型环节的对数频率特性渐近线，在转折频率处依次叠加而得到系统的开环对数频率特性。

3.3.4系统性能的分析1.三频段的定义及其与系统性能的对应关系在频率法中，为了分析和讨论系统的性能，我们提出开环对数幅频特性的三频段概念。运用三频段的原理，可以分析控制系统的性能、讨论系统参数对性能的影响、对系统进行合理的设计。一个具有较好的动态响应、较高的稳态精度、理想的跟踪能力、满意的抗干扰性能的控制系统，其开环对数幅频特性曲线中三频段的设置是很明确的。如下图所示的系统开环对数幅频特性：（1）低频段：由比例＋积分环节组合而成，，其中的开环增益K和控制系统的型号都与系统的稳态误差有关。通常，其斜率应取，而且其曲线要保持足够的高度，以满足系统的稳态误差要求。（2）中频段：在系统开环截止频率的两端区间内，主要与微分、惯性等环节有关，反映出系统的动态性能。此段中的开环截止频率不能过低，而且其附近应该具备的斜率段，以便满足系统的快速性和平稳性的要求。斜率段所占的频带宽度越大，则系统时域响应的震荡倾向和超调量越小，平稳性越好；越大，系统的快速性越好。

（3）高频段：系统最后1个转折频率以后的区域，反映出控制系统工作在高频区域时的特点，与系统的抗干扰能力相对应。要求高频段的幅频特性斜率尽量低，衰减幅值大，这样可保证系统的抗高频干扰性好。

4.稳定性分析

奈奎斯特稳定判据：当由由变化时，系统的开环幅相特性曲线绕点转角，系统则稳定，否则系统不稳定。其中，P是系统开环特征右根的个数。若P=0，系统开环稳定，曲线不包围点，系统闭环稳定。若P≠0，系统开环不稳定，当曲线绕点转角时，系统闭环稳定。在绘制系统的开环幅相特性曲线时，规定逆时针方向包围为正，顺时针方向包围为负。

数值积分法仿真

4.1数值积分法

4.1.1概述数字仿真模型、算法及仿真工具控制系统的数字仿真是利用数字计算机作为仿真工具，采用数学上的各种数值算法求解控制系统运动的微分方程，得到被控物理量的运动规律。通常，计算机模拟被控对象是用一定的仿真算法来实现被控对象的运动规律，这是基于被控对象的数学模型来完成的。控制系统的数学模型经过合理的近似及简化，大多数建立为常微分方程的表达形式。由于数学计算的难度和实际系统的复杂程度，在实际中遇到的大部分微分方程难以得到其解析解，通常都是通过数字计算机采用数值计算的方法来求取其数值解。在高级仿真软件（例如MATLAB）环境下，已提供了功能十分强大、且能保证相应精度的数值求解的功能函数或程序段，使用者仅需要按规定的语言规格调用即可，而无需从数值算法的底层考虑其编程实现过程。4.1.2离散化原理在数字计算机上对连续系统进行仿真时，首先遇到的问题是，数字计算机的数值及时间都是离散的（计算精度，指令执行时间），而被仿真系统的数值和时间是连续的，后者如何用前者来实现？设系统模型为：,共中u(t)为输入变量，y(t)为系统状态变量。令仿真时间间隔为h,离散化后的输入变量为u’(tk),其中tk表示t=kh。如果u’(tk)≈u(tk),y’(tk)≈y(tk)，则认为两模型等价，称为相似原理。对仿真建模方法有三个基本要求：

1、稳定性，若原系统是稳定的，则离散化后的仿真模型也得是稳定的2、准确性，绝对或相对误差小于规定误差3、快速性，数字仿真是一步步推进的，由某个初始值y0出发，依次计算出y1、y2…yk，每一步计算所需时间决定了仿真速度。

4.1.3数值积分法一般情况下，在控制系统仿真中最常用、最基本的求解常微分方程数值解的方法主要是数值积分法。对于形如的系统，已知系统状态变量y的初值y0,现要计算y随时间变化的过程y(t)，对微分方程的积分可以写作：右图所示曲线下的面积就是y(t),由于难以得到积分的数值表达式，所以采用近似的方法，常用有三种形式：欧拉法梯形法龙格一库塔法欧拉公式,采用矩形面积近似积分结果，即当t=tk+1时hk=tk+1-tk,若步距不变，则hk=h.为了提高精度，人们提出了“梯形法”，其中最简单的是亚当姆斯预报—校正公式，先用欧拉法估计近似值，然后用梯形法进行校正：龙格-库塔法的基本原理在连续系统仿真中，主要的数值计算工作是求解一阶微分方程：若已知y的初值y0,再按离散化原理，对上式我们可以写成：再对上式的右端函数f(t,y)(为任意非线性函数)在tk附近展开成泰勒级数，依照展开的阶次不同我们就构成了不同的龙格-库塔公式。二阶龙格—库塔公式,记在tk时刻的状态变量为yk,并定义两个附加向量型变量

:四阶龙格—库塔公式：不论几阶RK法，它们的计算公式都是由两部分组成，即上一步的结果yk和步长h乖以tk至tk+1时间间隔间各外推点的导数ki的加权平均和·有了上面的数学算法，就可以用MATLA编写出该算法的函数：

function[tout,yout]=rk4(odefile,tspan,y0)t0=tspan(1);th=tspan(2);iflength(tspan)<=3,h=tspan(3)else,h=tspan(2)-tspan(1);th=tspan(2);endtout=[t0:h:th]’;yout=[];fort=tout’k1=eval([odefile’(t,y0)’]);k2=eval([odefile’(t+h/2,y0+0.5*k1)’]);k3=eval([odefile’(t+h/2,y0+0.5*k2)’]);k4=eval([odefile’t+h,y0+k3’]);yout=[yout;y0’];end其中，tspan可以有两种构成方法：一是可以是一个等间距的时间向量；二是tspan=[t0,th,h],t0和th为计算的初始及终止值，h为计算步长，odefile是一个字符串变量，表示微分方程的文件名，y0是初值列向量，函数调用完成后，时间向量与各个时刻状态变量构成的矩阵分别由tout和yout返回.MATLAB提供了两个RK法函数ode23()和ode45()，一个采用二阶三级公式，一个采用四阶五级RK法，并采用了自适应变步长的求解方法，即当解的变化较慢时采用较大的计算步长，以加快计算速度；当方程的解变化得较快时，积分步长自动变小，以得到较高的计算精度。4.2仿真精度与系统的稳定性

4.2.1仿真过程的三类误差通常，系统仿真的最终精度与现场原始数据的采集、使用的计算机设备档次、仿真计算时的数值积分公式等均有相应的关系，可以分为以下3种情况。1.初始误差

在对系统仿真时，要采集现场的原始数据，而计算时要提供初始条件，这样由于数据的采集不一定很准，会造成仿真过程中产生一定的误差，此类误差称为初始误差。

要消除或减小初始误差，就应对现场数据进行准确的检测，也可以多次采集，以其平均值作为参考初始数据。

2.舍入误差目前，系统仿真大都采用计算机程序处理和数值计算，由于计算机的字长有限，不同档次的计算机其计算结果的有效值不一致，导致仿真过程出现舍入误差。一般情况下，要降低舍入误差应选择挡次高些的计算机，其字长越长，仿真数值结果尾数的舍入误差就越小。3.截断误差当仿真步距确定后，采用的数值积分公式的阶次将导致系统仿真时产生截断误差，阶次越高，截断误差越小。通常仿真时多采用四阶龙格—库塔法，其原因就是这种计算公式的截断误差较小。4.2.2稳定性分析

由于系统仿真时存在误差，对仿真结果产生会影响。若计算结果对系统仿真的计算误差反应不敏感，那么称之为算法稳定，否则称算法不稳定。对于不稳定的算法，误差会不断积累，最终可能导致仿真计算达不到系统要求而失败。

1.系统的稳定性与仿真步长的关系一个数值解是否稳定，取决于该系统微分方程的特征根是否满足稳定性要求，而不同的数值积分公式具有不同的稳定区域，在仿真时要保证稳定就要合理选择仿真步长，使微分方程的解处于稳定区域之中。

2.积分步长的选择由于积分步长直接与系统的仿真精度和稳定性密切相关，所以，应合理地选择积分步长h的值，以保证仿真结果符合用户要求。通常，积分步长h的选择要遵循以下两个原则：（1）保证仿真系统的算法稳定（2）保证仿真系统具备一定的计算精度一般情况下，仿真中的初始误差及舍入误差对仿真过程影响不是很大，而截断误差将随积分步长h的加大而增加，会导致系统仿真的精度下降。在仿真计算中，h值不宜选的太小，因为这样会加大计算量；也不能选的过大，否则会导致仿真系统不稳定或误差积累过大。通常掌握的原则是：在保证计算稳定性及计算精度的要求下，尽可能选较大的仿真步长。对于一般工程系统的仿真处理，采用四阶龙格—库塔法居多。龙格-库塔法的步长控制策略控制策略由误差估计和步长控制两方面组成，其基本思想如下图所示:步长控制积分算法误差估计改变下一步计算步长本步计算允许误差E2、误差估计通常采用的方法是设法找到一个比目前使用的龙格-库塔公式低一阶的R-K公式，将两式计算结果之差视为误差估计值。例如：现以RKM4-5为计算公式再推出一个3阶4级公式需要说明的是：两个RK公式的导数Ki是相同的3、最优步长法基本方法是根据本步的误差估计来近似地确定下一步可能的最大步长，步骤如下:1)给定允许的相对误差ε0，设本步步长为hk,本步相对估计误差为ek，ek由下式求得:若采用的RK公式是m阶，则上式中的Ek可以表示为通常取ζ=tk,则有:则表示本步积分成功，可以用ek来确定下一步的最大步长hk+1了。2）假定hk+1足够小，即认为3)若ek>ε0,本步失败，但仍采用上式，重新进行积分。4.3面向微分方程的仿真程序设计4.3.1通用仿真程序的一般结构及工作原理1.通用仿真程序的基本结构以数字计算机作为仿真工具，使用适当的算法语言来编制通用的仿真程序，可以针对不同的系统进行相应的仿真处理。按常规组成结构，通用仿真程序可分为3个层次，即主程序块、功能程序块、基本子程序块。各模块功分析能如下：（1）主程序：完成仿真逻辑控制，实现各功能模块的调用、模型的转换、系统运行、输入输出的控制等。（2）初始化程序：完成各类初始数据的准备工作，如设置工作单元、给定变量初值和系统仿真参数等。（3）运行程序：实现系统运行的控制，调用数值积分法完成仿真算法处理，得出系统的响应结果。（4）输出程序：按用户指定的输出形式，可以在显示器、打印机、绘图仪等设备上将仿真的结果以数据、动态曲线、图形等方式输出。

2.仿真的基本原理根据上面的讨论，在给定的图5-4系统模型结构基础上，编制相应的仿真计算程序，将传递函数中的分子和分母多项式系数、输入输出变量初始值送入程序中，完成模型由传递函数向状态方程的转换；根据系统仿真的要求，分别输入仿真步长、打印间隔和次数、外部输入信号幅值等，然后，调用数字积分子程序完成仿真计算，最后将仿真结果送到指定的设备输出。

4.3.2仿真源程序及其特点1.面向微分方程的仿真程序特点根据图5-4系统模型结构，所设计的面向微分方程的仿真程序具备以下特点：（1）该仿真程序针对线性连续系统单输入、单输出信号的处理过程进行仿真。（2）可以将用户输入的系统传递函数模型转化为仿真计算模型。（3）在数值积分法中采用四阶龙格－库塔法，可保证系统仿真过程中具备一定的精度和性能指标要求。（4）在参考输入r(t)的作用下，系统输出y(t)随时间变化，仿真程序能按照给定的计算步长，采用已确定的数值算法，对系统中各状态变量和输出逐点变化情况进行求解运算。（5）可实现重复运行，便于研究参数的变化对系统动态性能的影响。（6）

采用人机对话形式输入各变量参数，运行过程直观、形象，修改参数容易。

2.仿真程序流程框图

MATLAB提供了两个常微分方程求解的函数ode23()、ode45(),分别采用了二阶三级的RKF方法和四阶五级的RKF法，并采用自适应变步长的求解方法，即当解的变化较慢时采用较大的计算步长，从而使得计算速度很快；当解的变化较快时，步长会自动变小，从而使计算精度提高。Syntax[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options)wheresolverisoneofode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,orode23tb.ArgumentsodefunAfunctionthatevaluatestheright-handsideofthedifferentialequations.Allsolverssolvesystemsofequationsintheformorproblemsthatinvolveamassmatrix,.Theode23ssolvercansolveonlyequationswithconstantmassmatrices.ode15sandode23tcansolveproblemswithamassmatrixthatissingular,i.e.,differential-algebraicequations(DAEs).tspanAvectorspecifyingtheintervalofintegration,[t0,tf].Toobtainsolutionsatspecifictimes(allincreasingoralldecreasing),usetspan=[t0,t1,...,tf].y0Avectorofinitialconditions.optionsOptionalintegrationargumentcreatedusingtheodesetfunction.Seeodesetfordetails.p1,p2...OptionalparametersthatthesolverpassestoodefunandallthefunctionsspecifiedinoptionsDescription[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)withtspan=[t0tf]integratesthesystemofdifferentialequationsfromtimet0totfwithinitialconditionsy0.Functionf=odefun(t,y),forascalartandacolumnvectory,mustreturnacolumnvectorfcorrespondingto.EachrowinthesolutionarrayYcorrespondstoatimereturnedincolumnvectorT.Toobtainsolutionsatthespecifictimest0,t1,...,tf(allincreasingoralldecreasing),usetspan=[t0,t1,...,tf].[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options)solvesasabovewithdefaultintegrationparametersreplacedbypropertyvaluesspecifiedinoptions,anargumentcreatedwiththeodesetfunction.CommonlyusedpropertiesincludeascalarrelativeerrortoleranceRelTol(1e-3bydefault)andavectorofabsoluteerrortolerancesAbsTol(allcomponentsare1e-6bydefault).Seeodesetfordetails.Example1.Anexampleofanonstiffsystemisthesystemofequationsdescribingthemotionofarigidbodywithoutexternalforces.

Tosimulatethissystem,createafunctionrigidcontainingtheequationsfunctiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);%acolumnvectordy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);Inthisexamplewechangetheerrortolerancesusingtheodesetcommandandsolveonatimeinterval[012]withaninitialconditionvector[011]attime0.options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-41e-41e-5]);[T,Y]=ode45(@rigid,[012],[011],options);PlottingthecolumnsofthereturnedarrayYversusTshowsthesolution

plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.')Example2.AnexampleofastiffsystemisprovidedbythevanderPolequationsinrelaxationoscillation.Thelimitcyclehasportionswherethesolutioncomponentschangeslowlyandtheproblemisquitestiff,alternatingwithregionsofverysharpchangewhereitisnotstiff.Tosimulatethissystem,createafunctionvdp1000containingtheequationsfunctiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);%acolumnvectordy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);Forthisproblem,wewillusethedefaultrelativeandabsolutetolerances(1e-3and1e-6,respectively)andsolveonatimeintervalof[03000]withinitialconditionvector[20]attime0.[T,Y]=ode15s(@vdp1000,[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-o')Plot(t,y(:,2))4.4面向结构图的仿真程序设计面向结构图的线性系统仿真基本思想为：（1）把一个复杂的高阶线性系统化成由若干典型环节组成的模拟结构图表示。（2）将各典型环节参数以及系统各环节的连接关系输入计算机。（3）仿真程序将输入的系统模型自动转化为状态空间描述，即状态方程形式。（4）

调用数值积分法求解，并输出仿真结果。

典型环节的确定及算法描述典型环节的选择是重要的一个步骤，它应具备下述两个原则：（1）典型性——由它可方便地组成其它任何形式的动态环节。（2）简易性——由它组成的系统简便，计算机编程容易实现。常见的动态环节根据控制理论可知，在实际控制系统中比较常见的动态环节主要有以下五种：（1）积分环节（2）比例积分环节（3）惯性环节（4）一阶超前（或滞后）环节（5）

二阶振荡环节

4.5快速仿真算法在对系统进行仿真时，会碰到较高阶次的控制系统，由于采用的计算机档次不高会影响到仿真计算速度，占用较长的机时；在参数寻优时往往需要对控制系统进行反复的仿真计算，也将使计算过程加长；此外，系统的实时仿真也会对仿真的快速性提出较高的要求。对于前面所讨论的数值积分法由于有相应的计算工作量，单纯加大仿真步长会影响到系统仿真的精度和稳定性问题。本节介绍几种常用的快速仿真方法，采用这些方法来编制仿真计算子程序，可以弥补数值积分法仿真在速度上的缺陷，便于在实际工程中系统仿真时合理地加以选择，达到提高系统仿真速度的最终目的。4.5.1时域矩阵法

时域矩阵法是一种在时域内采用无穷矩阵进行系统仿真的算法，它每一步的计算量较小，而且与系统阶次无关，适合于系统的快速仿真。

采用时域矩阵法来分析和讨论系统的动态性能具备下述特点：（1）时域矩阵法多用于采样控制系统，由于采用脉冲过程函数g（t）来计算系统的闭环响应，不会因系统阶次的增加而加大计算工作量，从而提高了仿真速度；但有时求解高阶系统的脉冲过程函数g（t）会有一定的难度。（2）由于每个采样时刻的g（k）是准确计算出来的，所以采用时域矩阵法仿真时系统的采样周期（或仿真步距）可以选得大些。（3）时域矩阵法可推广到非线性系统的快速仿真。

4.5.2增广矩阵法增广矩阵法是将系统的控制量增广到状态变量中，使原来的非奇次常微分方程变为一个齐次方程。4.5.3替换法快速仿真的系统通常比较关注系统仿真的速度应该达到规定的要求，而对精度一般不做太高的要求。对于一个高阶系统，如果能从它的传递函数G（s）直接推导出与之相匹配的并且允许较大采样周期T的脉冲传递函数G（z），然后由G（z）获得仿真模型，这将对提高仿真速度十分有利。相匹配的含义是指若G（s）是稳定的，那么G（z）也是稳定的，同时，当输入相同外作用信号时，由G（z）求出的响应和由G（s）求出的响应具有相同的特征。要设法找出s与z的对应公式，将G（s）中的s替换为z，求得G（z）的表达式，这种方法称为替换法。

4.5.4根匹配法为了实现对控制系统进行快速仿真，应构造一个G（z），它允许较大的采样周期T，且能保证G（z）在零、极点分布上与G（s）一致，动态响应也一致，这种方法称为根匹配法。

根匹配法的一般步骤按照前面的分析，采用根匹配法构造G（z）应满足以下条件：（1）G（z）与G（s）具有相同数目的零、极点。（2）G（z）与G（s）的零、极点相互匹配。（3）G（z）与G（s）的终值应相等。（4）G（z）与G（s）具有相同的动态响应。

本章小结

本章主要介绍了数值积分法的仿真原理和特点；采用数值积分法面向微分方程、结构图进行仿真的基本思路和程序设计；仿真的精度与系统稳定性讨论；快速仿真算法等内容。在数值积分法中，要熟悉典型环节的选择，确定系统中各环节之间的连接关系；能根据特定的仿真系统，选择合适的仿真变量及参数，确定正确的系数矩阵；掌握CSS1、CSS2程序的结构、各变量含义以及程序的运行特点；熟悉程序的输入、调试，仿真结果的分析和系统性能的讨论。此外，对于仿真系统的精度和稳定性问题也是非常重要的，要理解仿真过程中的3类误差产生的原因，制定消除误差的方法，合理地选择仿真步长，保证系统在稳定的前提下，尽量提高系统仿真的精度和速度。为了提高系统仿真的速度，可以合理地选择4种常用的快速仿真方法。

离散相似法仿真5.1离散相似法原理5.1.1仿真算法描述所谓离散相似法，就是将一个连续系统进行离散化处理，从而得到等价的系统离散模型，此种方法按系统的动态结构图建立仿真模型。在计算过程中，按各典型环节离散相似模型，根据环节的输入来计算环节的输出。

1.环节的离散化模型

将连续系统按图5-1所示对其进行离散化处理，在系统的输入、输出端加上虚拟采样开关，T为采样周期。为保证输入信号复现原信号，在输入端加上一个保持器。

图5-1连续系统模型的离散化

使用零阶保持器，可得到离散化状态方程的解：

若使用三角保持器，离散化状态方程解的形式为：上式称为环节的离散系数

2.仿真算法实现过程当给定连续系统的动态结构图后，将其等效为各典型环节的组合，按前面讨论的典型环节离散系数表达式，经程序处理，事先将各环节的类型、参数、初始条件、各环节连接关系矩阵、输入输出连接矩阵等参量送入程序中，既可通过离散相似的模型求出在特定信号作用下，系统中各环节输出变量的变化情况，从而得到系统的仿真结果。5.1.2离散模型的精度及稳定性离散化模型近似等效于原来的连续系统模型，要考虑仿真精度与哪些因素有关；还要考虑引入保持器后，其相位滞后带来的使离散化模型的稳定性变差等问题。1.采样周期对仿真精度的影响引入了虚拟采样开关后，其采样周期原则上应该满足香农采样定理：

，而采样周期TS通常是按照系统的动态响应的时间关系来选择的。按经验公式，一般情况下，采样周期TS按照系统的最小时间常数T的十分之一来加以选择，即:

如果给定系统开环截止频率时，系统的采样周期也可以按下式进行选择：保持器特性对仿真精度的影

为使经采样后的信号无失真地复现，要在系统中加入保持器。虽然零阶保持器比较容易实现，但其精度较低。为了提高控制精度，可以采用三角保持器，它复现信号的高频部分失真较小，并且无相位滞后，可以得到比较满意的结果。

此外，为了提高精度还可以采用校正补偿措施，在离散模型中加入一个确定的校正环节，适当调整参数，可使离散模型尽可能地接近原型。3.离散化模型的稳定性离散化模型与原系统相比较，除了信号是离散的以外，还多了一个保持器。由于保持器本身具有的特性，对离散化模型会带来一定的影响。比如，零阶保持器具有相位滞后，对系统的稳定性带来不利影响，尤其是当系统由多个离散化模型组成时，这种相位滞后的影响更为严重。而三角保持器的特性对系统的稳定性影响不大，故常使用三角保持器。

5.2典型环节的离散模型按照前面的讨论，我们将常见的典型环节由传递函数表达式推导出其离散系数及离散状态方程，分别处理如下。1.积分环节的离散方程为

:

2.比例积分环节离散方程为：

3.惯性环节的离散方程为：

比例惯性环节的离散方程为：

5.3线性系统离散相似法仿真

仿真源程序设计

面向结构图的线性系统离散相似法仿真程序具备以下特点：（1）面向控制系统的动态结构图仿真。（2）按控制系统的环节离散相似原则建立仿真模型。（3）系统中各环节之间的关系由连接矩阵、输入矩阵和输出矩阵表示。（4）程序中规定采用四种典型环节：

H=0积分环节；H=1比例积分环节

H=2惯性环节；H=3比例惯性环节其余环节可经过转换得到上述四种典型描述。（5）输入各环节类型、参数、初值、连接矩阵等，可求出特定信号作用下各环节的输出结果。（5）采用人机对话形式输入仿真参数，容易调整参数和重复运行。

5.4非线性系统离散相似法仿真5.4.1典型非线性特性

实际的控制系统中常含有一些非线性元件，呈现出特定的非线性特性，当其作用不明显时，可采用控制理论中提供的小偏差方法将非线性特性进行线性化处理，转换为线性系统。对于大多数典型的非线性特性，例如饱和、限幅、死区、齿轮间隙、磁滞回环、继电、磨擦等，其影响是显而易见的，既不能忽略，也不能作线性化处理。此外，为了获得优良的静、动态特性，控制系统中常常需要引入某些特定的非线性特性，来改善原有系统的性能，这些都需要采用非线性系统仿真的处理方法。

在本节中，我们主要讨论3种典型的非线性特性，即饱和非线性、死区非线性、滞环非线性，并分析其对控制系统性能的影响和仿真处理方法。

1.饱和非线性特性对系统过渡过程的影响主要有：

（1）使系统的稳定性变好；

（2）过渡过程时间增长，快速性能降低；

（3）超调量下降，动态的平衡性有所改善。2.死区非线性对系统性能的影响主要有：

（1）

增大系统的稳态误差，降低了定位精度；（2）延长过渡过程时间，使动态性能下降。3.滞环非线性特性对系统的性能影响主要有：

（1）

增加系统静差，降低定位精度（2）在稳态值附近以某一幅度进行振荡，会产生自振，对系统的稳定性带来不利影响。

5.5采样系统仿真分析在实际控制系统中，许多场合都要用到计算机作为控制装置。这类系统事先要将被控的有关信号进行采样，通过输入通道把模拟量变为数字量（即

A/D转换），然后将数字信号送入计算机，计算机按给定的规律进行计算，再将计算结果通过输出通道转化为模拟量（即D/A转换）的控制被控对象。使被控量达到预定的控制指标要求，这类系统常称为采样控制系统或数字控制系统。随着计算机技术的广泛应用，采样控制系统也得到普及推广，其控制特点为数字模拟混合系统，被控对象是时间的连续过程，采用的控制器为离散型的数字控制器。在工程实践中，采样控制系统的仿真具有重要意义。5.5.1采样系统的算法描述下图中所示是典型的数字采样控制系统结构。图中：D(z) 表征数字控制器的脉冲传递函数

H(s) 表征保持器的传递函数

G(s) 表征被控对象的传递函数

T是系统的采样周期容易求出：

差分方程描述的就是离散各量采样时刻点上的相互关系和变化情况，因此当仿真步长取采样系统的实际采样周期为T时，求取的结果无截断误差，从理论上说算法是精确的。这种方法简便易行，只要D(z)、G(z)已知，则仿真过程非常简单，且无截断误差，结果可靠。缺点是当系统复杂时，G(z)难以求取，即使求出G(z)也无法观察系统中其它中间变量的响应特性，也不便考虑有非线性影响的情况。

5.5.2采样周期与仿真步距的对应关系仿真步距的选择应根据被控对象的结构、采样周期的大小、保持器的类型、以及仿真精度和速度的要求综合考虑。通常有以下3种情况：1.仿真步距T与采样周期Ts相等若选择仿真步距与采样周期相等时，在系统仿真过程中，实际采样开关与虚拟采样开关是同步工作的，与连续系统仿真完全相同，从而可大大简化仿真模型，提高仿真速度。这种方式适用于采样周期Ts较小，系统阶次不高，仿真转变能满足要求的场合。在仿真过程中，求出G(z)=z[H(s)G(s)]，得到一个差分方程，再计算D(z)的差分方程，组合后可求出系统的输出响应Y(t)。

2.仿真步距T小于采样周期Ts

这种方式是比较常见的，当采样周期受系统环境要求设置不变后，要提高仿真精度就缩小仿真步距，使T<Ts。在仿真模型中，有两种工作频率，即离散部分的采样周Ts，和连续部分的仿真步距T，为便于仿真程序的设计和实现，通常选择Ts=NT(N为正整数)。此类系统的仿真是分两步实现的，对离散部分用采样周期Ts进行仿真，对连续部分用仿真步距T进行仿真。离散部分每计算一次差分模型，其输出保持，然后对连续部分的仿真模型计算N次，将第N次计算的结果作为连续部分该采样周期的输出。

3.改变数字控制器的采样间隔在仿真过程中会碰到这种情况：原来的数字控制器D(z)确定后，所用于计算的采样周期Ts比较小，现要按较大的采样周期T’s进行仿真，这就要求改变原数字控制器的差分方程。这种方式的转换依据是：若两个脉冲传递函数映射到[S]平面上具有相同的零极点，并且有相同的稳态值，则两个系统等价。其基本思想是：设原采样系统数字控制器的传递函数为D(z)，采样周期为Ts，首先将D(z)映射到[S]平面上相应的零极点，然后按新的采样周期T’s再次映射到[S]平面上，

求得新的数字控制器D’(z)，最后根据稳态值相等的原则确定D’(z)的增益，这样就实现了差分模型的转化工作。5.5.4仿真源程序特点（1）

可以仿真单输入、单输出数模混合的计算机控制系统，系统中只包含一个数字控制器D(Z)。（2）

被控对象可为线性、非线性或纯延迟环节，处理过程中划分为典型环节形式。（3）

采用环节离散相似法，面向系统动态结构图进行仿真。（