四川省达州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

四川省达州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单选题1．若x0是方程x2+4=0A．2 B．2i C．4 D．4i2．已知向量a=(2，1)A．1 B．12 C．0 D．3．已知集合M={x|sinx>0}，N={x|cosA．{x|2kπ≤x≤2kπ+πC．{x|kπ<x<kπ+π4．体重指数等于体重公斤数除以身高米数平方，是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表．某公司随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，17.8，18.2，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论错误的是（）偏瘦<18.5正常18.5~23.9偏胖24~27.9肥胖≥28A．该组数据的中位数是20B．该组数据的平均数为21C．该组数据的方差为20D．从10人中随机抽一人，抽到体重正常的概率为0.55．已知a=sinA．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a6．已知α，β∈(0，π2)，A．725 B．2425 C．357．已知函数f(x)=sin(2ωx+π6)+4sinA．1 B．2 C．3 D．48．在△ABC中，若sinA+sinB=A．1 B．13 C．−7二、多选题9．在复平面内，点Z(2，A．|z|=5 B．z+z=4 C．zz10．由均匀材质制成的一个正12面体，每个面上分别印有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，√，×投掷这个正12面体2次，把朝上一面的数字或符号作为投掷结果．则（）A．第一次结果为数字和第一次结果为符号互斥B．第一次结果为数字与第二次结果为符号不独立C．第一次结果为奇数的概率等于第一次结果为偶数的概率D．两次结果都为数字，且数字之和为6的概率为511．如图，函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象交坐标轴于点B，C，D，直线BC与曲线y=f(x)A．函数f(x)在[3，B．直线x=174是函数C．sinD．将y=cos2πx3的图象向右平移512．已知f(x)是定义在R上的函数，同时满足以下条件：①f(ax+1)为奇函数，f(xa+2)为偶函数（a∈R，且a≠0）；②f(1)+2f(2)+3f(3)+4f(4)+5f(5)+6f(6)=16；③f(x)A．函数g(x)=f(x)+x有5个零点B．函数ℎ(x)=fC．f(sin|sinD．若P={y|y=三、填空题13．某校为了增强师生的国家安全意识，在第八个全民国家安全教育日（2023年4月15日）组织全校师生参加国家安全知识竞赛，用分层随机抽样按比例在教师组和学生组中共设一等奖60名．已知该校师生共4000人，其中教师200人，则一等奖中学生人数为．14．已知一扇形的圆心角为2，半径为r，弧长为l，则l+2r的最小值为15．已知集合A={3，4，5，6}，B={y|y=4sinx+316．如图，D是等边△OBC内的动点，四边形OADC是平行四边形，|OA|=|OD|=1．当|OA+OB|四、解答题17．（1）已知tanα=2，求2（2）已知向量a=(2，k)，b18．2023年某省参加学业水平测试的高一学生有80万人，现随机抽1万名学生的地理成绩（所有成绩均为整数分）进行统计得到频率分布直方图．（1）根据该图估计这次地理成绩的众数和平均数：（2）学业水平测试划分A，B，C，D四个等级，其中A，B，C等级为合格，D等级为不合格，单科成绩合格比例为95%．若学生甲本次的地理成绩为60分，该学生本次地理成绩是否合格?19．某超市将若干个问题印在质地、大小相同的小球上，顾客每次随机抽出1个小球并回答上面的问题．若顾客第一次答对，则获得购物券并结束活动：若顾客第一次答错，就再抽一次，答对获得购物券并结束活动，答错结束活动．顾客对不同题目的回答是独立的．（1）顾客乙答对每道题目的概率为0.（2）顾客丙首次答对每道题目的概率为0.6，对相同题目答对的概率为1．若有放回的抽取，顾客丙第二次抽到相同题目的概率为20．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3c=2a（1）求A的值；（2）若c=2，b=3，BE为边AC的高，AD为边BC的中线，求21．某公司竞标得到一块地，如图1，该地两面临湖（BC，CD面临湖），AD=100m，∠DAC=∠BAC=45°，∠ABD=30°，（1）求BC，CD的长；（2）该公司重新设计临湖面，如图2，BD是以BD为直径的半圆，P是BD上一点，BP，PD是一条折线观光道，已知观光道每米造价300元，若该公司预计用88000元建观光道，问预算资金是否充足?22．设平面向量a、b的夹角为θ，a⊗b=|a|⋅|b|（1）求f(x)的解析式；（2）若f(x)g(x)=−cos2x﹐证明：不等式ef(x)

答案解析部分1．【答案】A【知识点】复数的模；一元二次方程【解析】【解答】解：由题意得x0=2i或−2i故答案为：A.

【分析】先求出x0=2i或−2i，再结合复数模的公式求得2．【答案】D【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示【解析】【解答】解：由题意的a→·b故答案为：D.

【分析】由a⊥b得3．【答案】B【知识点】交集及其运算；正弦函数的图象；余弦函数的图象【解析】【解答】解：∵sinx>0，求得2kπ<x<2kπ+π，k∈Z，cosx>0，求得2kπ−π2<x<2kπ+π2，k∈Z，

故答案为：B.

【分析】先分别求出sinx>0和cosx>0的解，再求4．【答案】C【知识点】众数、中位数、平均数；概率的应用【解析】【解答】解：A、由题中数据知该组数据的中位数是19.7+20.32=20，A正确；

B、平均数是16+17.8+18.2+19+19.7+20.3+21+22+26+3010=21，B正确；

C、方差是16−212故答案为：C.

【分析】根据题中数据求出中位数、平均数、方差和抽到体重正常的概率进而判断选项.5．【答案】B【知识点】指数函数的图象与性质；三角函数值的符号【解析】【解答】解：∵π4<1<π3，∴0<sin1<1，∴1<2故答案为：B.

【分析】先判断0<sin1<1，进而得到1<26．【答案】D【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式【解析】【解答】解：∵α∈(0，π2)，∴sinα=35，∴cos2α=2cos2α−1=725故答案为：D.

【分析】先求出sinα=35，sin(α+β)=45，在利用二倍角公式求出7．【答案】A【知识点】二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式【解析】【解答】解：∵f(x)=sin(2ωx+π6)+4sin2ωx=32sin2ωx+12cos2ωx+41−cos2ωx2故答案为：A.

【分析】先化简f(x)=3sin2ωx−π3+2，结合f(x)=2在8．【答案】C【知识点】基本不等式；二倍角的余弦公式；余弦定理的应用【解析】【解答】解：由正弦定理得a+b=3c，由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=a2+b2故答案为：C.

【分析】利用正弦定理得a+b=3c，再利用余弦定理结合基本不等式求得cosC∈[9．【答案】B,C【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数【解析】【解答】解：由题意得z=2+i，∴z=2−i，

A、|z|=22+12=5，A错误；

B、z+故答案为：CD.

【分析】根据题意写出复数的代数式和共轭复数z=2−i10．【答案】A,C【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】解：A、设事件A为第一次结果为数字，事件B为第一次结果为符号，则A∩B=∅，∴第一次结果为数字和第一次结果为符合互斥，A正确；

B、设事件C为第二次结果为符号，则AC={(0，√)，(1，√)，(2，√)，(3，√)，(4，√)，(5，√)，(6，√)，(7，√)，(8，√)，(9，√)，(0，×)，(1，×)，(2，×)，(3，×)，(4，×)，(5，×)，(6，×)，(7，×)，(8×)，(9，×)}，

∴PAC=20144=536，又PA=1012=56，PC=212=16，∴PAC=PAPC，∴第一次结果为数字与第二次结果为符号独立，B错误；11．【答案】A,B,D【知识点】正弦函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；诱导公式；平面向量夹角的坐标表示【解析】【解答】解：由题意得T2=xD−xC=32=12×2πω，求得ω=2π3，∴f(x)=sin(2π3x+φ)

∴f(12)=sin(π3+φ)=0，∴π3+φ=kπ，即φ=kπ−π3，又|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=sin(2π3x−π3)，

对于A、当x∈[3，4]时，2π3x−π3∈[5π312．【答案】B,C,D【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的判定；函数的周期性；诱导公式【解析】【解答】解：①∵f(ax+1)为奇函数，∴f(ax+1)+f(−ax+1)=0，f(1)=0，∴f(x)关于1，0对称，

∵f(xa+2)为偶函数∴f(xa+2)=f(−xa+2)，∴f(x)关于x=2对称，

∴f(x)的周期T=4，∴f(1)=f(3)=f(5)=0，3，0也是f(x)的对称中心，∴f(2)+f(4)=0，f(6)=f2；

②∵f(1)+2f(2)+3f(3)+4f(4)+5f(5)+6f(6)=16，∴f(1)+2f(2)+3f(3)+4f(4)+5f(5)+6f(6)=8f(2)+4f(4)=16，

∴f(2)=4，f(4)=−4；

③∵f(x)在(2，3)上单调递减，∴大致画出f(x)草图如下，

A、在f(x)草图上画y=−x的图象，由图知f(x)=−x有四个交点，∴函数g(x)=f(x)+x有5个零点，A错误；

B、令t=fx，则t∈−4，4，ℎ(t)=t2+t=t+122−14，∴当t=4时，ℎ(t)max=ℎ(4)=4+122−14=20，B正确；

C、易知函数y=sin|sinx|是偶函数，

∵sin|sinx+π|=sin|−sinx|=sin|sinx|，∴函数y=sin|sinx|周期是π，∵sin|sinπ−x|=sin|sinx|，∴函数y=sin|sinx|关于x=π2对称，当x∈0，π2时，故答案为：BCD.

【分析】由①得出f(x)关于1，0对称，x=2对称，所以f(x)的周期T=4，进而根据②求出f(2)=4，f(4)=−4，再结合③画出函数f(x)的大致图象，进而逐一判断选项.13．【答案】57【知识点】分层抽样方法【解析】【解答】解：学生人数为4000−200=3800，

一等奖中学生人数为3800×60故答案为：57.

【分析】先求出学生的人数，再根据分层抽样原理求出一等奖中学生人数.14．【答案】4【知识点】基本不等式；扇形的弧长与面积【解析】【解答】解：∵l=θr=2r，∴l+2r=2r+2r故答案为：4.

【分析】将弧长用半径表示l=2r，代入l+215．【答案】3【知识点】元素与集合关系的判断；正弦函数的定义域和值域【解析】【解答】解：∵y=4sinx+3cosx=5sinx+φ(其中tanφ=34)，又y=5sinx+φ故答案为：34

【分析】利用辅助角公式化简y=4sinx+3cosx=516．【答案】0【知识点】向量的模；平面向量加法运算；平面向量数量积坐标表示的应用；二倍角的余弦公式；三角函数的值域与最值【解析】【解答】解：以O为原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，如图，

不妨设△OBC的边长为aa>1，则Ba，0，Ca2，3a2，

设Dcosθ，sinθθ∈0，π3，Ax，y，

∵四边形OADC是平行四边形，∴OA→=CD→，即x，y=cosθ−a2，sinθ−3a2，∴Acosθ−故答案为：0.【分析】以O为原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，利用向量求出|OA+OB|取得最大值时θ=π17．【答案】（1）解：2=2sinαcos（2）解：因为a=(2，k)，b=(−1，即c=(−4，【知识点】共线（平行）向量；诱导公式；平面向量夹角的坐标表示【解析】【分析】(1)根据诱导公式化简求解；

(2)先根据向量共线求出k=−4，再利用向量夹角计算公式代入求cos⟨18．【答案】（1）解：从频率分布直方图可看出落在(60，70]的人数最多，故60和55×0.所以平均数为71.（2）解：落在[50，60]范围内的频率为落在(60，70]范围内的频率为0.故合格比例为95%的单科成绩落在(60，70]内，设为则(x−60)×0.052=1−950故学生本次地理考试成绩不合格.【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数【解析】【分析】(1)观察频率分布直方图最高矩形底板的中点值即为这次地理成绩的众数，将每个矩形底边的中间值乘以对应矩形的面积，是的乘积全部相加得这次地理成绩的平均数；

(2)计算出比例为9500的单科成绩落在(60，19．【答案】（1）解：设乙获得购物券的概率p1顾客乙答对每道题目的概率为0.6，则答错每道题目的概率为1−0（2）解：设丙第二次获得购物券的概率p2若有放回的抽取，顾客丙第二次抽到相同题目的概率为0.则顾客丙第二次抽到不同题目的概率为1−0.所以求丙第二次获得购物券的概率p2【知识点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】【分析】(1)乙获得购物券有第一次答对和第一次答错第二次答对两种情况，根据独立事件的概率公式；

(2)丙第二次获得购物券，则第一次必然答错，第二次答对有第二次抽到相同题目和第二次抽到不同题目答对两种情况，分别求解概率相加即可.20．【答案】（1）解：因为3c=2acos(B−所以3sin又因为sinC=所以3cosAsinB=sin所以tanA=3（2）解：因为BE为边AC的高，所以在Rt△ABE中，|AE|=|AB|cos60°=1，因为b=3，所以AE=所以BE=因为AD为边BC的中线，所以AD=AD==−因为c=2，b=3，A=π所以−1【知识点】平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角进而化简求得tanA=3，得到A的值；

(2)以AB→，AC→为基底分别求得21．【答案】（1）解：因为AD=100m，∠DAC=∠BAC=45°，∠ABD=30°，∠CBD=45°，则所以在△ABD中，∠ADB=60°，BD=200m，AB=1003在△ABC中，∠ACB=60°，由正弦定理可得：ABsin所以100