数值分析课件numerical lec14

数值积分NumericalIntegration复化求积的收敛性变步长求积

Romberg公式

Gauss公式复化求积的余项及收敛性复化梯形公式◆余项：由均值定理知可以看出，复化梯形公式是收敛的。0复化求积的余项及收敛性复化Simpson公式◆余项：由均值定理知可以看出，复化Simpson公式是收敛的。0复化求积的收敛性在这种意义下，先研究梯形法：Simpson法：四阶收敛性六阶收敛性二阶收敛性Cotes法：例题1复化梯形法

复化Simpson法

估计误差?例题1（续）梯形法

Simpson例题2用复合梯形公式计算，由误差估计式有若要求积分具有5位有效数字，只要取例题2（续）用复合抛物线公式计算，由误差估计式有变步长求积（梯形法的递推化）下面我们在变步长的过程中探讨梯形法的计算规律。变步长求积（梯形法的递推化）变步长求积公式将每个子区间上的积分值相加得递推公式：

复合梯形法

复合Simpson法

例题（续）进一步二分求积区间，并计算新分点上的函数值例题（续）这样不断二分下去，计算结果如下：复化梯形法

复化Simpson法

Romberg求积公式考虑以此作为T2n的补偿，即Romberg求积公式—复合Simpson公式Romberg求积公式同上方法，我们再考虑Simpson公式。考虑以此作为S2n的补偿，即实质为何？—复合Cotes公式Romberg求积公式再重复同样的手续，根据Cotes误差公式就可进一步推导出下列公式：—Romberg公式一种加速积分的方法Romberg求积公式Romberg求积的计算步骤如下：停止计算。例题例题（续）21Gauss型求积公式考虑求积公式含2n+2个参数(节点与系数)，为了使该公式具有尽可能高的代数精度，可将f(x)=1,x,x2,…,x2n+1代入公式，使其精确成立，则可构造出代数精度至少为2n+1

的求积公式!怎样构造更高精度的求积方法自由选取求积节点！等分点不一定最佳！22举例例：试确定节点xi和系数Ai，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。解：将f(x)＝1,x,x2,x3代入求积公式，使其精确成立，可得该公式对f(x)＝x4不精确成立，故有3次代数精度！缺点：非线性方程组求解较困难！23Gauss型求积公式一般情形：考虑机械带权求积公式定义：若存节点在xi[a,b]及系数Ai，使得上面的求积公式具有2n+1次代数精度，则称节点xi为高斯点，Ai为高斯系数，求积公式为高斯型求积公式性质：上面的求积公式至多具有2n+1次代数精度将代入验证即可Gauss求积公式在所有机械求积公式中代数精度最高24Gauss点问题：如何计算Gauss点xi

和高斯系数

Ai法一：解非线性方程组太困难!

法二：分开计算先确定Gauss点再通过解线性方程组计算Gauss系数25Gauss点定理：插值型求积公式中的节点xi(i=0,1,…,n)是Gauss点的充要条件是：多项式与任意次数不超过n的多项式p(x)关于权函数

(x)正交，即此时，高斯系数Ai为其中li(x)

为以xi为节点的Lagrange基函数。证明:板书26Gauss点的计算计算Gauss点的一般方法

求出

n+1(x)

的表达式计算其零点与1,x,x2,...,xn

带权正交特殊情形：(1)[a,b]=[-1,1],

(x)=1，

则Gauss点即为Legendre多项式的零点(2)[a,b]=[-1,1],

则Gauss点即为Chebyshev多项式的零点27举例例：试确定节点xi和系数Ai，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度。解：板书Gauss系数的计算将f(x)=1,x,x2,…,xn

代入，解方程或利用Lagrange基函数28余项设p2n+1(x)是f(x)在节点x0,x1,

,xn上的2n+1次Hermite插值多项式,即

余项公式29收敛性与稳定性可以证明：当a,b

为有限数，且f(x)

C[a,b]

时Gauss型公式是收敛的令Gauss型公式是稳定的30正交多项式Gauss公式积分区间:[-1,1]，权函数：

(x)=1利用正交多项式构造Gauss求积公式积分区间:[-1,1]，权函数：Gauss-Legendre求积公式Gauss-Chebyshev求积公式31G-L公式积分区间:[-1,1]，

权函数:

(x)=1Gauss点=Legendre多项式pn+1(x)的零点G-L求积公式:Gauss-Legendre求积公式32低阶G-L公式

n=0时,G-L求积公式:Gauss点:将f(x)＝1代入求出A0

n=1时,两点G-L求积公式:Gauss点:将f(x)＝1,x

代入求出A0,A133低阶G-L公式

n=2时,三点G-L求积公式:Gauss点:34更多G-L公式当n>3时，可用数值方法计算Pn+1(x)的零点n节点个数Gauss点Gauss系数010.00000002.000000012

0.57735031.000000023

0.77459670.00000000.55555560.888888934

0.8611363

0.33998100.34785480.652145245

0.9061798

0.53846930.00000000.23692690.47862870.568888956

0.93246951

0.66120939

0.238619190.171324490.360761570.4679139335G-L公式余项

余项公式

(-1,1)

36一般区间上的G-L公式做变量代换一般区间上的G-L求积公式积分区间:[a,b]，

权函数:

(x)=137G-L公式举例例：用四点G-L公式(n=3)计算定积分解：令38G-C公式积分区间:[-1,1]，权函数:Gauss点=Chebyshev多项式Tn+1(x)的零点G-C求积公式:Gauss-Chebyshev求积公式39G-C公式Tn+1(x)的零点(i=0,1,…,n)Gauss系数(i=0,1,…,n)G-C求积公式:

余项:

(-1,1)

40低阶G-C公式n=0n=1n=2两点G-C公式三点G-C公式41G-C公式举例例：用