2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题08数列求和(奇偶项讨论求和)练习(学生版+解析)

专题08数列求和（奇偶项讨论求和）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：求的前项和 2题型二：求的前项和 4题型三：通项含有的类型；例如： 6题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题 7三、专题08数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练 9一、必备秘籍有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．类型一：通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：角度1：求的前项和角度2：求的前项和类型二：通项含有的类型；例如：类型三：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题二、典型题型题型一：求的前项和1．（23-24高三上·江西·期末）已知等比数列的首项，公比为，的项和为且，，成等差数列.(1)求的通项：(2)若，，求的前项和.2．（2024·湖南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.(1)求数列的通项和数列的通项；(2)若，求数列的前项和.3．（2024·江西上饶·一模）设为正项数列的前项和，若，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2024项和．4．（23-24高三上·河北·期末）在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知正项数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，的前项和为，求.题型二：求的前项和1．（23-24高二上·江苏常州·期末）在数列中，，且对任意的，都有.(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；(2)若，求数列的前项和.2．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．3．（2023·湖南岳阳·三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设数列满足求的前项和.5．（22-23高二下·广东佛山·期中）已知数列满足，.(1)记，写出、，并求数列的通项公式；(2)求的前项和.题型三：通项含有的类型；例如：1．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知公差为3的等差数列的前项和为，且．(1)求：(2)若，记，求的值．2．（23-24高三上·山西晋城·期末）已知数列是各项为正数的数列，前n项和记为，，()，(1)求数列的通项公式；(2)设，，求数列的前n项和．3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知数列，满足，，.(1)证明：为等差数列.(2)设数列的前项和为，求.4．（2024·贵州安顺·模拟预测）在等比数列中，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．5．（2024·山东·模拟预测）已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题1．（23-24高三上·山东济宁·期末）已知数列为公差大于0的等差数列，其前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前100项和.2．（2024·吉林长春·一模）已知各项均为正数的数列满足：，．(1)求数列的通项公式；(2)若，记数列的前项和为，求．3．（2023·江苏苏州·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2023项和.4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）设数列满足，且.(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.三、专题08数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列的前n项和为，，等比数列的公比为3，．(1)求数列，的通项公式；(2)令求数列的前7项和．2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.3．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.(1)若，且，求；(2)若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和.7．（23-24高三上·辽宁·期末）在等比数列中(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和．8．（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知为数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，，求数列的前项和．9．（2024高三·全国·专题练习）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.10．（2024·广东汕头·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且.(1)求的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和.11．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知正项数列的前n项和，且，数列为单调递增的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.专题08数列求和（奇偶项讨论求和）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：求的前项和 2题型二：求的前项和 7题型三：通项含有的类型；例如： 13题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题 17三、专题08数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练 21一、必备秘籍有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．类型一：通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：角度1：求的前项和角度2：求的前项和类型二：通项含有的类型；例如：类型三：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题二、典型题型题型一：求的前项和1．（23-24高三上·江西·期末）已知等比数列的首项，公比为，的项和为且，，成等差数列.(1)求的通项：(2)若，，求的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，先验证不符合要求，然后再由列出方程，即可求得，从而得到通项公式；（2）根据题意，可得，其奇数次项依次构成一个首项为1，公比为4的等比数列，而偶数次项依次构成一个首项为，公差为的等差数列，然后结合数列求和的公式，代入计算即可得到结果．【详解】（1）由题意，若，由首项，可知，，此时，不符合题意，故，则由，可得化简整理，得，解得（舍去），或，，．（2）由（1），可得，故数列的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以为首项，为公差的等差数列，．2．（2024·湖南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.(1)求数列的通项和数列的通项；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)（或）【分析】（1）根据题意分别求出数列的首项和公差，以及数列的首项和公比，进而可得出答案；（2）利用并项求和法求解即可.【详解】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为，又，所以解得，故，因为数列为各项为正的递增数列，设公比为，且，因为，所以，得，又，所以，即，又，解得，从而，所以；（2）由（1）得，所以，所以数列的前项和为（或）.3．（2024·江西上饶·一模）设为正项数列的前项和，若，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2024项和．【答案】(1)（）(2)【分析】（1）利用，得，两式作差，整理得是等差数列即可求解；（2）利用裂项相消和分组求和求解.【详解】（1）由已知得：，当时，，．当时，得．，数列是以2为首项2为公差的等差数列（）（2）由已知得：．．4．（23-24高三上·河北·期末）在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，，当时，得到，从而得到从第2项起成等比数列，即可得到答案.（2）根据（1）得到，当为大于1的奇数时，，当为偶数时，.再利用分组求和、错位相减求和即可得到答案.【详解】（1）当时，，则.当时，由，得，则，则.因为，所以从第2项起成等比数列，.（2），当为大于1的奇数时，，当为偶数时，..，则，则，，则，则.5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知正项数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，的前项和为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与的关系化简求解即可；（2）采用分组求和的方式计算即可.【详解】（1）①②①-②整理得数列是正项数列，当时，数列是以2为首项，4为公差的等差数列，；（2）由题意知，，故.题型二：求的前项和1．（23-24高二上·江苏常州·期末）在数列中，，且对任意的，都有.(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）根据题意可得，可知等比数列，结合等比数列通项公式可得，可知是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；（2）由（1）可得，分类讨论的奇偶性，利用分组求和法结合等差、等比数列的求和公式运算求解.【详解】（1）因为，所以，又因为，则，且，可知，可得，则是以为首项，为公比的等比数列，所以，整理得，且，可知是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，即.（2）由（1）可知，可知的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.当为偶数，；当为奇数，；综上所述：.2．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.3．（2023·湖南岳阳·三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知条件求出公比，，直接写出等比数列的通项公式即可；（2）由（1）得，分组求和即可，注意分类讨论的思想.【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则，所以，解得，由，可得，解得，所以数列的通项公式为．（2）由（1）得，当n为偶数时，；当n为奇数时；综上所述：.4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设数列满足求的前项和.【答案】(1),；(2).【分析】（1）先求出再对分奇偶两种情况讨论得解；（2）先求出时，的前项和；再讨论当时，且为奇数时，当时，且为偶数时，的前项和，即得解.【详解】（1）根据题意可知，所以当为奇数时，，即，所以当为偶数时，；当为偶数时，，即，所以当为奇数时，.综上，,.（2）由（1）可知当为奇数时，若，即，解得，当为偶数时，若，即，解得，所以，当时，，所以.当时，且为奇数时，当时，且为偶数时，.综上，5．（22-23高二下·广东佛山·期中）已知数列满足，.(1)记，写出、，并求数列的通项公式；(2)求的前项和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）利用数列的递推公式以及可写出、的值，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（2）对分偶数和奇数两种情况讨论，在为偶数时，设，计算出的表达式，结合等差数列的求和公式可求得的表达式；在为奇数时，设，由可求得的表达式.综合可得出的表达式.【详解】（1）解：因为数列满足，，所以，，，，即，

所以，数列是公差为，首项为的等差数列，因此，.（2）当为偶数时，设，则，，所以，，此时，；当为奇数时，设，则，则.综上所述，.题型三：通项含有的类型；例如：1．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知公差为3的等差数列的前项和为，且．(1)求：(2)若，记，求的值．【答案】(1)(2)30【分析】（1）直接根据等差数列及其前项和的基本量的计算得首项，由此即可得解.（2）由题意得，由分组求和法即可得解.【详解】（1）因为公差为3的等差数列的前项和为，且，所以，解得，所以.（2）由题意，所以.2．（23-24高三上·山西晋城·期末）已知数列是各项为正数的数列，前n项和记为，，()，(1)求数列的通项公式；(2)设，，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系，以取代构造等式，两式作差得递推关系，再变形可证明数列是等差数列，进而求出通项；（2）分奇偶讨论，利用并项求和法求解前n项和.【详解】（1）由题意得①，且，当时，，解得或(舍去)，当时，②·∴①②得，∴，∵，∴，∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴.所以数列的通项公式为；（2）由（1）得，则当，且时，，n为偶数时，，n为奇数时，则为偶数，由上式可知，，所以.所以，.3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知数列，满足，，.(1)证明：为等差数列.(2)设数列的前项和为，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知代入化简得出，即可证明；（2）根据（1）得出数列的通项，当为偶数时，利用并项求和法得出，当为奇数时，为偶数，由得出，即可综合得出答案.【详解】（1）由题意得，，则，所以是首项，公差为1的等差数列.（2）由（1）得，则，当为偶数时，.当为奇数时，为偶数，则.综上，.4．（2024·贵州安顺·模拟预测）在等比数列中，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可；（2）先由（1）得，再分类讨论为奇数与为偶数两种情况，利用并项求和法即可得解.【详解】（1）因为在等比数列中，，设其公比为，所以，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1）得，所以数列的前项和，当为奇数时，；当为偶数时，；所以.5．（2024·山东·模拟预测）已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，，成等差数列，得，时得；时求得，可知是首项为2，公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式可求得，进而求得；（2）由（1）知，分是奇数、偶数可得.【详解】（1）由，，成等差数列，得，①当时，，∴，得（舍去），当时，，②①－②得，，∴，又，∴，∴是首项为2，公差为1的等差数列，∴，故；（2）由（1）知，当是奇数时，，当是偶数时，，综上.题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题1．（23-24高三上·山东济宁·期末）已知数列为公差大于0的等差数列，其前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前100项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程求得的值，即可求解；（2）由（1）得，分别求得，，和时，的取值，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为，，可得，解得或（舍去），所以，即数列的通项公式为.（2）解：由（1）得，当，时，，所以；当，时，，所以；当，时，，所以；当，时，，所以；所以.2．（2024·吉林长春·一模）已知各项均为正数的数列满足：，．(1)求数列的通项公式；(2)若，记数列的前项和为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，两边同除从而得到，则得到其通项；（2）根据正弦型函数的周期性，再进行分组求和，最后利用等比数列前项和公式即可.【详解】（1）因为各项为正数，，所以上式两边同时除以，得，令，则，即，解得（负值舍去），所以，又，所以是以，的等比数列，故.（2），当时，，当时，，当时，，当时，，根据三角函数周期性知的周期为4，则3．（2023·江苏苏州·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2023项和.【答案】(1)(2)1012【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及给定的条件求出公差d和；（2）根据数列的周期性求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，即解得，所以；（2）由（1）可知，，对于任意，有，所以，故数列的前2023项和为.4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）设数列满足，且.(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，;(2).【分析】（1）根据递推式，变形为，由等差数列定义可证明结论；利用累加法求得；（2）根据，讨论n的奇偶性，分类求解，利用并项求和法，可得答案.【详解】（1）由已知得，即，是以4为首项，2为公差的等差数列.，当时，,当时，也满足上式，所以;（2）,当为偶数时，当为奇数时，,所以.三、专题08数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列的前n项和为，，等比数列的公比为3，．(1)求数列，的通项公式；(2)令求数列的前7项和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）首先求，即可求数列的通项公式，再利用公式，即可求数列的通项公式，利用数列，，即可求数列的项公式；（2）根据（1）的结果，即可求.【详解】（1）当时，，即，由，得，又等比数列的公比为3，所以；由，①，当时，②，①②，，因为，所以，即，即数列是常数列，即，得，当时，，当时，成立，所以；（2），，，2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求解即可；（2）利用分组求和即可.【详解】（1）当时，，当时，，也满足，故数列的通项公式为.（2）由（1）可知，当为偶数时，；当为奇数时，，所以.3．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.(1)若，且，求；(2)若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得.（2）设，由已知求出，借助恒成立求出，再按奇偶分类并结合分组求和法求解即得.【详解】（1）依题意，，，则，由，得，解得，而，所以.（2）由是公差为的等差数列，设，又，于是对任意恒成立，即对任意恒成立，则，又，解得，从而，，当为偶数时，；当为奇数时，，所以.4．（2023·广东·二模）在等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，（2）根据等差数列以及等比求和公式，结合分组求和即可求解，或者分奇偶，又等差求和公式以及并项求和求解.【详解】（1）设的公差为，则解得所以.（2）（方法一）.（方法二）当为偶数时，当为奇数时，.综上，5．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）已知数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前100项的和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据与之间的关系，结合等比数列的定义进行求解即可；（2）根据特殊角余弦值的特点，结合等比数列的前项和公式进行求解即可.【详解】（1）当时，，整理得，又，得则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列.则（2）当时，当时，，当时，，当时，，则6．（2024·浙江·二模）如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为．(1)求，，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据相邻两个三角形的面积关系可得，即可求解通项，（2）先利用并项求和法求得为偶数的情况的和，再利用所得结论求得奇数的情况的和，然后写成分段形式.【详解】（1）由题意可知,，...，由此可知，故是以公比为的等比数列，所以.（2）由得，，当为偶数时，，当为奇数时，，故.7．（23-24高三上·辽宁·期末）在等比数列中(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据等比数列的通项公式列式运算求解；（2）根据题意可得：，利用并项求和运算求解.【详解】（1）由题意可得：，∵，则，解得或（舍去），∴的通项公式；