专题6.26一次函数一元一次方程和一元一次不等式（知识梳理与考点分类讲解）-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题6.26一次函数、一元一次方程和一元一次不等式（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数与一元一次方程任何一个一元一次方程都可以转化为的形式.（1）从“数”的角度来看,解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；(2)从“形”的角度来看,解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标。【知识点2】一次函数与一元一次不等式任何一个一元一次不等式都能写成的形式；(1)从“数”的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b(a≠0)的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；(2)从“形”的角度看，就是确定直线y=ax+b(a0)在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件.特别提醒：当一次函数中时,它就变成了一元一次不等式【考点目录】【考点一】由直线与坐标轴交点求一元一次方程组的解；【考点二】由一元一次方程的解求直线与坐标轴的交点；【考点三】由图象法解一元一次方程；【考点四】由直线与坐标轴交点求一元一次不等式的解；【考点五】由两条直线的交点求一元一次不等式组的解。【考点一】由直线与坐标轴交点求一元一次方程组的解【例1】（2022下·湖南永州·八年级校考阶段练习）根据一次函数的图象，直接写出问题的答案：（1）关于的方程的解；（2）代数式的值；（3）关于的方程的解.【答案】（1）x=1；（2）4；（3）【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；（2）利用函数图象写出x=1时对应的函数值即可（3）利用函数图象写出函数值为3时对应的自变量的值即可．解：（1）当x=1时，y=0，所以方程kx+b=0的解为x=1；（2）由图可以看出的图象过（1，0），（0，2）两点，可得，解得：所以一次函数关系式为：y=2x+2，当x=1时，y=4，即k+b=4，所以代数式k+b的值为4；（3）因为一次函数关系式为：y=2x+2，所以当y=3时，得2x+2=3，解得x=0.5，所以方程kx+b=3的解为x=0.5．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键．【举一反三】【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）如图是一次函数的图象，则关于的一次方程的解是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的图象得出一次函数与轴的交点坐标是，把坐标代入函数解析式，求出，再求出方程的解即可．解：从图象可知：一次函数与轴的交点坐标是，代入函数解析式得：，解得：，即，当时，，解得：，即关于的一次方程的解是，故选：D．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．【变式2】（2022上·八年级课时练习）一次函数（是常数，且）的图像如图所示，则方程的解为．【答案】【分析】结合图像，确定与x轴交点的坐标的横坐标，就是方程的解．解：∵一次函数（是常数，且）的图像与x轴交点的坐标的横坐标为，∴的解为．故答案为：．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，正确理解二者的关系是解题的关键．【考点二】由一元一次方程的解求直线与坐标轴的交点【例2】（2021上·安徽·八年级校联考期中）直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3（x﹣6）相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式．【答案】．【分析】先根据一次函数的性质可得，再求出直线与的交点坐标，然后代入一次函数即可得．解：∵直线与直线平行，∴，对于函数，当时，，将点代入得：，解得，则直线对应的函数解析式为．【点拨】本题考查了一次函数的性质、求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．【举一反三】【变式1】（2023上·陕西西安·八年级校考期中）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可．解：由方程的解可知：当时，，即当，，∴直线的图象一定经过点，故选：C．【点拨】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．【变式2】（2023下·安徽芜湖·八年级校联考期末）将函数的图象以直线为对称轴进行翻折，则所得函数图象的解析式为．【答案】【分析】先求出与坐标轴的交点，再求出关于直线的对称点，然后用待定系数法求解即可．解：当时，，∴的图象与y轴的交点坐标为．当时，，，∴的图象与x轴的交点坐标为．∴，关于直线的对称点分别是，，设所得函数图象的解析式为，∴，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了坐标与图形变化轴对称，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．【考点三】由图象法解一元一次方程【例3】（2022上·八年级课时练习）利用函数图象解下列方程（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案；（2）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案．（1）解：将变化为，画出函数的图象，如图，直线与x轴的交点坐标为，即方程的解为；（2）解：将变化为，画出函数的图象，如图，直线与x轴的交点坐标为，即方程的解为．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了数形结合的思想．【举一反三】【变式1】（2021上·河南平顶山·八年级校联考期中）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．解：∵直线与相交于点，∴，∴，∴，∴关于的方程的解是，故选：C．【点拨】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．【变式2】（2023上·浙江宁波·八年级校考期末）若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为．【答案】或【分析】在坐标系中画出，的图像，利用数形结合的思想求解即可．解：设，，当时，，当时，，直线经过点，如图，画出，的图像，由图像知，当时，与只有一个交点，故若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为或，故答案为：或．【点拨】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特点，明确函数的性质并数形结合是解题的关键．【考点四】由直线与坐标轴交点求一元一次不等式的解【例4】（2022上·安徽淮北·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，且与直线：相交于点．（1）求和的值．（2）直线，与轴围成的三角形面积为___________．（3）的解集为___________．【答案】（1）；（2）4；（3）【分析】（1）先把C点坐标代入中可求得a的值，然后把C点坐标代入中可求得k的值；（2）先解方程可得到B点坐标，然后利用三角形面积公式计算直线，与轴围成的三角形面积；（3）结合图象，写出两函数图象在轴上方（含B点）且直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．（1）解：把代入得,解得：把代入得，解得（2）解：由（1）可得直线的解析式为，直线的解析式为当时,解得,点坐标为直线与与轴围成的三角形面积为：（3）解：结合图象,的解集为【点拨】此题考查了一次函数解析式，函数图像与坐标轴交点问题，直线围成的图形面积问题，解不等式问题，利用数形结合思想是解题关键．【举一反三】【变式1】（2023下·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，直线与x轴交于点，那么不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数图象，利用数形结合即可得出结论．解：根据图象可得，一次函数在x轴下方部分对应的x的范围是，∴关于的不等式的解集为．故选D．【点拨】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键．【变式2】（2022下·上海徐汇·九年级统考期中）已知直线与轴和轴的交点分别是和，那么关于的不等式的解集是．【答案】【分析】根据题意画出直线，从而利用图象得出关于的不等式的解集．解：如图，根据题意画出直线，关于的不等式的解集是．故答案为：．【点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，解题的关键是根据题意画出图象，利用图象解答．【考点五】由两条直线的交点求一元一次不等式组的解【例5】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为．（1）求的值和一次函数的解析式；（2）直接写出使函数的值大于函数的值的自变量的取值范围．【答案】（1），一次函数解析式为；；（2）自变量x的取值范围是．【分析】（1）先把代入正比例函数解析式可计算出，然后把代入计算出k的值，从而得到一次函数解析式为；（2）观察函数图象得到当时，直线都在的上方，即函数的值大于函数的值．（1）解：把代入得，则点A的坐标为，把代入得，解得，所以一次函数解析式为；（2）解：观察函数图象得到当时，直线都在的上方，即函数的值大于函数的值．所以自变量x的取值范围是．【点拨】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022上·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（

）A．方程的解是B．不等式和不等式的解集相同C．不等式组的解集是D．方程组，的解是【答案】D【分析】由图象交点坐标可得方程组的解，根据图象及点坐标可得不等式和的解，由点坐标可得的值，从而可得直线与轴的交点，从而可得的解集．解：由图象可得直线与直线相交于点，方程的解是，故选项A正确；由图象可得当时，，和的解都是，故选项B正确；将代入得，解得，，将代入得，解得，时，直线在轴下方且在直线上方，的解集是．故选项C正确；直线与直线相交于点，方程组的解为，选项D错误．故选：D．【点拨】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关