第01讲二元一次方程组的概念与求解（重难点突破）

第01讲二元一次方程组的概念与求解（重难点）【知识点一、二元一次方程】含有两个未知数，并且含有未知数的的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程．说明：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.【知识点二、二元一次方程的解】一般地，使二元一次方程两边的值的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．说明：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．【知识点三、二元一次方程组】把具有未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.说明：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如也是二元一次方程组.【知识点四、二元一次方程组的解】一般地，二元一次方程组的两个方程的，叫做二元一次方程组的解.注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．【知识点五、消元法】1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数.这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.【知识点六、代入消元法】通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．说明：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或1)的方程．则选择系数为1(或1)的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．【知识点七、加减消元法解二元一次方程组】两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或时，将两个方程的两边分别或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．说明：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．题型一二元一次方程例1．下列是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A．，是一元一次方程，故本选项不符合题意；B．，是二元二次方程，故本选项不符合题意；C．，是二元一次方程，故本选项符合题意；D．，是分式方程，故本选项不符合题意．故选：C．【变式训练11】、下列一定是关于x、y的二元一次方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A．方程是二元二次方程，选项A不符合题意；B．当a，b不同时为0时，方程是一元一次方程，选项B不符合题意；C．方程是三元一次方程，选项C不符合题意；D．方程是二元一次方程，选项D符合题意．故选：D．【变式训练12】、下列方程为二元一次方程的是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意；B、不是二元一次方程，不符合题意；C、不是二元一次方程，不符合题意；D、不是二元一次方程，不符合题意；故选：A．题型二二元一次方程的解例2．下列四组数值是二元一次方程的解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、把代入方程，得，不是方程的解，本选项不符合题意；B、把代入方程，得，不是方程的解，本选项不符合题意；C、把代入方程，得，是方程的解，本选项符合题意；D、把代入方程，得，不是方程的解，本选项不符合题意；故选：C．【变式训练21】、下列各组数满足方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意；当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意；当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意；当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意；故选：A．【变式训练22】、为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球(两种球都买且钱全部花光)，其中篮球每个120元，排球每个90元，购买方案有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B【详解】解：设购买篮球个，购买排球个，，解得，或或，在两种球都买且钱全部花光的情况下，购买方案有3种，故选B．题型三二元一次方程组例3．在下列方程组：①，②，③，④中，是二元一次方程组的是（

）A．①③ B．①④ C．①② D．只有①【答案】B【详解】解：方程组①，④中符合二元一次方程组的定义，符合题意．方程组②属于二元二次方程组，不符合题意．方程组③中的第一个方程不是整式方程，不符合题意．故选：B．【变式训练31】、下列方程组中是二元一次方程组的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】A、最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义；B、整个方程组里含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义；C、符合二元一次方程组的定义；D、不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义；故选：C．【变式训练32】、下列方程组是二元一次方程组的有（

）①

②

③

④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：经过观察可发现方程组③有三个未知数，不是二元一次方程组，方程组①②④都是二元一次方程组，共有3个．故选：C．题型四二元一次方程组的解例4．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（

）A． B． C． D．【答案】C不是二元一次方程组，不符合题意．代入方程组可得，该数值不满足方程组中的方程．代入方程组，可得这组解满足每一个方程，符合题意．不是二元一次方程组，不符合题意．故选：C．【变式训练41】、方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式不成立．因此A选项不是方程组的解，不符合题意．B.将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此A选项不是方程组的解，不符合题意．C.将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式成立．因此C选项是方程组的解，符合题意．代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此D选项不是方程组的解，不符合题意．故选：C．【变式训练42】、若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：A、，适合方程组中的每一个方程，故该选项符合题意；B、，不是方程组中每一个方程的解，故该选项不合题意．C、，不是方程的解，故该选项不合题意；D、，不是方程组中每一个方程的解，故本选项不合题意；故选：A．题型五代入消元法例5．已知方程，用含x的代数式表示y，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：根据题意，得，则，故选：A．【变式训练51】、用代入消元法解方程组，下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：，由①得；，将代入②得，或，观察四个选项，选项D符合题意，故选：D．【变式训练52】、老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的个成员每人完成一步如图所示是个人合作完成方程组的解题过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（）A．甲 B．丙 C．乙和丁 D．甲和丙【答案】B【详解】解：，由①得，，将③代入②得，，去分母得，，合并同类项得，，系数化为得，，把代入③得，，∴原方程的解为，由上述解方程的过程可得，丙同学出错，故选：．题型六加减消元法例6．已知x、y是二元一次方程组的解，则的值是（

）A．5 B．4 C．2 D．1【答案】C【详解】解：，①－②得：，故选：C．【变式训练61】、二元一次方程组的解是（

）A． B． C．