专题6 全等三角形与三条线段的和差问题（原卷版）

专题6全等三角形与三条线段的和差问题（原卷版）类型一a＝b＋c或a＝b－c类型解决策略一等量代换名师点金：通过图中线段来代换另一条线段，将线段的和差问题转化为证两线段相等的问题，通过全等得到线段等，直接代换，将分散的线段转化到同一直线上解决问题．模型一旋转型全等1．（2021秋•临沂期末）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A，B重合），BE⊥CD交CD所在的直线于点E，交直线AC于F．（1）点D在边AB上时，如图，试探索AB、FA和BD之间的等量关系，并说明理由；（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，请选择一种情况，画出图形，写出AB、FA和BD之间的等量关系，并说明理由．模型二一线三垂直模型2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是过点A的一条直线，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D、E．（1）如图①，求证：DE＝BD+CE；（2）若直线l绕A点旋转到图②位置时，其余条件不变，请把图形补充完整，写出BD、CE与DE之间的数量关系，并证明你的结论．

模型三一线三等角（不为直角）模型3．（2023春•惠民县期末）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．​（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，证明BE＝CF．②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．

解决策略二截长补短法名师点金：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段；或者将短线段直接延长至等于长线段。无论截长还是补短都需要将几条线段的和差问题转化为证两条线段相等的问题，一般情况要通过两对全等实现。模型一角平分线与线段和差方法1根据角平分线作对称性全等4．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．5．（2021春•鄞州区校级期末）如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A＝60°，（1）求∠BFC的度数．（2）求证：BC＝BE+CD．

6．（2023春•达川区期末）如图，在△ABC和△BCD中，AC＝CD，∠BAC+∠BDC＝180°，在BD的延长线上取点E，使DE＝AB，连接CE．（1）试说明：∠ABC＝∠DBC；（2）连接AD交BC于点F，若∠ABD＝60°，∠ADB＝40°，试说明：BD＝AB+AF．方法2根据平分平行出等腰（知二推三）7．（2022秋•建昌县期末）如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC＝AB．

模型二倍半角与线段和差8．（2023春•扶风县期末）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF=12∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：

模型三手拉手模型与线段和差9．（2023春•荣成市期末）已知在△ABC中，AC＝BC，分别过A，B两点作互相平行的直线AM，BN，过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．（1）如图1，若AM⊥AB，求证：CD＝CE；（2）如图2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判断线段AD，DC与BE之间的关系，并说明理由．模型四倍长中线模型与线段和差10．（2022秋•葫芦岛期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为CD的中点．（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的长．（2）如图2，F为AC上一点，连接BF，BE．若∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，求证：BD+CF＝AB．

模型五根据一边一角相等构造全等11．（2022秋•青神县期末）如图，△ABC和△DEF都是等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上，连结AD，若AD＝AB．求证：（1）∠AED＝∠AFD．（2）AF＝AE+BC．类型二2a＝b＋c或2a＝b－c类型12．（2023春•北林区期末）如图，已知DE⊥AE，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，BD＝CD，BE＝CF．（1）证明：AD平分∠BAC；（2）证明：AB+AC＝2AE．

13．（2023春•渠县校级期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且∠B＝∠ADB，过点C作CM垂直于AD的延长线，垂足为M．（1）若∠DCM＝α，试用α表示∠BAD；（2）求证：AB+AC＝2AM．14．（2023春•漳州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC