人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第19讲 2.3直线的交点坐标与距离公式（原卷版）

第06讲2.3直线的交点坐标与距离公式（2.3.1两条直线的交点坐标+2.3.2两点间的距离公式+2.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行线间的距离公式）课程标准学习目标①掌握两条直线的位置关系中的相交几何意义，并能根据已知条件求出两条直线的交点坐标，并能根据两条直线相交的性质求待定参数。②会求平面内点与直线的距离，并能解决与距离有关的平面几何问题。③.会用两点间的距离公式求平面内两点间的距离.。④能应用公式求两平行线间的距离，以此解决与平面距离有关的综合问题。1.会求两条直线的交点坐标，通过两条直线相交的性质，解决与直线相交有关的问题；2.掌握利用向量法推导两点间距离公式的方法，并能用两点间距离公式求两点间的距离，以及解决与平面距离相关的问题；3.会用公式解决与点到直线距离有关的问题，并能解决与之相关的综合问题；4.熟练应用公式求平面内两平行线间的距离，以及与距离有关的参数的求解，能处理平面内与距离有关的问题.；知识点01：两条直线的交点坐标直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的公共点的坐标与方程组SKIPIF1<0的解一一对应.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交SKIPIF1<0方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行SKIPIF1<0方程组无解；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合SKIPIF1<0方程组有无数个解.【即学即练1】（2023·江苏·高二假期作业）分别判断下列直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是否相交．如果相交，求出交点的坐标．(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)相交，交点坐标为SKIPIF1<0(2)不相交(3)不相交【详解】（1）解方程组SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交，交点坐标为SKIPIF1<0．（2）解方程组SKIPIF1<0，方程组无解，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0无公共点，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不相交．（3）解方程组SKIPIF1<0，因为方程SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，所以方程组有无数组解，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有无数个公共点，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不相交．知识点02：两点间的距离平面上任意两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0间的距离公式为SKIPIF1<0特别地，原点SKIPIF1<0与任一点SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）已知点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】9或SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：9或SKIPIF1<0.知识点03：点到直线的距离平面上任意一点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.【即学即练3】（2023春·上海青浦·高二统考期末）点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由点到直线的距离公式，可得点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.知识点04：两条平行线间的距离一般地，两条平行直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）间的距离SKIPIF1<0.【即学即练4】（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互平行，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互平行，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的距离SKIPIF1<0.故选：A.知识点05：对称问题1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)求点SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0由：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、点关于直线对称问题（联立两个方程）求点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0①设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0利用中点坐标公式得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0中；②SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0【即学即练5】（2023秋·高二课时练习）若点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0_________；SKIPIF1<0__________．【答案】42【详解】依题意，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：4；23、直线关于点对称问题(求SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称直线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0）方法一：在直线SKIPIF1<0上找一点SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称的点SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，再由点斜式求解；方法二：由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设出SKIPIF1<0的直线方程，由点SKIPIF1<0到两直线的距离相等SKIPIF1<0求参数.方法三：在直线SKIPIF1<0任意一点SKIPIF1<0，求该点关于点SKIPIF1<0对称的点SKIPIF1<0，则该点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上.【即学即练6】（2023·高二单元测试）直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称直线方程是______．【答案】SKIPIF1<0【详解】设对称直线为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解这个方程得SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0.所以对称直线SKIPIF1<0的方程中SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.4、直线关于直线对称问题4.1直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）相交,求SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称直线SKIPIF1<0①求出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0②在SKIPIF1<0上任意取一点SKIPIF1<0(非SKIPIF1<0点），求出SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0③根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点求出直线SKIPIF1<04.2直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）平行,求SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称直线SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②在直线SKIPIF1<0上任取一点SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，利用点斜式求直线SKIPIF1<0.【即学即练7】（2023·高二课时练习）求直线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的直线SKIPIF1<0的方程．【答案】SKIPIF1<0【详解】联立两直线方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即两直线的交点为SKIPIF1<0，取直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0，设其关于直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为所求直线过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【即学即练8】（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中）直线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的直线方程为________【答案】SKIPIF1<0【详解】设所求直线方程为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以所求直线方程为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.题型01求直线交点坐标【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点坐标是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【典例2】（2023秋·高二课时练习）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点位于第一象限，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·天津·高二校联考期末）过直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点，且与直线SKIPIF1<0垂直的直线方程是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·高二课时练习）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交且交点在第二象限内，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型02由方程组解的个数判断直线的位置关系【典例1】（2023秋·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．(1)直线SKIPIF1<0；(2)直线SKIPIF1<0．【典例2】（2022·上海·高三专题练习）若关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0无解，则实数SKIPIF1<0________【变式1】（2022·高二课时练习）若关于SKIPIF1<0的二元一次方程组SKIPIF1<0有无穷多组解，则SKIPIF1<0______．【变式2】（2022·高二课时练习）关于SKIPIF1<0､SKIPIF1<0的二元一次方程组SKIPIF1<0有无穷多组解，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的积是_____.题型03由直线交点的个数求参数【典例1】（2022秋·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习）直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【典例2】（2022·高二校联考课时练习）若关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0有唯一解，则实数SKIPIF1<0满足的条件是________.【典例3】（2022·高二校联考课时练习）已知三条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于一点，求实数SKIPIF1<0的值；（2）若直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能围成三角形，求实数SKIPIF1<0的值.【变式1】（2022·江苏·高二专题练习）若三条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共有两个交点，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【变式2】（2022·高二课时练习）三条直线SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0有且只有两个交点，求实数SKIPIF1<0的值.题型04由直线的交点坐标求参数【典例1】（2023秋·高一单元测试）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点在第四象限，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·高二课时练习）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点在第一象限，则实数SKIPIF1<0的取值范围是___________.【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于一点，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点在SKIPIF1<0轴上，则SKIPIF1<0的值是（

）A．-24 B．6 C．±6 D．24题型05三线围成三角形问题【典例1】（2023秋·高二课时练习）使三条直线SKIPIF1<0不能围成三角形的实数SKIPIF1<0的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0能构成三角形，求SKIPIF1<0应满足的条件．

【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）三条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成三角形，则SKIPIF1<0的值不能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．－2【变式2】（2023秋·浙江宁波·高二期末）若三条直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0能围成一个直角三角形，则SKIPIF1<0__________．题型06直线交点系方程及其应用【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）设直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线SKIPIF1<0的方程为___________.【典例2】（2022·高二课时练习）已知两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0．求：(1)过点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的直线方程；(2)过点SKIPIF1<0且与直线SKIPIF1<0平行的直线方程．【变式1】（2022秋·高二课时练习）过两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点和原点的直线方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2022·高二单元测试）已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．求证：直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，并求点SKIPIF1<0的坐标．【变式3】（2022·高二课时练习）直线SKIPIF1<0经过直线SKIPIF1<0的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线SKIPIF1<0的方程.题型07求两点间的距离公式【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点分别在两条互相垂直的直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0线段的中点为SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为（

）A．11 B．10 C．9 D．8【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．10 B．13 C．16 D．20【变式1】（2023秋·高二课时练习）已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，且SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0分别过定点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0|________．【变式3】（2023·高三课时练习）如图，SKIPIF1<0是边长为1的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上一点，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长度为___________.题型08距离公式的应用【典例1】（2023春·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2022秋·福建·高二校联考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：SKIPIF1<0可以转化为点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离，则SKIPIF1<0的最小值为（

）．A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2022秋·甘肃嘉峪关·高二校考期中）函数SKIPIF1<0的最小值是_____________.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于SKIPIF1<0时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为SKIPIF1<0.根据以上性质，SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2022秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：SKIPIF1<0可以转化为平面上点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离.结合上述观点，可得SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）某同学在研究函数SKIPIF1<0的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的最小值为________．题型09求点到直线的距离【典例1】（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线SKIPIF1<0的距离是（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为_________.【变式1】（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为原点，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到圆心SKIPIF1<0的距离的最小值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1题型10已知点到直线的距离求参数【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于3，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0上存在一点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为坐标原点.则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）求满足下列条件的直线SKIPIF1<0的一般式方程：(1)经过直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0；(2)与直线SKIPIF1<0垂直，且点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．【变式1】（2023秋·广东广州·高二统考期末）已知点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为1，则SKIPIF1<0的值为（

）ASKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或15C．5或SKIPIF1<0 D．5或15【变式2】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为1，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或15 C．5或SKIPIF1<0 D．5或15【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）已知点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型11求点关于直线的对称点【典例1】（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）已知点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则点SKIPIF1<0的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点关于直线SKIPIF1<0对称，则点SKIPIF1<0的坐标为______.【变式1】（2023·全国·高三对口高考）点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点的坐标为_________．【变式2】（2023·高二课时练习）若点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的点是SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值．题型12求到两点距离相等的直线方程【典例1】（2023春·湖南长沙·高二浏阳一中校考开学考试）已知SKIPIF1<0两点到直线SKIPIF1<0的距离相等，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．2或SKIPIF1<0 D．2或SKIPIF1<0【典例2】（2023·高二课时练习）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离都等于2，求直线SKIPIF1<0的方程．【变式1】（2023·全国·高三对口高考）过点SKIPIF1<0且和SKIPIF1<0的距离相等的直线方程是_________．【变式2】（2023·高三课时练习）已知点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离相等，则直线SKIPIF1<0的方程为______.题型13直线关于直线对称【典例1】（2023春·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）如果直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，那么（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）两直线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称的直线方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·高二课时练习）如果直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，那么直线SKIPIF1<0的方程是______．【典例4】（2023·全国·高三专题练习）直线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的直线方程是________.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）直线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称的直线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·全国·高三专题练习）求直线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的直线方程（

）SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023·高二课时练习）如果直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，那么SKIPIF1<0______，SKIPIF1<0______．【变式4】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则实数a=______.题型14平行线间的距离问题【典例1】（2023秋·高二课时练习）两条平行直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．14 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当两平行线距离最大时，SKIPIF1<0（

）A．3 B．4 C．5 D．6【典例3】（2023秋·高一单元测试）若两条平行直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【变式1】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）若平面内两条平行线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2【变式2】（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为SKIPIF1<0，则a的值为（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．4或SKIPIF1<0 D．8或SKIPIF1<0【变式3】（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）两条平行线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0间的距离等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型15直线关于点对称的直线【典例1】（2023·高二课时练习）SKIPIF1<0关于原点对称的直线是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称的直线方程为（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【典例3】（2023·高二课时练习）直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称的直线方程是______．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称的直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023秋·高二课时练习）直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称的直线方程为__________．题型16将军饮马问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为SKIPIF1<0，若将军从山脚下的点SKIPIF1<0处出发，河岸线所在直线的方程为SKIPIF1<0，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·高二课时练习）已知点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，在直线SKIPIF1<0上找一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0最小，并求这个最小值．【变式1】（2023春·四川资阳·高三四川省乐至中学校考开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为SKIPIF1<0，若将军从点SKIPIF1<0处出发，河岸线所在直线方程为SKIPIF1<0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的值域为__________.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·江苏·高二假期作业）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则A，B两点的距离为（

）A．25 B．5C．4 D．SKIPIF1<02．（2023春·江苏镇江·高二统考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形3．（2023春·广西玉林·高二统考期中）已知两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则这两条直线之间的距离为（

）A．2 B．3 C．5 D．104．（2023·全国·高三专题练习）若点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．45．（2023春·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0距离的最大值是（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都相交 D．SKIPIF1<0，使得原点到SKIPIF1<0的距离为37．（2023·全国·高三专题练习）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的曼哈顿距离为SKIPIF1<0.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形SKIPIF1<0的三个顶点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的“好点”的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023秋·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）过点SKIPIF1<0引直线，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两点到直线的距离相等，则直线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0二、多选题9．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则（

）A．直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0时，两直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的距离为310．（2023秋·湖南长沙·高二校考期末）若直线SKIPIF1<0不能构成三角形，则SKIPIF1<0的取值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题11．（2023·江苏·高二假期作业）已知定点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0上总存在点SKIPIF1<0，满足条件SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为________．12．（2023春·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）光线沿着直线SKIPIF1<0射到直线SKIPIF1<0上，经反射后沿着直线SKIPIF1<