考研数学二分类模拟228

考研数学二分类模拟228解答题1.

计算积分．正确答案：解1：

第二积分中，令，则

解2：令，则

故I=0．[考点]不定积分、定积分、反常积分

2.

函数在(0，0)点的极限存在吗?若存在，则求其值．正确答案：解：不存在；可考虑沿路径x=my2的极限(m取不同的实数)．[考点]多元函数微分学

二次型经过正交变换化为标准形，求：3.

常数a，b；正确答案：解：令

则

f(x1，x2，x3)=xTAx

由其标准形可知，A的特征值为λ1=5，λ2=b，λ3=-4，由

得

解得．

从而，特征值为λ1=λ2=5，λ3=-4．[考点]二次型

4.

正交变换的矩阵Q.正确答案：解：将λ1=λ2=5代入(λE-A)x=0，解得λ1=λ2=5对应的线性无关的特征向量为；

将λ3=-4代入(λE-A)x=0，解得λ3=-4对应的线性无关的特征向量为．

令

单位化得

所求的正交变换矩阵为

[考点]二次型

设A=E-2ξξT，其中，ξ=(x1，x2，…，xn)T，且ξTξ=1．证明：5.

A是对称矩阵；正确答案：证明：AT=(E-2ξξT)T=ET-2(ξξT)T=A，故A是对称矩阵．[考点]矩阵、向量、方程组

6.

A2=E；正确答案：证明：

A2=(E-2ξξT)(E-2ξξT)=E-2ξξT-2ξξT+4ξξTξξT

=E-4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E[考点]矩阵、向量、方程组

7.

A是正交矩阵．正确答案：证明：由上两个小题知，AT=A，A2=E，得AAT=E，故A是正交矩阵．[考点]矩阵、向量、方程组

8.

设f(x)在(-∞，+∞)上连续，且，证明：f(x)在(-∞，+∞)上能取到最小值．正确答案：证明：显然f(x)在闭区间[-10010，10086]上能取到最小值m，即存在a∈[-10010，10086]，使得f(a)=m．

由于，则对任意的M＞|m|，分别存在G1＞10086和G2＜-10010，使得当x＞G1或x＜G2时，有f(x)＞M＞|m|，由此可得f(x)在(-∞，+∞)上能取到最小值，且等于f(x)在[G2，G1]的最小值．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

9.

解下列矩阵方程

正确答案：解：此矩阵方程可以写成

(En+H+H2+…+Hn-1)X=(En+2H+3H2+…+nHn-1)①

其中．

由于

(En-H)(En+H+H2+…+Hn-1)=En-Hn=En

给式①两端左乘(En-H)，得

[考点]矩阵、向量、方程组

10.

求．正确答案：解1：拆分区间[0，1]．，对任意的，0≤1-x2＜1，故，当n＞N时，，则

所以．

解2：

由结论及夹逼准则知[考点]不定积分、定积分、反常积分

11.

设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数．试证：，使得

正确答案：证1：记．注意到

且F(x)存[a，b]上三阶可导．故只需将上题中的函数f(x)换为F(x)即证得本题结论．

证2：将函数在点处按泰勒定理展开，记，则

其中ξ，η∈(a，b)．而

由于f"(x)连续，则利用连续函数及介值性定理，，使得

代入②即得欲证的式①．

注本题的证2几乎完全类似于上题中的证法2，实际上，若条件只假设f"(x)存在，亦可由导数的介质性定理(达布定理)得证．

证3：记，在泰勒展开式

的两端同时在[a，b]上积分(ξ介于x与x0之间)．注意

由广义的第一积分中值定理知，，使得

(请读者思考为什么这里不能直接把f"(ξ)提出去，而要用广义的第一积分中值定理)，因此式①成立．[考点]一元函数微积分

12.

设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，r(A)=3，且α1+α2=(1，-1，3，2)T，α2+α3=(-2，4，2，-8)T，求Ax=b的通解．正确答案：解：由于A的列数为4，r(A)=3，所以可设Ax=b的通解形式为kξ+η，其中ξ为对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，η为Ax=b的一个特解，不妨设

于是Ax=b的通解为k(-3，5，-1，-10)T+(-1，2，1，-4)T(k为任意常数)．[考点]线性方程组

13.

抛物线y2=2x把圆x2+y2=8的面积分成两部分，如图，求两部分的面积之比．

正确答案：解：抛物线y2=2x和圆x2+y2=8在第一象限内的交点为A(2，2)．

设这两部分的面积分别为S1及S2，则有

及

于是，它们之比为

[考点]定积分的应用

14.

求函数的导数．正确答案：解：

当时

当时

当时

所以，当时，不存在．[考点]一元函数微积分

15.

．正确答案：解：设1-5x2=t，则，从而

故得

[考点]一元函数微积分

16.

设A是n阶矩阵，满足A2=A，且A≠E(E表示n阶单位阵)，证明：|A|=0．正确答案：证明：根据题设条件A2=A，有

A2-A=A(A-E)=0

又A≠E，故A-E≠0．

将A-E按列分块，设A-E=(ξ1，ξ2，…，ξn)，则A-E的每一列ξi(i=1，2，…，n)均是方程组Ax=0的解向量，由于A-E≠0，故A-E中至少有一列ξi不为零向量，故Ax=0至少有一个非零解，从而证得|A|=0．[考点]矩阵、向量、方程组

设A，B为n阶矩阵．17.

是否有AB～BA?正确答案：解：一般情况下，AB与BA不相似，如

因为r(AB)≠r(BA)，所以AB与BA不相似．[考点]特征值与特征向量

18.

若A有特征值1，2，…，n．证明：AB～BA.正确答案：证明：因为|A|=n!≠0，所以A为可逆矩阵，取P=A，则有P-1ABP=BA，故AB相似于BA．[考点]特征值与特征向量

19.

将周长为2p的矩形绕它的一边旋转成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱的体积为最大．正确答案：解1：化为无条件极值问题求解．

设矩形的长和宽分别为x，y，则x+y=p，旋转所得圆柱体的体积为V=πx2y，即V=πx2(p-x)(x＞0)．令，得，x=0(舍去)．

，故矩形的长和宽分别为时取最大体积，且最大体积．

解2：用拉格朗乘数法．

设

L(x，y，λ)=πx2y+λ(x+y-p)，L'x=L'y=L'λ=0

解得，故矩形长为，宽为，最大体积．[考点]多元函数微分学

20.

证明：函数，在(0，1)内有且仅有一个零点．正确答案：证明：

令f'(x)=0，解得，即．当时，f'(x)＞0；当时，f'(x)＜0，则f(x)在处有极小值，且在上单调递增．由f(1)=0，得，则f(x)在内没有零点．

又因，且f(x)在内单调递减，则f(x)在内有且仅有一个零点．

综上，f(x)在(0，1)内有且仅有一个零点．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

21.

求极限．正确答案：解：

[考点]函数、极限

22.

设A，B，C为n阶矩阵，且满足AB=BC=CA=E，求A2+B2+C2．正确答案：解：因AB=BC=CA=E，知A，B，C均可逆且

A=B-1=C-1，B=A-1=C-1，C=A-1=B-1

则

A2=AB-1=AA-1=E，B2=BB-1=E，C2=CC-1=E

故

A2+B2+C2=3E[考点]矩阵、向量、方程组

23.

设是连续函数，求a，b．