专题1.9 三角形中的八大经典模型（举一反三）（浙教版）（原卷版）

专题1.9三角形中的八大经典模型【八大题型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1A字模型】 1【题型28字模型】 3【题型3双垂直模型】 4【题型4飞镖模型】 6【题型5风筝模型】 8【题型6两内角角平分线模型】 9【题型7两外角角平分线模型】 11【题型8内外角角平分线模型】 14【知识点1A字模型】【条件】△ADE与△ABC.【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.【题型1A字模型】【例1】（2023春·湖北荆门·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（

）A．360º B．250º C．180º D．140º【变式1-1】（2023春·八年级单元测试）如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证∠DBC+∠ECB=180°+∠A．【变式1-2】（2023春•常州期中）如图，△ABC中，∠B＝68°，∠A比∠C大28°，点D、E分别在AB、BC上．连接DE，∠DEB＝42°．（1）求∠A的度数；（2）判断DE与AC之间的位置关系，并说明理由．【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，已知∠A=40°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为．【知识点28字模型】【条件】AD、BC相交于点O.【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.【题型28字模型】【例2】（2015-2016学年北京市怀柔区八年级上学期期末数学试卷（带解析））如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28∘，则∠A+A．62∘ B．152∘ C．208∘【变式2-1】（2013-2014学年初中数学苏教版八年级上册第一章练习卷（带解析））如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【变式2-2】（2023·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应（填“增加”或“减少”）度．【变式2-3】（2023春·八年级期末）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【知识点3双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得证.【题型3双垂直模型】【例3】（2023春·广东珠海·八年级校联考期末）如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．（1）求证：∠EAB=∠CED；（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．①求证EG⊥AF；②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】【变式3-1】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：∠CFE=∠CEF

请在以下的解题过程中的括号里填推理的理由．证明：∵AE平分∠CAB（已知）∴∠CAE=∠FAB（_____________________）∵∠ACE=90°（已知）∴∠CAE+∠CEF=90°（_____________________）∵CD是△ABC的高（已知）∴∠FDA=90°（三角形高的定义）∴∠FAB+∠AFD=90°（直角三角形的两锐角互余）∴∠CEF=∠AFD（____________________________）∵∠CFE=∠AFD（_____________________）∴∠CFE=∠CEF（____________________）【变式3-2】（2023春·山东青岛·八年级山东省青岛第五十九中学校考期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于点G．(1)判断△DBF的形状，并说明理由．(2)求证：AD⊥CF．【变式3-3】（2023春·山东济南·八年级济南育英中学校联考期中）如图，△ABC中，∠B=90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E．（1）如图1，若∠BAC=60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数；（2）如图2，当点D在线段BC上时，①判断∠EDC与∠BAD的数量关系并说明理由；②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由；（3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由．【知识点4飞镖模型】【条件】四边形ABDC如上左图所示.【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.【题型4飞镖模型】【例4】（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是（

）．A．72° B．70° C．65° D．60°【变式4-1】（2023春·八年级期末）如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=（

）．A．90° B．60° C．50° D．40°【变式4-2】（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，已知四边形ABDC，求证∠BDC=∠A+∠B+∠C．【变式4-3】（2023春·福建南平·八年级统考期中）如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【知识点5风筝模型】【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.【题型5风筝模型】【例5】（2023春·重庆渝北·八年级校考期中）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【变式5-1】（2023春·八年级期末）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（

）．A．14° B．15° C．28° D．30°【变式5-2】（2023春·八年级期末）如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°,∠B=75°，将∠C沿DE翻折，使点C落在△ABC外的点C'处．若∠1=20°，则∠2的度数为【变式5-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°【知识点6两内角角平分线模型】【条件】△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I.【结论】【证明】∵BI是∠ABC平分线，∴∵CI是∠ACB平分线，∴由A→B→I→C→A的飞镖模型可知：∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.【题型6两内角角平分线模型】【例6】（2023春·江苏苏州·八年级期中）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及反向延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，则【变式6-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，则∠A=（

）A．80° B．75° C．60° D．45°【变式6-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝【变式6-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．（1）若∠MON=60°，则∠ACG=；（直接写出答案）（2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）（3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．【知识点7两外角角平分线模型】【条件】△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O.【结论】.【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴由△BCO中内角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===【题型7两外角角平分线模型】【例7】（2023春·江苏·八年级专题练习）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．【拓展延伸】（4）①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：（用α、β表示②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．

【变式7-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，五边形ABCDE在∠BCD,∠EDC处的外角分别是∠FCD,∠GDC,CP,DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P．若∠A=160°,∠B=80°,∠E=90°，则∠CPD=．【变式7-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分线交点，延长BP交AC于G，请写出∠A和∠CPG的数量关系.【变式7-3】（2023春·八年级期末）如图1，△ABC的外角平分线交于点F．（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为；（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是；（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．【知识点8内外角角平分线模型】【条件】△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.【结论】【证明】∵BP是∠ABC平分线，∴∵CP是∠ACE平分线，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A……①对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P……③比较②③式子可知：.==.【题型8内外角角平分线模型】【例8】（2023春·八年级期末）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角