人教A版高中数学必修第二册同步讲义第39讲 总体百分位数的估计（含解析）

第39课总体百分位数的估计目标导航目标导航课程标准课标解读1.结合实例，能用样本估计百分位数.2.理解百分位数的统计含义．前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断．接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？知识精讲知识精讲知识点01百分位数的定义1．一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．注意点：(1)中位数相当于是第50百分位数．除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数．(2)第25,50,75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．(3)第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．【即学即练1】下列表述不正确的是()A．50%分位数就是总体的中位数B．第p百分位数可以有单位C．一个总体的四分位数有4个D．样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确答案C解析一个总体的25%分位数，50%分位数，75%分位数是总体的四分位数，有3个，所以C错误．反思感悟分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置．百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息．知识点02由样本数据求百分位数【即学即练2】从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8，8.3,8.0，分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数．解将所有数据从小到大排列，得7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，则25%分位数是eq\f(8.0＋8.3,2)＝8.15，75%分位数是eq\f(8.6＋8.9,2)＝8.75，95%分位数是第12个数据9.9.反思感悟计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤第1步，按照从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项和第(i＋1)项数据的平均数．知识点03由频数(频率)分布表求百分位数【即学即练3】某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现按比例分配分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)．(1)A类工人和B类工人中各应抽查多少人？(2)A类工人中的抽查结果和B类工人中的抽查结果分别如表1和表2所示．表1生产能力分组[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]人数48x53表2生产能力分组[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]人数6y3618先确定x，y的值，再分别计算A类工人和B类工人生产能力的样本数据的60%分位数(保留两位小数)．解(1)由已知可得，从A类工人中应抽查100×eq\f(250,1000)＝25(人)，从B类工人中应抽查100×eq\f(750,1000)＝75(人)．(2)由题意知4＋8＋x＋5＋3＝25，解得x＝5，6＋y＋36＋18＝75，解得y＝15.A类工人生产能力频率分布表为生产能力分组[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]频率0.160.320.200.200.12由频率分布表可知，A类工人生产能力在120以下的所占比例为16%＋32%＝48%.A类工人生产能力在130以下的所占比例为48%＋20%＝68%.因此，60%分位数一定位于[120,130)内．由120＋10×eq\f(0.60－0.48,0.68－0.48)＝126，可以估计A类工人生产能力的样本数据的60%分位数为126.B类工人生产能力频率分布表为生产能力分组[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]频率0.080.200.480.24由频率分布表可知，B类工人生产能力在130以下的所占比例为8%＋20%＝28%.B类工人生产能力在140以下的所占比例为28%＋48%＝76%.因此，60%分位数一定位于[130,140)内．由130＋10×eq\f(0.60－0.28,0.76－0.28)≈136.67，可以估计B类工人生产能力的样本数据的60%分位数约为136.67.反思感悟题目给出的分布表与原始数据相比，损失了一些信息，不知道这些具体数据的情况，在求解时，可以把它们看成均匀地分布在某区间上．能力拓展能力拓展考法01百分位数的定义【典例1】15%分位数的含义是()A．总体中任何一个数小于它的可能性是15%B．总体中任何一个数小于或等于它的可能性是15%C．总体中任何一个数大于它的可能性是15%D．总体中任何一个数大于或等于它的可能性是15%答案B解析根据第p百分位数的定义可知B正确．【变式训练】考法02由样本数据求百分位数【典例2】某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9，则其50%分位数为________．答案8.5解析∵7×50%＝3.5，∴其50%分位数为8.5.考法03由频数(频率)分布表求百分位数【典例3】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频率分布表如下：排号分组频数频率1[0,2)60.062[2,4)80.083[4,6)17b4[6,8)220.225[8,10)250.256[10,12)120.127[12,14)a0.068[14,16)20.029[16,18]20.02合计1001(1)求频率分布表中a，b的值；(2)计算50%分位数，并估计是否有50%的学生的阅读时间达到7.68小时．解(1)a＝0.06×100＝6，b＝eq\f(17,100)＝0.17.(2)阅读时间小于6小时的学生所占比例是0.06＋0.08＋0.17＝0.31，阅读时间小于8小时的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＋0.22＝0.53，所以50%分位数在[6,8)内，所以50%分位数约为6＋2×eq\f(0.50－0.31,0.53－0.31)≈7.73.因为7.73>7.68，所以估计有50%的学生的阅读时间达到7.68小时．考法03由频率分布直方图求百分位数例4某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组：[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知年龄在[20,25)的参赛者有5人．(1)求x；(2)估计抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；(3)以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．解(1)第一组频率为0.01×5＝0.05，所以x＝eq\f(5,0.05)＝100.(2)由题图可知年龄低于30岁的所占比例为(0.07＋0.01)×5×100%＝40%，年龄低于35岁的所占比例为(0.01＋0.07＋0.06)×5×100%＝70%，所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内，由30＋5×eq\f(0.50－0.40,0.70－0.40)≈32，所以抽取的x人的年龄的50%分位数约为32.(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列为88,90,92,92,95,96,96,97,98,99，计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为eq\f(90＋92,2)＝91，这10人成绩的平均数为eq\f(1,10)×(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3.评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高．感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可．反思感悟由频率分布直方图求百分位数的方法(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率．(2)一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可．跟踪训练4为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗？ 解由题意知分别落在各区间上的频数在[80,90)上为60×0.015×10＝9，在[90,100)上为60×0.025×10＝15，在[100,110)上为60×0.030×10＝18，在[110,120)上为60×0.020×10＝12，在[120,130]上为60×0.010×10＝6.从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上，由100＋10×eq\f(0.5－0.4,0.7－0.4)≈103.3；第75百分位数一定落在区间[110,120)上，由110＋10×eq\f(0.75－0.7,0.9－0.7)＝112.5.综上可知，第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3cm,112.5cm.分层提分分层提分题组A基础过关练1．数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是()A．14B．17C．19D．23答案D解析因为8×70%＝5.6，故第70百分位数是由小到大排列后的第六项数据23.2．已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是()A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数答案C解析因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和76个数据的平均数为75%分位数，是9.3，则C正确．3．下列一组数据的下四分位数是()2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6A．3.2B．3.0C．4.4D．2.5答案A解析把该组数据按照由小到大排列，可得2．1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，下四分位数即第25百分位数，由10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是下四分位数．4．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________．答案eq\f(100,9)解析样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10,14)内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋eq\f(0.1,0.36)×4＝eq\f(100,9).题组B能力提升练1．数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30%分位数为()A．8.4B．8.5C．8.6D．8.3答案A解析因为8×30%＝2.4，故30%分位数是由小到大排列后的第三项数据8.4.2．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)：78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，则这15人成绩的第80百分位数是()A．90B．90.5C．91D．91.5答案B解析把成绩按从小到大的顺序排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是eq\f(90＋91,2)＝90.5.3．(多选)一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36，这组数据的一个四分位数是15，则它是()A．第一四分位数 B．下四分位数C．第三四分位数 D．上四分位数答案AB解析将数据由小到大排列为6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49，共11项．由11×25%＝2.75，故15是第一四分位数或下四分位数．4．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有()A．a＝13.7，b＝15.5 B．a＝14，b＝15C．a＝12，b＝15.5 D．a＝14.7，b＝15答案D解析把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a＝eq\f(1,10)×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，因为10×50%＝5，所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为b＝eq\f(15＋15,2)＝15.5．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是()A．29mm B．29.5mmC．30mm D．30.5mm答案A解析棉花纤维的长度在30mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5×100%＝85%，在25mm以下的比例为85%－0.05×5×100%＝60%，因此，80%分位数一定位于[25,30)内，由25＋5×eq\f(0.80－0.60,0.85－0.60)＝29，可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是29mm.6．(多选)某校高一(6)班某次测试数学成绩累积频数分布折线图如图所示，则下列说法正确的是()A．没有人的成绩在30～40分这组内B．第25百分位数位于40～50分这组内C．第50百分位数位于60～70分这组内D．第75百分位数位于70～80分这组内答案ABC解析由题图知没有人的成绩在30～40分这组内；故A正确；由40×25%＝10，取第10,11项数据的平均数，所以第25百分位数位于40～50分这组内；故B正确；由40×50%＝20，取第20,21项数据的平均数，所以第50百分位数位于60～70分这组内；故C正确；由40×75%＝30，取第30,31项数据的平均数，所以第75百分位数位于60～70分这组内.故D不正确．7．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则60分为成绩的第________百分位数．答案30解析因为分数位于[20,40)，[40,60)的频率之和为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以60分为成绩的第30百分位数．8．如图是某市2022年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的第10百分位数为______，日最低气温的第80百分位数为______．答案24℃16℃解析由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序得24,24.5,24.5,25,26,26,27，因为共有7个数据，7×10%＝0.7不是整数，所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据24℃.把日最低气温按照从小到大排序得12,12,13,14,15,16,17，因为共有7个数据，7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据16℃.9．求下列数据的四分位数．13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20.解把这12个数据按从小到大的顺序排列可得12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31，计算12×25%＝3,12×50%＝6,12×75%＝9，所以数据的第25百分位数为eq\f(15＋18,2)＝16.5，第50百分位数为eq\f(20＋22,2)＝21，第75百分位数为eq\f(27＋28,2)＝27.5.10．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2022年6月18日的网购金额(单位：千元)，所得数据如下表：网购金额(单位：千元)人数频率[0,1)160.08[1,2)240.12[2,3)xp[3,4)yq[4,5)160.08[5,6]140.07合计2001.00已知网购金额低于3千元与不低于3千元的人数比恰为3∶2.(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图；(2)估计网购金额的25%分位数(结果保留3位有效数字)．解(1)根据题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16＋24＋x＋y＋16＋14＝200，,\f(16＋24＋x,y＋16＋14)＝\f(3,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝80，,y＝50.))所以p＝eq\f(80,200)＝0.4，q＝eq\f(50,200)＝0.25.补全频率分布直方图如图所示．(2)由(1)可知，网购金额低于2千元的频率为0.08＋0.12＝0.2，网购金额低于3千元的频率为0.2＋0.4＝0.6，所以网购金额的25%分位数在[2,3)内，则网购金额的25%分位数估计为2＋eq\f(0.25－0.2,0.6－0.2)×1＝2.125≈2.13(千元)．题组C培优拔尖练1．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位某地市民，他们的幸福感指数为3,4,5,5,6,7,7,8,9,10.则这组数据的75%分位数等于()A．7B．7.5C．8D．8.5答案C解析由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为75%×10＝7.5，所以这10个人的75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.2．按从小到大排序的一组数据为6，a，b，20，24，若40%分位数为16，则下列情况可能的是()A．a＝15，b＝17 B．a＝16，b＝17C．a＝17，b＝18 D．a＝16，b＝19答案A解析由5×40%＝2，可知40%分位数为第2项和第3项数据的平均数，即eq\f(a＋b,2)＝16，所以a＋b＝32.3．(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C．甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数D．甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差答案BCD解析由题图可得，eq\x\to(x)甲＝eq\f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，eq\x\to(x)乙＝eq\f(3×5＋6＋9,5)＝6，A错误，B正确；甲的成绩的第80百分位数是eq\f(7＋8,2)＝7.5，乙的成绩的第80百分位数是eq\f(6＋9,2)＝7.5，二者相等，C正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D正确．4．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为____秒．答案16.5解析设成绩的70%分位数为x，因为eq\f(1＋3＋7,1＋3＋7＋6＋3)＝0.55，eq\f(1＋3＋7＋6,1＋3＋7＋6＋3)＝0.85，所以x∈[16,17)，则成绩的70%分位数约为16＋1×eq\f(0.7－0.55,0.85－0.55)＝16.5(秒)．5．