湖北省武汉市2023届高三5月模拟训练数学试题（解析版）

第1页/共1页武汉市2023届高三年级五月模拟训练试题参考答案2023.5.2415.【详解】由题意，可得，且，所以所以事件是相互独立事件，且.故答案为：是；.16.【详解】设，故，则，，所以，①，令中，所以，解得故，即，所以，所以代入①可得：，所以，则，即，即，即，即，即，故，解得：.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于由三角形的面积公式将化简为，再由勾股定理求出，代入化简即可.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【小问1详解】解：由题意，各项均不为零的数列的前项和为，满足且，当时，，解得，当时，，两式相减得，因为数列中各项均不为零，即.所以数列中奇数项是以为首项，2为公差的等差数列；偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，当时，，即；当时，，即，综上，数列的通项公式为.【小问2详解】解：由（1）知数列是以1为首项，1为公差的等差数列，可得，因为，所以，当时，，即不等式恒成立；当时，.故正整数的最大值为.18.【小问1详解】在中有.即.因为，由正弦定理可得，即.同理，由正弦定理可得，即.在中有.解得，，.由，得：.【小问2详解】面积，代入，，整理得：.由（1）知，，即，.中，由正弦定理可得，即.所以.19.【小问1详解】中，E为PB中点，所以.在正方形ABCD中，.因为平面ABCD，平面ABCD，即.又因为，平面PAB，所以平面PAB.平面PAB，即，又因为，，平面PBC.所以平面PBC，平面AEF，即平面平面PBC.【小问2详解】因为平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以易知AB，AD，AP两两垂直.以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.有，，，，，PB中点，设，.，，，.设平面PCD的法向量，由，得，取设平面的法向量，由，得，取.所以平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值为.令，，则，所以当即时，平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值取得最大值，此时平面AEF与平面PCD的夹角取得最小值.20.【小问1详解】补全2×2列联表如下表：航天达人非航天达人合计男20626女101424合计302050零假设：假设“航天达人”与性别无关，根据表中的数据计算得到，查表可知，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，因此“航天达人”与性别无关；【小问2详解】在“航天达人”中按性别分层抽样抽取，男航天达人有人，女航天达人有2人，X所有可能取值为：0，1，2，则，，，所以X的分布列如下：012X的数学期望为.21.【小问1详解】已知双曲线渐近线为，即.因为椭圆的长轴长，即，.所以双曲线的方程为：.椭圆的方程为：.【小问2详解】当直线、的斜率不存在时，不满足题意.故直线的方程设为：，直线过点，即.与双曲线方程联立，得.故，.设，，有，.设..化简得.代入韦达定理得：.将代入其中消去化简得：.由动直线、互不影响可知，要满足为定值，则为定值，为定值.因此要满足为定值，则有：①若，，计算得，.经检验满足，此时.②若，即，，有.无解.综上，当，.下面只需验证当时，是否为定值.设直线方程为：，直线过点，即.椭圆方程联立，得.故.设，，有，..化简得.代入韦达定理化简可得：.将代入其中可得：.所以当，，，.所以点坐标为.22.【小问1详解】解：若，即，可得，①若，则，即在单调递减；②若，令有，即在上单调递减，上单调递增，综上可得：当，在单调递减；当，在上单调递减，上单调递增.【小问2详解】解：由题意知是