专题13 几何中的折叠与旋转问题（原卷版）

专题13几何中的折叠与旋转问题目录一、热点题型归纳【题型一】平移变换问题【题型二】折叠问题问题【题型三】旋转变换问题二、最新模考题组练【题型一】平移变换问题【典例分析】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，且A(﹣2，0)，直线BC的解析式为y3．(1)求抛物线的解析式；(2)过点A作ADBC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、DC，求四边形BECD面积的最大值时相应点E的坐标；(3)将抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【提分秘籍】基本规律1.平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；2.图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；3.图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．4．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等。【变式演练】1．平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b满足，将线段AB平移得到CD，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，连AD交BC于点E，若点E在y轴正半轴上，求的值；（3）如图2，点F，G分别在CD，BD的延长线上，连结FG，∠BAC的角平分线与∠DFG的角平分线交于点H，求∠G与∠H之间的数量关系．2．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝4．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：(1)操作发现如图①，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连接DC，CF，FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，那么它的面积大小是否变化呢?如果不变化，请求出其面积．(2)猜想论证如图②，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．(3)拓展探究如图③，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求sin【题型二】折叠问题【典例分析】如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE．

(1)如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE=2时，则_______；(2)如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长；(3)如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长．【提分秘籍】基本规律轴对称变换的性质

①关于直线对称的两个图形是全等图形。

②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线。

③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。【变式演练】1．数学兴趣小组开展实践探究活动，将三角形ABC纸片沿某条直线折叠，使其中一个角的顶点落在一边上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．(1)如图1，若∠ACB＝90°，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AB上的点N重合，求BM的长(2)如图2，若∠ACB＝2∠A，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AC上的点N重合，①求AC的长；②若O是AC的中点，P为线段ON上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，与相交于点，则的取值范围为．2．如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线是经过点的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．(1)基础图形：如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，求的长度；(2)模型变式：如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，则的长度为______；(3)动态探究：如图3，点在边上运动过程中，点到直线的距离为．①如果直线始终垂直于，那么的值是否变化？若变化，求出的变化范围；若不变化，求出的值；②当时，请直接写出在直线的变化过程中，的最大值．【题型三】相似三角形的存在性问题【典例分析】如图1，在中，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，．(1)当时，求证：；(2)如图3，当时，延长交于点，求的度数；(3)在旋转过程中，探究的面积的是否存在最小值，若存在写出此时旋转角α的度数和面积最小值，若不存在，请说明理由．【提分秘籍】基本规律图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化。【变式演练】1．把两个等腰直角和按如图所示的位置摆放，，将绕点按逆时针方向旋转，如图，连接，，设旋转角为．(1)求证：．(2)如图3，若点在线段上，且，，求的长．(3)当旋转角时，的面积最大．2．如图，在四边形中，，，．将沿剪下来，以为旋转中心逆时针旋转，旋转过程中，、与所在的直线的交点分别为、．(1)求证：；(2)当旋转角为时，如图2所示，求重叠部分的面积；(3)在旋转过程中，若，如图3所示，求的长；(4)在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含的式子表示）．1．（2023·江苏南通·统考一模）如图，等边三角形中，是边上的一个动点（不与，点重合），连接，将绕点顺时针旋转至，过点作，交的延长线于点．(1)探究的形状；(2)求证：；(3)若延长交于点，，求的正切值．2．（2023·江苏扬州·模拟预测）已知和为等腰直角三角形，，，，将两三角形如图1所示放置，其中、、在同一直线上，．现将绕点顺时针旋转，旋转角度为．(1)如图2，当线段过点时，若，，则的度数为______；(2)若点在边的延长线上，连接，请在图3中补全图形，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若点为的中点，旋转至如图4所示位置，连接、交于点，交于点，且3．（2023·江苏盐城·统考一模）【问题思考】如图1，点是正方形内的一点，过点的直线，以为边向右侧作正方形，连接，直线与直线交于点，则线段与之间的关系为______．【问题类比】如图2，当点是正方形外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】如图3，点是边长为6的正方形所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点到边的最大距离为______（直接写出结果）．4．（2023·江苏无锡·模拟预测）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．【问题探究】探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．（1）如图1，直接写出的值；（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．【一般规律】如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．5．（2022·江苏连云港·统考一模）已知：抛物线经过，，，三点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点为直线上方抛物线上任意一点，连，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值；(3)如图2，是的正半轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与抛物线交于点，连结，将沿翻折，的对应点为．在图2中探究：是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．6．问题情境：如图1，P是外的一点，直线PO分别交于点A，B．(1)探究证明：如图2，在上任取一点C(不与点A