17.4 第2课时 一元二次方程的应用 （解析版）

17.4一元二次方程的应用第2课时一元二次方程的实际问题会分析实际问题中蕴含的数量关系，找出等量关系,列出一元二次方程解决实际问题，并根据具体问题的实际意义,取符合实际意义的解作答经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学建模作用体会数学来源于实践,反过来又作用于实践,增强应用数学的意识.知识点一列一元二次方程解实际问题的一般步骤1.列方程解实际问题的实质列方程解实际问题就是先把实际问题抽象为数学问题(即转化)然后通过解决数学问题来解决实际问题。列一元二次方程解实际问题的一般步骤审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的数量关系.设:是指设元,也就是设未知数,设元又分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一种方法.列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示这个等量关系，就得到含有未知数的等式，即方程.解:解方程,求出未知数的值.验:检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义.答:回答问题一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则.简记：审设列解验答。即学即练（2022秋·上海静安·八年级校考期中）某超市一月份的营业额为300万元，一月、二月、三月的总营业额1200万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程为（

）A．3001+x2=1200C．300+3001+x2=1200【答案】D【分析】根据增长率分别表示出二月、三月的营业额即可求解．【详解】解：由题意得：二月的营业额为：300三月的营业额为：300故一月、二月、三月的总营业额为：300+300故根据总营业额为1200万元，可列方程为：300故选：D【点睛】本题考查增长率问题．分别表示出二月、三月的营业额是解题关键．知识点二列一元二次方程解常见的实际问题常见题型列方程的理论依据行程问题路程=速度×时间平均增长率(降低率)问题为起始量,为终止量，为增长(或降低)的次数，平均增长率公式:(为平均增长率)平均降低率公式:(为平均降低率)传播问题传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设为传染源数，为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为销售利润问题利润=售价-进价;；售价=进价×(1+利润率);总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量几何图形问题利用几何图形的面积、周长公式存款利息问题本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期数数字问题两位整数＝十位数字×10＋个位数字;三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字工程问题一般情况把工作总量设为单位“1”当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数工作效率×工作时间＝工作总量动态几何问题运用几何知识以及行程公式，一般采用间接设元的方法即学即练（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（

）．

A．33-2xx=65 B．C．31-2xx=65 D．【答案】A【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板，那么平行于墙的一边长为32-2x+1米，而仓库的面积为65平方米，由此即可列出方程．【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，则平行于墙的一边长为32-2x+1米，依题意得32-2x+1x=65，即故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系．题型一传播问题例1（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向人发送短信．【答案】9【分析】设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，第一轮后共有1+x人收到短信，第二轮发送短信的过程中，又平均一个人向x个人发送短信，则第二轮后共有x1+x人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送共有90【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，则：x1+x整理得：x解得x=9或x=-10（舍去）故答案为：9．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．该类题解答的关键在于分析每一轮中发送的人数与接收的人数，并能结合题意，列出方程．举一反三1（2023·广东阳江·统考一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流．(1)每轮感染中平均一个人传染几人？(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？【答案】(1)人(2)不超过【分析】（1）设每轮感染中平均一个人传染人，根据题意列方程解方程即可；（2）根据（1）可知每轮感染中平均一个人传染人，进而得到三轮后患病总人数为即可解答．【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染人．根据题意得，解得，或，∵，∴，答：每轮感染中平均一个人传染人；（2）解：根据题意可得：第三轮的患病人数为，∵，∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过人，答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人；【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，读懂题意明确数量关系是解题的关键．举一反三2（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设有人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此列出方程即可．【详解】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：，故选：A．【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．题型二增长率问题例2（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：2561+x件；三月份的销售量为：2561+x1+x件，又知三月份的销售量为400（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，再利用“销量×每件商品的利润=4250”列出方程求解即可．【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：2561+x解得：x1=0.25，答：二、三这两个月的月平均增长率为25%．（2）解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：40-25-m400+5m解得：m1=5，答：当商品降价5元时，商品获利4250元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意、找到等量关系列出方程是解题的关键．举一反三1（2023·广东湛江·统考二模）某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，然后根据一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1200列方程即可．【详解】解：∵一月份的营业额为300万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为，∴三月份的营业额为，∴可列方程为．即．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．举一反三2（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）最近国家出台了一系列的政策，全国各地房市遇冷，以上海某地一处小区二手房为例，原价600万元，经过连续两次降价，现价为486万元，则平均降价率为．【答案】10%【分析】直接利用降低率公式列出方程进行计算即可求解．【详解】解：设平均降价率为x，由题意可得，600x1=0.1，0.1×100%=10%，故答案为：10%．【点睛】本题考查了增长率问题，牢记增长率（或降低率）公式a1±xn=b，其中a是原来的量，x是平均增长率（或平均降低率），n题型三营销问题例3（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？【答案】每包降价4元【分析】先设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元，然后根据：利润=（售价-进价）×数量，列出方程并解答即可．【详解】解：设当农产品礼包每包降价m元时，这种农产品在4月份可获利4620元，由题意得：40-25-m400+5m解得：m1=4，m2=-69答：当农产品礼包每包降价4元时，这种农产品在4月份可获利4620元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出相应的方程是解答本题的关键．举一反三1（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件．(1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？(2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？【答案】(1)把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元(2)将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元【分析】对于（1），设商品的售价定为x元，再表示出单间利润和销售量，然后根据单间利润×销售量=总利润列出方程，再求出解即可；对于（2），设这天的利润为y元，结合（1）列出函数关系式，再配方讨论极值即可．【详解】（1）设每件商品的售价定为x元，依题意，得(x-10)[200-10(x-12)]=1200，整理得：x2解得：x1=20，∴把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元；（2）设这天的利润为y元，则y=(x-10)[200-10(x-12)]=-10(x-21)∵-10＜∴当x=21时，y有最大值，最大值为1210，答：将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数最大值的问题等，根据等量关系列出关系式（方程）是解题的关键．举一反三2（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）现在全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．(1)求一台B型空气净化器的进价为多少元？(2)在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商场决定对B型空气净化器进行降价销售．经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天多卖出1台，如果每天商场销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商场应将B型空气净化器的售价定为多少元？【答案】(1)1200元(2)1600元【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润单件利润销量列出一元二次方程求解即可．【详解】（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为元，由题意得，，解得：，经检验是原方程的根，则，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为a元，根据题意得:，解得：，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．【点睛】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．题型四行程问题例4（2023秋·重庆开州·九年级统考期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值．【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米(2)的值为【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可；（2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可．【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得解得∴（米）所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米；（2）解：依题意，得整理得解得（舍），答：的值为．【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键．举一反三1（2023·浙江台州·统考一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）(1)当时，求关于t的函数关系式；(2)求图中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由见解析【分析】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案．【详解】（1）解：设关于t的函数关系式为，把点代入得，，解得，∴关于t的函数关系式为；（2）解：对于球来说，，小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为，由小明在4s时第一次追上球可得，，解得，即图中a的值为；（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为，，，则，，第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米，，第三次踢后，变化规律为，，，则，，第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米，，又开始下一个循环，故第四次踢球所需时间为，经过24米，故第五次踢球所需时间为，经过48米，故第六次踢球所需时间为，经过24米，故第七次踢球所需时间为，经过48米，∵，，∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，故答案为：7【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．举一反三2（2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．(1)求小明、小红的跑步速度；(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)；(2)【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解．【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为，依据题意列方程得，，，，经检验，是原式方程的解．．小红的速度为，小明的速度为．故答案为：；．（2）解：小明的速度为，小明从A地道B地需要的时间为：．小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，．设B地到C地的距离为，依据题意列方程得，，，，，或（舍去）．A地到C地所需要时间为：．故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．题型五工程问题例5某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米(2)18【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；（2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案．【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得，解得，米，所以A型设备每小时铺设的路面110米；（2）根据题意得：，解得，（舍去），答：m的值是18．【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．举一反三1（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）在今年3月5号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做3小时，九年级共青团员再单独做2小时，那么恰好能完成全部任务的25%；如果九年级共青团员先做4小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多2【答案】八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为24小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为16小时．【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为x小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为x(x+2)x-4小时，根据“八年级共青团员单独做3小时，九年级共青团员再单独做2小时，那么恰好能完成全部任务的25%”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成美化校园所用时间，再将其代入x(x+2)【详解】解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为x小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为x(x+2)x-4依题意得：3x(x+2)整理得：x2解得：x1经检验，x1=0是原方程的增根，舍去；x∴x(x+2)x-4∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为24小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为16小时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．举一反三2（2023春·河南新乡·九年级河南师大附中校联考期中）某市总预算亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资.2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每年都增加亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3:2.（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数.【答案】（1）36；（2）35亿元；（3）50%【分析】（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2，可得答案．（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36亿元”列方程组，解之求得x、b的值可得答案．（3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得．【详解】解：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54×=36（亿元）；（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据题意，得：，解得：，∴市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元；（3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，由题意，得：20（1﹣y）2=5，解得：y1=0.5，y2=1.5（舍）答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，找准等量关系，列出方程是关键.题型六数字问题例6（2023春·四川广安·九年级四川省武胜烈面中学校校考阶段练习）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为161，列出方程即可．【详解】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为，则最大数为，根据题意得出：，故选：B．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．举一反三1（2023秋·湖南岳阳·九年级统考期末）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为x-3，然后根据个位的平方恰好等于该数列出方程即可．【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为x-3，由题意得，故选：C．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．举一反三2已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是．【答案】84【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），∴x﹣4＝4，∴10x+（x﹣4）＝84．答：这个两位数为84．故答案为：84【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．题型七几何图形问题例7（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，某小区计划在一个长，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，竖直的与平行，水平的与平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为，设小路宽，若满足的方程为（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】设小路宽，则草坪的总长度为，总宽度为，根据题意得，进行计算即可得．【详解】解：设小路宽，则草坪的总长度为，总宽度为，根据题意得，，，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出方程．举一反三1（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．

(1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？(2)鸡舍面积能否达到？【答案】(1)矩形鸡舍的长为，宽为(2)不能，见解析【分析】（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的边为，矩形鸡舍的另一边长为，根据正方形面积的公式列式求出答案；（2）当，列出后进行整理得，最后根据判别式判断一元二次方程根的情况．【详解】（1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则矩形鸡舍的另一边长为．依题意，得，解得，．当时，（舍去），当时，．答：矩形鸡舍的长为，宽为；（2）解：当，则，整理得：，则，故所围成鸡舍面积不能为平方米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，用题目给的条件列出一元二次方程是解题的关键．举一反三2（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，某景区计划在一个长为，宽为40m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】设行车通道的宽度为，再根据停车区域面积之和为列出一元二次方程，然后求解即可．【详解】解：设行车通道的宽度为．根据题意，得．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．举一反三3（2022秋·上海静安·八年级校考期中）如图，在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中AB=CD=EF=GH=xm，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为

【答案】1040-【分析】题目中存在的等量关系为矩形花园的面积-小道的面积=864m【详解】根据题意，得S小道=2×26x+40x-2x根据S矩形花园1040--2故答案为：1040--2【点睛】本题主要考查实际问题与二元一次方程，能用含有未知数的代数式表示出等量关系是解题的关键．举一反三4（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）如图，小明家要建一个面积为150平方米的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边（门除外）用竹篱笆围成．这堵墙长18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门．已知围建养鸡场的竹篱笆总长为33米（没有剩余材料，接头忽略不计），那么小明家养鸡场的长和宽应分别为多少米？【答案】小明家养鸡场的长和宽应分别为15米，10米【分析】设垂直于墙的一边长为x米，结合题意可得到平行于墙的一边长为33-2x+2米，再通过面积150平方米列出方程，从而计算得到答案．【详解】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为33-2x+2米，由题意得x×∴2∴x1=当x=10时，33-2x+2=15当x=152时，33-2x+2=20＞∴这个养鸡场与墙垂直的一边应长10米．则33-2×10+2=15米∴小明家养鸡场的长和宽应分别为15米，10米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；求解的关键是熟练掌握一元二次方程的解法并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案．题型八动态几何图形问题例8（2023·湖南湘潭·湘潭江声实验学校校考三模）如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，另外一点也随之停止运动．

(1)几秒后，四边形的面积等于？(2)的面积能否等于？请说明理由．【答案】(1)1秒(2)不能，见解析【分析】（1）根据题意可得当运动时间为时，，，，根据题意列出方程，进行求解即可；（2）看的面积能否等于，只需要看方程是否有解即可．【详解】（1）解：，，当运动时间为时，，根据题意可得：，整理得：，解得：或，当时，点重合，不符合题意，舍去，∴经过1秒钟，四边形的面积等于；（2）解：的面积不能等于，理由如下：根据题意可得：，整理得：，，所列方程没有实数根，∴的面积不能等于．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用以及根的判别式，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．举一反三1如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，(1)的面积等于平方厘米？(2)五边形的面积最小？最小值是多少？【答案】(1)2秒或4秒(2)3秒时，五边形的面积最小，最小值是39平方厘米【分析】（1）设运动时间为，则，，再由面积公式建立方程求解即可；（2）由（1）可得：要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9，则此时五边形的面积最小，从而可得答案．【详解】（1）解：设运动时间为，则，，则，解得：或．∴经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．（2）由（1）可得：∴要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9，则此时五边形的面积最小，最小值为．【点睛】本题主要考查动点问题，一元二次方程的应用，配方法的应用，熟练的解一元二次方程是解本题的关键．举一反三2（2023春·云南昆明·九年级云南省昆明市第十中学校联考开学考试）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．(1)运动几秒时四边形的面积为？(2)的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．【答案】(1)2秒(2)不能，理由见解析【分析】（1）设运动时间为t秒，表示出和，利用的面积减去，令其结果为16，得出方程，解之即可；（2）根据三角形的面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】（1）解：设运动时间为t秒，由题意可得：，，∴，∴四边形的面积为，则，解得：或(舍)，∴运动2秒时，四边形的面积为；（2）由题意可得：，整理得：，∵，∴不存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得出等量关系是解决问题的关键．题型九图表信息问题例9某旅行社一则旅游消息如下：旅游人数收费标准不超过人人均收费元超过人每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人．(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？【答案】(1)15；(2)乙公司人．【分析】（1）设甲公司员工有x人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超过10人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案；（2）设乙公司员工人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10人，再根据每增加一人，人均收费减少60元，列出方程，求出的值，再根据人均收费不低于1500元，即可得出乙公司去的人数．【详解】（1）解：设甲公司有人，，，（人）．故答案为：（2）设乙公司人，，，，若，每人费用：，不符舍去，若，每人费用：，符合，答：乙公司人．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键．举一反三1某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元．（1）填表（结果需化简）

时间

第一周

第二周

清仓时单价（元）

80

40销售量（件）

200（2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？【答案】（1）填表见解析；（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元．【分析】（1）第二周的单价=第一周的单价-降低的价格，销售量=200+10×降低的单价；清仓时的销售量为：800-第一周的销售量-第二周的销售量；（2）等量关系为：总售价-总进价=9000．把相关数值代入计算即可．【详解】解：（1）填表（结果需化简）

时间

第一周

第二周

清仓时单价（元）

80

80-x

40销售量（件）

200

200+10x

400-10x故答案为：80-x，200+10x，400-10x；（2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000，x2-20x+100=0，解得：x1=x2=10，当x=10时，80-x=70．答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元．【点睛】本题主要考查了列代数式以及一元二次方程的应用，找出相等关系列一元二次方程求解是解题的关键．举一反三2（2023·湖南张家界·统考一模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．（1）请证明发现的规律；（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；

（3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）．【答案】（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确．【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明；（2）、设最大数为x，列出方程组解答即可；（3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定．【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7），∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7），=a2﹣1﹣（a2﹣49），=48．（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14），依题意，得：x（x﹣14）＝435，解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．答：设这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确．设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确．【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答．单选题1.如图，长方形铁皮的长为，宽为，现在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则x的值为（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或6【答案】A【分析】根据各边之间的关系，可得出做成无盖的长方体盒子的底面是长为，宽为的长方形，结合长方体盒子的底面积为，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：∵长方形铁皮的长为，宽为，且在它的四个角上剪去边长为的正方形，∴做成无盖的长方体盒子的底面是长为长为，宽为的长方形．根据题意得：，整理得：，解得：（不符合题意，舍去），∴x的值为2．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2.（2023秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】先将图形利用平移进行转化，可得空白长方形的面积=长×宽，列方程即可．【详解】利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米．

根据题意可得：．故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．3．某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x，则x满足的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格元，由此等量关系列出方程即可．【详解】解：∵两次降价的百分率都是x，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．二、解答题4.（2023春·广东广州·九年级校考开学考试）由陈冬、刘洋和蔡旭哲组成的神舟十四号航天员乘组，已于2022年12月4日由东风着陆场胜利返回．此次返回意义重大、影响深远．2022年是中国完成空间站建造的决战决胜之年，也是中国载人航天工程立项实施30周年。飞天逐梦，不仅让飞行器深入太空，更让科学精神扎根广大青少年心中．神州十二号载人飞船脱离核心舱后绕地球飞行大约20圈后用时28.3个小时后返回东风着陆场，神州十三号绕地球飞行圈数逐渐减少而神州十四号载人飞船脱离空间站后绕地球飞行约5圈后用时9个多小时胜利返回．祖国的科技发展日新月异，作为未来接班人的同学们，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．请利用上面数据，编制一道一元二次方程的应用题并解答”．【答案】见解析【分析】根据题意编写合情合理的应用题并进行解答即可．【详解】飞天逐梦，不仅让飞行器深入太空，更让科学精神扎根广大青少年心中．神州十二号载人飞船脱离核心舱后绕地球飞行大约20圈返回东风着陆场，，再次发射载人飞船绕地球飞行圈数逐渐减少，神州十四号载人飞船脱离空间站后绕地球飞行约5圈后胜利返回．求每次发射载人飞船绕地球飞行圈数的下降率．解：设每次发射载人飞船绕地球飞行圈数的下降率为，则，解得：(舍去)答：每次发射载人飞船绕地球飞行圈数的下降率为．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，能提取相关数据是解题的关键．5.（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？【答案】(1)(2)2元【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程求解即可；（2）设每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】（1）解：设每次降价的百分率为，由题意，得，（不符合题意，舍去）．答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，两次下降的百分率为；（2）解：设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由题意，得，解得：．答：要使商场每天要想获得512元的利润，每件应降价2元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等量关系，列出方程，解答即可．6．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆市天星桥中学校考阶段练习）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值．【答案】（1）1600；（2）20．【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；（2）根据题意得出：进而求出即可．【详解】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：，解得：，答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；（2）由题意可得出：，解得：，（不合题意舍去），答：m的值为20．7．（2023秋·内蒙古包头·九年级统考期末）中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空______，______（用含t的代数式表示）；(2)当t为何值时，的长度等于？(3)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或时，的长度等于(3)存在，【分析】（1）根据路程速度时间即可得出，然后用就可得出的值；（2）运用勾股定理可得：，代入（1）中数据计算即可；（3）根据三角形面积计算公式可得：，代入数据计算即可．【详解】（1）解：由题意得，，，，故答案为：；（2），∴是直角三角形，根据勾股定理得：，即：，解得：，，或时，的长度等于；（3）由题意得：，即，解得：，，当点Q运动到点C时，两点停止运动，即，解得，时，的面积等于．【点睛】本题考查了三角形的动点问题，考查了列代数式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，三角形面积公式的运用，在解答时要注意所求的实际问题有意义．8．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）．(1)补全下列表格：检测人数（人）人均检测时间（秒）(2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？【答案】(1)40，，29，26(2)他今日检测总人数为人【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格；（2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒，由题意得：、，补全表格如下：检测人数人人均检测时间秒（2）解：由题意得，，解得，，当时，检测总人数为人，每位大白的检测人数不超过人，不符合题意，舍去，当时，检测总人数为人，答：他今日检测总人数为人．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键．9．（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．根据以上信息，解答下列问题：(1)小明每分钟跑多少米？(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量1