九年级上册数学《二次函数》单元综合测试题附答案

九年级上册数学《二次函数》单元测试卷【考试时间：90分钟分数：120分】一、选择题（共10小题,每小题3分,共30分）1.已知,点,,都在函数的图象上,则（）A. B. C. D.2.已知二次函数的图象如图所示,给出以下结论,其中正确的是（）A.a>0 B.b<0 C.c<0 D.a-b+c<03.已知函数与轴交与,两点,与轴交与点,则能使是直角三角形的抛物线条数是（）A.0 B.1 C.2 D.34.二次函数,,是常数,且中的与的部分对应值如下表所示,则下列结论中,正确的个数有（）；当时,；当时,的值随值的增大而减小；方程有两个不相等的实数根．A4个 B.3个 C.2个 D.1个5.已知是抛物线上共圆的四点,它们的横坐标分别为,又是方程的根,则二次函数的最小值为（）A.-1 B.-2 C.-3 D.-46.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有张床位的旅馆,当每张床位每天收费元时,床位可全部租出．若每张床位每天收费提高元,则相应的减少了张床位租出．如果每张床位每天以元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是（）A.14元 B.15元 C.16元 D.18元7.已知二次函数的图象如图所示,则的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知二次函数的图象经过、和三点,则该函数的解析式是（）A. B.C. D.9.在下列关系式中,是的二次函数的关系式是（）A. B.C. D.10.已知点,,在函数的图象上,则、、的大小关系是（）A. B.C. D.二、填空题（共10小题,每小题3分,共30分）11.当时,函数的最大值是________．12.抛物线与轴只有一个交点,则的值为________．13.已知二次函数图象过点,且最大值为,则二次函数解析式为________．14.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a＞0）的部分图象如图所示,直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3,则它的另一个根x2的取值范围是________．15.如图,已知二次函数的图象如图所示,给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论有________．16.若抛物线的顶点与原点的距离为,则的值为________．17.如图,有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中,则抛物线对应的函数关系式为______．18.奥运会男子标枪决赛,特立尼达和多巴哥选手沃尔科特以米的成绩获得冠军．经他的教练研究发现,他掷出的标枪运动的水平路程（米）与空中飞行时间（秒）的关系式为,则当标枪运动的水平路程是米时,该标枪空中飞行的时间为________．19.已知一个二次函数具有性质图象不经过三、四象限；点在函数图象上；当时,函数值随自变量的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：________．20.如图,是自动喷灌设备的水管,点在地面,点高出地面米．在处有一自动旋转的喷水头,在每一瞬间,喷出的水流呈抛物线状,喷头与水流最高点的连线与水平线成角,水流的最高点与喷头高出米,在如图的坐标系中,水流的落地点到点的距离是________米．三、解答题（共6小题,每小题10分,共60分）

21.已知点在抛物线上．若,,求的值；若此抛物线经过点,且二次函数的最小值是,请画出点的纵坐标随横坐标变化的图象,并说明理由．22.如图,一小球从斜坡点抛出,球的抛出路线可以用二次函数刻画,斜坡可以用一次函数刻画,小球的落点是．求点的坐标；连结抛物线的最高点与点、得,求的面积．23.如图,矩形的边,,在上取一点,在边上取一点,使成直角,设

,

,试以为自变量,写出与的函数关系式．并求为何值时,有最大值或最小值？24.如图,抛物线与坐标轴相交于、、三点,是线段上一动点（端点除外）,过作,交于点,连接．直接写出、、的坐标；求抛物线的对称轴和顶点坐标；求面积的最大值,并判断当的面积取最大值时,以、为邻边的平行四边形是否为菱形．25.空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米．（1）已知a=20,矩形菜园一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1,求所利用旧墙AD的长；（2）已知0＜α＜50,且空地足够大,如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大,并求面积的最大值．26.鹏鹏童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销,该店决定降价销售,经市场调查反应：每降价1元,每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润是多少？（3）①当每件童装售价定为多少元时,该店一星期可获得3910元的利润？②若该店每星期想要获得不低于3910元的利润,则每星期至少要销售该款童装多少件？

答案与解析一、选择题（共10小题,每小题3分,共30分）1.已知,点,,都在函数的图象上,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由a＜﹣2即可得出a﹣1＜a＜a+1＜﹣1,再根据在函数y=x2的图象上,当x＜0时,y随着x的增大而减小,由此即可得出y1＜y2＜y3．【详解】解：∵a＜﹣2,∴a﹣1＜a＜a+1＜﹣1．∵在函数y=x2的图象上,当x＜0时,y随着x的增大而减小,∴y1＜y2＜y3．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征,根据a的取值范围找出a﹣1＜a＜a+1＜﹣1是解题的关键．2.已知二次函数的图象如图所示,给出以下结论,其中正确的是（）A.a>0 B.b<0 C.c<0 D.a-b+c<0【答案】D【解析】【分析】由抛物线的开口方向可确定a的符号,由抛物线的对称轴相对于y轴的位置可得a与b之间的符号关系,由抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号,由x=﹣1时y的符号可确定a﹣b+c的符号．【详解】解：由抛物线的开口向下可得a＜0,故A错误；由抛物线的对称轴在y轴的右侧可得：﹣＞0．∵a＜0,∴b＞0,故B错误；由抛物线与y轴交点在y轴的正半轴可得c＞0,故C错误；由图可知当x=﹣1时,y=a﹣b+c＜0,故D正确．故选D．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系,其中a决定于抛物线的开口方向,b决定于抛物线的开口方向及抛物线的对称轴相对于y轴的位置,c决定于抛物线与y轴的交点位置,a﹣b+c的符号取决于x=﹣1时y的符号．3.已知函数与轴交与,两点,与轴交与点,则能使是直角三角形的抛物线条数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】首先求出抛物线与坐标轴的交点坐标,然后利用勾股定理求出AB和BC的长,再次根据△ABC是直角三角形,利用勾股定理列出n的一元二次方程,求出n的值即可．【详解】解：令y=（x﹣n）（x﹣3）=0,解得：x=n或x=3．假设3＞n,A（3,0）,B（n,0）,令x=0,y=3n,即C点坐标为（0,3n）,根据图形知：CB2=9+9n2,AC2=n2+9n2,AB2=（3﹣n）2,根据题意知△ABC是直角三角形,即BC2+AC2=AB2,整理得：9+9n2+n2+9n2=9﹣6n+n2,18n2+6n=0,解得：n=0或n=﹣．当n=0时,这样的抛物线不满足题意,即n=﹣,所以能使△ABC是直角三角形的抛物线条数是1条．故选B．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点,解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识,此题是一道比较不错的试题．4.二次函数,,是常数,且中的与的部分对应值如下表所示,则下列结论中,正确的个数有（）；当时,；当时,的值随值的增大而减小；方程有两个不相等的实数根．A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】阅读题目,先利用待定系数法求得该函数解析式,根据a的值即可判断(1);接下来根据函数解析式可得函数对称轴,根据二次函数的性质判断(2)(3);对于(4),由y＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,且a≠0)的图象与x轴有两个交点,顶点坐标的纵坐标＞5,可得方程ax2＋bx＋c＝5根的情况,据此判断即可,至此问题得解.【详解】由图表中数据可得出：x＝－1时,y＝－1,x＝0时,y＝3,x＝1时,y＝5,则有,解得,则y＝－x2＋3x＋3＝－（x－）2＋,因为a＝－1＜0,所以（1）正确,因为该函数的对称轴x＝,所以当x＜0时,y＜3,故（2）正确,根据二次函数的性质可得到x＞时,y的值随x值的增大而减小,x＜时,y的值随x的值的增大而增大,故（3）错误,因为y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点,顶点坐标的纵坐标＞5,所以方程ax2＋bx＋c＝5,有两个不相等的实数根,故（4）正确,故答案选B.【点睛】本题主要考查了二次函数的知识,解答本题的要点在于掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系.5.已知是抛物线上共圆的四点,它们的横坐标分别为,又是方程的根,则二次函数的最小值为（）A.-1 B.-2 C.-3 D.-4【答案】C【解析】【分析】xi（i=1,2,3,4）是方程（x2﹣4x+m）（x2﹣4x+n）=0的根,xi（i=1,2,3,4）是抛物线y=x2+bx+1上共圆的四点,根据对称性得该抛物线的对称轴为x=2．从而求出b的值,再求解．【详解】解：抛物线与圆的四个交点,上下两组点的连线的中点位于抛物线的对称轴上．所以由（x2﹣4x+m）（x2﹣4x+n）=0可知,该抛物线的对称轴为x=2．则b=﹣4．所以最小值为=﹣3．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及最值问题,解决本题的关键根据抛物线的对称轴得到b的值．6.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有张床位的旅馆,当每张床位每天收费元时,床位可全部租出．若每张床位每天收费提高元,则相应的减少了张床位租出．如果每张床位每天以元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是（）A.14元 B.15元 C.16元 D.18元【答案】C【解析】【分析】设每张床位提高x个单位,每天收入为y元,根据等量关系“每天收入=每张床的费用×每天出租的床位”可求出y与x之间的函数关系式,运用公式求最值即可．【详解】设每张床位提高x个2元,每天收入为y元．根据题意得：y=（10+2x）（100﹣10x）=﹣20x2+100x+1000．当x=﹣=2.5时,可使y有最大值．又x为整数,则x=2时,y=1120；x=3时,y=1120；则为使租出的床位少且租金高,每张床收费=10+3×2=16（元）．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,借助二次函数解决实际问题,利用二次函数对称性得出是解题的关键．7.已知二次函数的图象如图所示,则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据开口判断a的符号,根据y轴的交点判断c的符号,根据对称轴b用a表示出的代数式,进而根据当x=2时,得出4a+2b+c=0,用a表示c＞﹣1得出答案即可．【详解】解：抛物线开口向上,a＞0,图象过点（2,4）,4a+2b+c=4,则c=4﹣4a﹣2b,对称轴x=﹣=﹣1,b=2a,图象与y轴的交点﹣1＜c＜0,因此﹣1＜4﹣4a﹣4a＜0,实数a的取值范围是＜a＜．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系,对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点,是解决本题的关键．8.已知二次函数的图象经过、和三点,则该函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标,可直接用待定系数法求解．【详解】设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把（1,0）、（2,0）和（0,2）代入得：,解得：；所以该函数的解析式是y=x2﹣3x+2．故选D．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．一般步骤是先设y=ax2+bx+c,再把对应的三个点的坐标代入解出a、b、c的值即可得到解析式．9.在下列关系式中,是的二次函数的关系式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可,即一般地,形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数,叫做二次函数．【详解】解：A．2xy+x2=1当x≠0时,可化为y=的形式,不符合二次函数的一般形式,故本选项错误；B．y2﹣ax+2=0可化为y2=ax﹣2不符合二次函数的一般形式,故本选项错误；C．y+x2﹣2=0可化为y=x2+2,符合二次函数的一般形式,故本选项正确；D．x2﹣y2+4=0可化为y2=x2+4的形式,不符合二次函数的一般形式,故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查的是二此函数的一般形式,即一般地,形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数,叫做二次函数．其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）也叫做二次函数的一般形式．10.已知点,,在函数的图象上,则、、的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征,将A、B、C三点分别代入函数解析式,分别求得y1、y2、y3的值,然后根据不等式的基本性质来比较它们的大小．【详解】解：∵点A（1,y1）,B（﹣2,y2）,C（﹣3,y3）在函数y=x2﹣图象上,∴点A（1,y1）,B（﹣,y2）,C（﹣2,y3）都满足函数解析式y=x2﹣,∴y1=0,y2=×2﹣=,y3=×4﹣=,∴y1＜y2＜y3．故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点的坐标,都满足该函数图象的关系式．二、填空题（共10小题,每小题3分,共30分）11.当时,函数的最大值是________．【答案】48【解析】【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式,再根据二次函数的增减性解答．【详解】解：y=﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50．∵a=﹣2＜0,∴x＜5时,y随x的增大而增大,x＞5时,y随x的增大而减小．∵1≤x≤4,∴当x=4时,y取最大值,y最大=﹣2×42+20×4=48．故答案为48．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题,主要利用了二次函数的增减性,要注意自变量的取值范围．12.抛物线与轴只有一个交点,则的值为________．【答案】-7或5【解析】【分析】利用抛物线与x轴只有一个交点,令y=x2﹣（m+1）x+9=0,根据b2﹣4ac=0进而求出m的值即可．【详解】解：∵抛物线y=x2﹣（m+1）x+9与x轴只有一个交点,∴令y=x2﹣（m+1）x+9=0,∴b2﹣4ac=（m+1）2﹣4×9=0,解得：m=﹣7或5．故答案为﹣7或5．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识,正确把握抛物线与x轴交点个数确定方法是解题的关键,此题难度不大．13.已知二次函数图象过点,且最大值为,则二次函数的解析式为________．【答案】【解析】【分析】已知了A（2,1）,B（4,1）的纵坐标相同,因而这两点一定关于对称轴对称,则对称轴是x=3,最大值为2,则抛物线的顶点坐标是（3,2）,因而可以设解析式是y=a（x﹣3）2+2,又由于函数经过点（2,1）,代入就可以求出解析式．【详解】解：对称轴是x=3,顶点是（3,2）,设解析式是y=a（x﹣3）2+2,根据题意得：a+2=1,解得：a=﹣1,∴解析式是：y=﹣（x﹣3）2+2,即y=﹣x2+6x﹣7．故答案为y=﹣x2+6x﹣7．【点睛】函数求解析式的方法是待定系数法,当已知函数的顶点时,利用顶点式比较简单,当已知函数经过三点,已知函数经过的三点的坐标时,利用一般式比较简单．14.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a＞0）的部分图象如图所示,直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3,则它的另一个根x2的取值范围是________．【答案】﹣1＜x2＜0【解析】【详解】由图象可知x=2时,y＜0；x=3时,y＞0；由于直线x=1是它的对称轴,则由二次函数图象的对称性可知：x=0时,y＜0；x=﹣1时,y＞0；所以另一个根x2的取值范围为﹣1＜x2＜0．15.如图,已知二次函数的图象如图所示,给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论有________．【答案】①③④【解析】【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点,∴c=0,∴abc=0,故①正确；∵x=1时,y＜0,∴a+b+c＜0,故②不正确；∵抛物线开口向下,∴a＜0,∵抛物线的对称轴是x=-,∴-,∴b=3a,又∵a＜0,b＜0,∴a＞b,故③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点,∴△＞0,∴b2-4ac＞0,4ac-b2＜0,故④正确；综上,可得正确结论有3个：①③④．考点：二次函数图象与系数的关系．16.若抛物线的顶点与原点的距离为,则的值为________．【答案】或【解析】【分析】先用c表示出抛物线的顶点坐标,再根据勾股定理求出c的值即可．【详解】解：∵二次函数y=x2﹣6x+c的图象的顶点坐标为（3,c﹣9）,∴32+（c﹣9）2=52,解得：c=13或c=5．故答案为13或5．【点睛】本题考查的是二次函数的性质,根据题意用c表示出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．17.如图,有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中,则抛物线对应的函数关系式为______．【答案】【解析】【分析】根据题意,抛物线的顶点坐标是,并且过,利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求它的表达式则可．【详解】解：设,因为抛物线过,所以代入得：,解得,故此抛物线的函数关系式为：．故答案为．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法以及二次函数的应用,根据已知得出图象上点的坐标是解题关键．18.奥运会男子标枪决赛,特立尼达和多巴哥选手沃尔科特以米的成绩获得冠军．经他的教练研究发现,他掷出的标枪运动的水平路程（米）与空中飞行时间（秒）的关系式为,则当标枪运动的水平路程是米时,该标枪空中飞行的时间为________．【答案】秒【解析】【分析】把s=88代入s=5t2+2t得出方程88=5t2+2t,求出方程的解即可．【详解】解：把s=88代入s=5t2+2t得：88=5t2+2t,5t2+2t﹣88=0,（5t+22）（t﹣4）=0,t1=﹣4.4,t2=4．∵t表示飞机在空中飞行时间,∴t=﹣4.4（舍去）．故答案为4秒．【点睛】本题考查了二次函数的应用和解一元二次方程,关键是根据题意得出关于t的方程,用了转化思想．19.已知一个二次函数具有性质图象不经过三、四象限；点在函数图象上；当时,函数值随自变量的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：________．【答案】答案不唯一【解析】【分析】图象不经过三、四象限则函数的开口一定向上,并且顶点一定在x轴或x轴上方；当x＞0时,函数值y随自变量x的增大而增大则函数的对称轴一定是y轴或在y轴的左侧,因而可以写出一个对称轴是y轴,顶点是原点的二次函数．【详解】解：依题意设解析式是y=ax2．把（2,1）代入就得到a=．故解析式是y=x2．故答案为答案不唯一．【点睛】根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点,是解决本题的关键．20.如图,是自动喷灌设备的水管,点在地面,点高出地面米．在处有一自动旋转的喷水头,在每一瞬间,喷出的水流呈抛物线状,喷头与水流最高点的连线与水平线成角,水流的最高点与喷头高出米,在如图的坐标系中,水流的落地点到点的距离是________米．【答案】【解析】【分析】根据所建坐标系,易知B点坐标和顶点C的坐标,设抛物线解析式为顶点式,可求表达式,求AD长就是求y=0是x的值．【详解】如图,建立直角坐标系,过C点作CE⊥y轴于E,过C点作CF⊥x轴于F,

∴B（0,1.5）,

∴∠CBE=45°,

∴EC=EB=2米,

∵CF=AB+BE=2+1.5=3.5,

∴C（2,3.5）

设抛物线解析式为：y=a（x-2）2+3.5,

又∵抛物线过点B,

∴1.5=a（0-2）2+3.5

∴a=-,

∴y=-（x-2）2+3.5=-x2+2x+,

∴所求抛物线解析式为：y=-x2+2x+,

∵抛物线与x轴相交时,y=0,

∴,

∴x1=,x2=（舍去）

∴D（,0）

∴水流落点D到A点的距离为：米．故答案为【点睛】此题主要考查了二次函数的应用,根据所建坐标系的特点设合适的函数表达式形式进而求出二次函数解析式是解决问题的关键．三、解答题（共6小题,每小题10分,共60分）

21.已知点在抛物线上．若,,求的值；若此抛物线经过点,且二次函数的最小值是,请画出点的纵坐标随横坐标变化的图象,并说明理由．【答案】（1）5；（2）见解析.【解析】【分析】（1）代入b=1,c=3,以及A点坐标即可求得n的值；（2）根据题意求得抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4,从而求得点P（x﹣1,x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′2﹣4,然后利用5点式画出函数的图象即可．【详解】解：（1）∵b=1,c=3,A（﹣2,n）在抛物线y=x2+bx+c上,∴n=4+（﹣2）×1+3=5．（2）∵此抛物线经过点A（﹣2,n）,B（4,n）,∴抛物线的对称轴x==1．∵二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4,∴抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4,令x﹣1=x′,∴点P（x﹣1,x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′2﹣4,点P（x﹣1,x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的如图：【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值等,根据题意求得抛物线的解析式是解题的关键．22.如图,一小球从斜坡点抛出,球的抛出路线可以用二次函数刻画,斜坡可以用一次函数刻画,小球的落点是．求点的坐标；连结抛物线的最高点与点、得,求的面积．【答案】（1）点的坐标为；.【解析】【分析】（1）由题意可知点A是一次函数y=x与二次函数y=﹣x2+4x的交点,从而可以解答本题；（2）根据题意可以求得点P的坐标,从而可以求得△POA的面积．【详解】解：（1）,解得：,∴点A的坐标为（）；（2）∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4,∴点P的坐标为（2,4）,作PC⊥x轴于点C交OA于点B,将x=2代入y=x,得y==1,∴点B的坐标为（2,1）,∴PB=4﹣1=3,∴S△POA=S△POB+S△PAB==．【点睛】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件．23.如图,矩形的边,,在上取一点,在边上取一点,使成直角,设

,

,试以为自变量,写出与的函数关系式．并求为何值时,有最大值或最小值？【答案】,当时,有最大值．【解析】分析：根据相似三角形的判定定理AA推知△ABP∽△PCQ,然后利用相似三角形的对应边成比例知=,即=,由此可以求得y与x的函数关系式y=﹣（x﹣4）2+,根据此函数式来求y的最值．详解：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°；又∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP,∠B=∠C=90°,∴△ABP∽△PCQ,∴=,即=,∴y=﹣x2+x,即y=﹣（x﹣4）2+,∴当x=4时,y有最大值．点睛：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法．此题选择了配方法．24.如图,抛物线与坐标轴相交于、、三点,是线段上一动点（端点除外）,过作,交于点,连接．直接写出、、的坐标；求抛物线的对称轴和顶点坐标；求面积的最大值,并判断当的面积取最大值时,以、为邻边的平行四边形是否为菱形．【答案】（1）、、．对称轴是直线,顶点坐标是．（3）以、为邻边的平行四边形不是菱形．【解析】【分析】（1）设y=0,解一元二次方程即可求出A和B的坐标,设x=0,则可求出C的坐标．（2）抛物线：,所以抛物线的对称轴是直线x=1,顶点坐标是（1,﹣）．（3）设P（x,0）（﹣2＜x＜4）,由PD∥AC,可得到关于PD的比例式,由此得到PD和x的关系,再求出C到PD的距离（即P到AC的距离）,利用三角形的面积公式可得到S和x的函数关系,利用函数的性质即可求出三角形面积的最大值,进而得到x的值,所以PD可求,而PA≠PD,所以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．【详解】解：（1）A（4,0）、B（﹣2,0）、C（0,﹣4）．（2）抛物线：,∴抛物线的对称轴是直线x=1,顶点坐标是（1,﹣）．（3）设P（x,0）（﹣2＜x＜4）．∵PD∥AC,∴,解得：．∵C到PD的距离（即P到AC的距离）：,∴△PCD的面积,∴,∴△PCD面积的最大值为3,当△PCD的面积取最大值时,x=1,PA=4﹣x=3,,因为PA≠PD,所以以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．【点睛】本题考查了二次函数和坐标轴的交点问题、平行线分线段成比例定理、特殊角的锐角三角形函数值、二次函数的最值问题以及菱形的判定,题目的综合性较强,难度中等．25.空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米．（1）已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1,求所利用旧墙AD的长；（2）已知0＜α＜50,且空地足够大,如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大,并求面积的最大值．【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析.【解析】【分析】（1）按题意设出AD,表示AB构成方程；（2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系．【详解】（1）设AD=x米,则AB=米依题意得,＝450解得x1=10,x2=90∵a=20,且x≤a∴x=90舍去∴利用旧墙AD的长为10米．（2）设AD=x