《电磁场与电磁波》笔记和课后习题(含考研真题)详解

第1章 矢量分析复习笔记一、标量场和矢量场的场为标量场，如温度场，密度场等。用一个标量函数来表示该场为量所确定的场为矢量场，如力场、电场等。用一个矢量函数来表示该场为二、标量场的方向导数与梯度在直角坐标系中方向导数的计算公式为式中，是方向l的方向余弦。特点：方向导数既与所研究的点有关，也与方向有关。标量场的梯度 是一个矢量，在直角坐标系中，梯度的表达式为在柱坐标系和球坐标系中，梯度的表达式为标量场的梯度意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向。梯度运算的基本公式：三、矢量场的散度与旋度散度矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。矢量场的散度是个标量，在直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系中的计算式分别为散度定理（高斯定理）F的散度在体积V上的体积分，等于矢量场F在限定该体积的闭合面S上的面分。旋度旋涡源密度矢量。矢量场的旋度是个矢量，在直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系中分别表示为斯托克斯定理F的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲线C上的线积分。四、无旋场与无散场仅有散度源而无旋度源的矢量场为无旋场，如静电场，梯度矢量的重要性质：它的旋度恒等于零，即。仅有旋度源而无散度源的矢量场为无散场，如恒定磁场，旋度矢量的重要性质：它的散度恒等于零，即。五、格林定理格林第一恒等式格林第二恒等式格林定理的应用：利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。即可利用格林定理求解另一种场的分布。六、亥姆霍兹定理在有限区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件唯一地确定，且可表示为：课后习题详解（一）思考题如果A·B＝A·C，是否意味着B＝C？为什么？答：并不意味着B＝C。因为只要则A·B＝A·C。此时的B和C并不是唯一的。所以A·B＝A·C，并不意味着B＝C。如果A×B＝A×C是否意味着B＝C为什么？答：并不意味着B＝C。因为 分别为满足右手螺法则的单位矢量。只要B，A，C在同一平面上，则 且 则A×B＝A×C，所以此时的B和C也不唯一确定。两个矢量的点积能是负的吗？如果是，必须是什么情况？答：能是负的。因为 当时， 则A·B＜0。什么是单位矢量？什么是常矢量？单位矢量是否为常矢量？答：模等于1的矢量叫做单位矢量。常矢量是指大小和方向都不变的矢量。单位矢量不一定都是常矢量。在圆柱坐标系中，矢量 其中a、b、c为常数，则A是常矢量吗？为什么答：A是常矢量。在球坐标系中，矢量 其中a为常数，则A能是常矢量吗？为什么答：A是常矢量。∴A为常矢量。什么是矢量场的通量？通量的值为正、负或0答：矢量场F穿出闭合曲面S的通量为：当时，表示穿出闭合曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S内必有发出矢量线的源，称为正通量源。当时，表示穿出闭合曲面S的通量少于进入的通量，此时闭合曲面S内必有汇矢量线的源，称为负通量源。当时，表示穿出闭合曲面S的通量等于进入的通量，此时闭合曲面内正通量源负通量源的代数和为0，或闭合面内无通量源。答：矢量分析中的一个重要定理：称为散度（高斯）定理。意义：矢量场F的散度▽·F在体积V上的体积分等于矢量场F在限定该体积的闭合面S上的面积分，是矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。什么是矢量场的环流？环流的值为正、负或0分别表示什么意义？矢量场F沿场中的一条闭合回路C的曲线积分称为矢量场F沿闭合路径C的环流。表示场中有产生该矢量场的源，常称为旋涡源。表示场中没有产生该矢量场的源。什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？斯托克斯定理能用于闭合曲面吗？答：在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲线C为周界的曲面S，存在如下重要关系式：称为斯托克斯定理。意义：矢量场F的旋度▽×F在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲线C上的线积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲线积分之间的一个变换关系。能用于闭合曲面。如果矢量场F能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性？答：▽·F＝0，即F为无散场。如果矢量场F答：▽×F＝0，即F为无旋场。答：不对。电力线可弯，但无旋。无旋场与无散场的区别是什么？答：无旋场F的旋度处处为0，即 它是由散度源所产生的，它总可以表示为某一量场的梯度，即▽×（▽u）＝0。无散场F的散度处处为0，即▽·F≡0,它是由旋涡源所产生的，它总可以表示为某一矢量场的旋涡，即▽·（▽A）＝0。（二）习题1.1给定三个矢量A、B和C如下：求：（1）eA；（2）|A－B|；（3）A·B；（4）θAB；（5）A在B上的分量；（6）A×C；（7）A·（B×C）和（A×B）·C；（8）（A×B）×C和A×（B×C）。解：（1）,（2）,（3）由，得在上的分量由矢量的叉积公式知由矢量的叉积公式知,又因为可得由矢量的叉积公式知于是由矢量三重积的运算性质，得1.2三角形的三个顶点为P1（0，1，－2）、P2（4，1，－3）和P3（6，2，5）。判断△P1P2P3是否为一直角三角形；求三角形的面积。解：（1）由题意可知，三角形三个顶点的位置矢量分别为则可以得到由于，即故为直角三角形。（2）三角形面积求点P'（－3，1，4）到点P（2，－2，3）的距离矢量R及R解：由题意可知，则R与x，y，z轴的夹角分别为A＝ex2＋ey3－ez4和B＝ex4－ey5＋ez6，求它们之间的夹角和A在B上的分量。解：由题意可知，则有故和之间的夹角为：，A在B上的分量：。A＝ex2＋ey3－ez4和B＝－ex6－ey4＋ez，求A×B在C＝ex－ey＋ez上的分量。解：由题意可知，则A×B在C＝ex－ey＋ez上的分量为：A·B＝A·C和A×B＝A×C，则B＝C。证明：由，则有，用矢量三重积的运算性质展开得到又，于是有即得。量。设A为一已知矢量，p＝A·X而P＝A×X，p和P已知，试求X。解：由，p＝A·X，可以得到，所以 在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：直角坐标中的坐标；球坐标中的坐标。解：（1）圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系为于是有故该点在直角坐标系下的坐标为。（2）圆柱坐标系与球坐标系之间的变换关系为于是有故该点的球坐标为。用球坐标表示的场。求在直角坐标中点（－3，4，－5）处的|E|和Ex；求在直角坐标中点（－3，4，－5）处E与矢量B＝ex2－ey2＋ez解：（1）在直角坐标中，点处于是 （2）由题意可知故E与B构成的夹角为。（r1，θ1，φ1）和（r2，θ2，φ2）定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为证明：应用直角坐标系与球坐标系之间的变换关系得，在直角坐标系中，则。已知标量函数u＝x2yz，求u在点（2，3，1）解：由题意可知，由方向导数的定义可知，在方向的方向导数点处沿的方向导数值为已知标量函数u＝x2＋2y2＋3z2＋3x－2y－6z。求▽u；在哪些点上▽u等于0?解：（1）。（2）要使 ，则，即在点上 。解：由题意可知，因为梯度方向沿函数等值面的法向，故椭球表面上任意点的单位法向矢量为利用直角坐标，证明证明：在直角坐标系下一球面S的半径为5解：在球面坐标下，面积微元三个面积元分别为于是得到。已知矢量，试确定常数a、b、c使E解：若E为无源场，则即解得 。在由ρ＝5、z＝0和z＝4证明：散度定理为：在圆柱坐标系中，等式左边等式右边左边等于右边故有因此散度定理成立。（1）求矢量A＝exx2＋eyx2y2＋ez24x2y2z3的散度；求▽·A对中心在原点的一个单位立方体的积分；求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。解：（1）（2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为：（3）A对此立方体表面的积分为：于是，即散度定理成立。计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求▽·r分。解：r对球表面的积分为在球面坐标系中对球体积的积分。在球坐标系中，已知矢量A＝era＋eθb＋eφc，其中a、b和c均为常数。问矢量A是否为常矢量；求▽·A和▽×A。解：（1）将矢量用直角坐标表示，有此可见，矢量A的方向变化，故矢量A不是常矢量。在球面坐标系下求矢量A＝exx＋eyx2＋ezy2z沿xy平面上的一个边长为2正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求▽×A对此回路所包围的曲面的面积分，验证斯托克斯定理。解：如图1-2-1所示，把曲线分成1234四部分。则有又于是所以，即斯托克斯定理成立。求矢量A＝exx＋eyxy2沿圆周x2＋y2＝a2的线积分，再计算▽×A分。解：由题意可知，圆周的极坐标表示且 故有1.23 证明：（1）▽·r＝3；（2）▽×r＝0；（3）▽（k·r）＝k。其中r＝exx＋eyy＋ezz，k为一常矢量。证明：（1）（2）设，则故。F＝erf（r）表示，如果▽·F＝0，那么函数f（r）会有什么特点?解：在圆柱坐标系中，由可得其中C为任意常数。在球面坐标系中，由可得 其中C为任意常数。给定矢量函数E＝exy＋eyx，试求从点P1（2，1，－1）到点P2（8，2，－1）积分：沿抛物线x＝2y2；沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗解：（1）由抛物线方程x＝2y2，可得于是（2）由题意可知，连接该两点的直线方程为即，由此可见，积分与路径无关，故E为保守场。试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式。证明：设在圆柱坐标中，取小体积元，如图1-2-2所示。矢量A方向穿出六面体表面的通量为同理可得于是矢量场A的总的通量为所以 现有三个矢量A、B、C分别为哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?示?求出这些矢量的源分布。解：（1）在球面坐标系中，矢量的散度为矢量的旋度为由此可以看出，矢量是一无散无旋场，既可以由一个标量的梯度表示，也可以由一个量的旋度表示。在柱面坐标中，矢量的散度为矢量的旋度为由此可以看出，矢量是一有散无旋场，它可以用一个标量的梯度来表示。在直角坐标下，矢量的散度为矢量的旋度为由此可以看出，矢量是一个无散有旋的矢量，它可以用一个矢量的旋度来表示。（2）这些矢量的源分布为利用直角坐标，证明▽·（fA）＝f▽·A＋A·▽f证明：在直角坐标系中，所以得到。证明▽·（A×H）＝H·▽×A－A·▽×H证明：依据算子的微分性质以及乘法的微分法则有为了便于区别，我们定义示只对矢量A做微分运算表示只对矢量H做微分运算。由混合积的运算性质，得到同样地，所以。利用直角坐标，证明▽×（fG）＝f▽×G＋▽f×G所以。利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明▽×（▽u）＝0及▽·（▽×A）＝0，试证明之。证明：（1）对于以任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理可知由于曲面S是任意的，所以可以得到（2）对于由任意闭合曲面S所围的体积V，由散度定理有其中，如图1-2-3所示。图1-2-3又由斯托克斯定理可推知其中是方向相反的同一回路，于是有因此于体积V是任意的，所以可以得，结论得证。1.3 一、填空题矢量场函数的旋度 在闭合的S上的面积分【答案】0

。[华中科技大学2002研]【解析】根据公式 ，因，所以 0二、计算与分析题利用散度定理及斯托克斯定理证明：对任一矢量函数有：。[华中科技大学2003研]证明：在直角坐标系中，有：在直角坐标系中，推出标量场函数f与矢量场函数的乘积的散度公式。[华中科技学2002研]解：在直角坐标系中，由散度的公式可得整理可得 若 ，其中，写出f（r）的函数形式。[华中科技大学2002研解：已知有散度公式所以已知代入上式，可得 （K为常数）第2章 电磁场的基本规律复习笔记一、电荷守恒定律电荷与电荷分布在电磁理论中，根据电荷分布的具体情况，电荷源模型分为体电荷、面电荷、线电荷和点电荷。电荷体密度、电荷面密度、电荷线密度 分别定义为：当已知、和的分布后，任意体积内、曲面或曲线上的电荷总量就可以用相应的体积分、面积分或线积分表示为。电流与电流密度电流是由电荷定向运动形成的，通常用表示。设在 时间内通过某一曲面S的电荷为，则定义通过曲面S的电流为：它的单位为A（安培），方向为正电荷的流动方向。电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定电流，用I表示。在电磁理论中，电流分布模型分为体电流、面电流和线电流。电流密度J和面电流线密度JS的定义分别为：电荷流动的空间是一个电流密度矢量场J（r），场中任意面积上通过的电流量为：所以电流（I或）的另一定义是电荷流动场中电流密度矢量在某一面积上的通量。表面电流场中，任意有向曲线所穿过的电流为：电荷守恒定律在一个与外界没有电荷交换的系统内，正、负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变。积分形式：微分形式：对于恒定电流，有。这表明，空间的恒定电流场是无散场，恒定电流线有起点和终点，形成连续的闭合曲线。二、真空中静电场的基本规律库仑定律真空中，点电荷q1对q2的作用力为：，表示q2指向q1的单位矢量， 。电场强度在静电场中，若单位正电荷q0在某点受到的静电力为 ，则定义该点的电场强为：由此得点电荷、点电荷系和连续分布电荷的电场为：式中， 为连续分布电荷的电荷元，对体、面、线电荷，分别为：。真空中的静电方程积分形式微分形式三、真空中恒定磁场的基本规律安培力定律真空中的线电流回路C1对回路C2的磁场力为：式中，R为两电流元之间的距离，表示为矢量为：磁感应强度毕奥-萨伐尔定律：真空中的电流分布的磁感应强度表达式为：线电流面电流体电流磁通连续性原理：安培环路定理：微分形式四、媒质的电磁特性从宏观效应看，物质对电磁场的响应可以分为极化、磁化和传导三种现象。电介质的极化电介质中束缚电荷在外场力的作用下发生的位移的现象，称为电介质的极化，束缚电荷也称为极化电荷。将单位体积中的电偶极矩的矢量和称为极化强度，表示为式中的为体积 中第个分子的平均电矩。是一个宏观矢量函数。若电介质的区域内的相同，则称该区域是均匀极化的，否则就是非均匀极化的。极化电荷的体密度为极化电荷的面密度为电介质中高斯定理的积分形式：电介质的本构关系磁介质的磁化单位体积中的分子磁矩的矢量和称为磁化强度，表示为式中的表示体积 内第个分子的磁矩。若磁介质的某区域内的相同，则称该区是均匀磁化的，否则就是非均匀磁化的。磁化电流体密度磁化电流面密度磁介质中安培环路定理的积分形式：磁介质中的本构关系媒质的传导特性对于线性和各项同性的导电媒质，媒质内任意一点的电流密度矢量和电场强度成比，表示为五、电磁感应定律和位移电流法拉第电磁感应定律导体回路中的感应电动势，等于穿过导体回路的磁通变化率的负值。即：积分形式：微分形式：位移电流由时变电场引起的电流称为位移电流，表示为：。此时，静态下的安培环路定律修改为：积分形式：微分形式：六、麦克斯韦方程组积分形式麦克斯韦第一方程，其含义是磁场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的传导电流与位移电流之和。麦克斯韦第二方程，其含义是电场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的磁通量的变化率的负值。麦克斯韦第三方程，其含义是穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量恒等于0.麦克斯韦第四方程，其含义是穿过任意闭合曲面的电位移的通量等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和。微分形式：④①式表明，时变磁场不仅由传导电流产生，也由位移电流产生。该式揭示的是时变电场产生时变磁场。②式表明，时变磁场产生时变电场。③式表明，磁通永远是连续的，磁场是无散度场。④式表明，空间任意一点若存在正电荷体密度，则该点发出电位移线；若存在负电荷体密度，则电位移线汇聚于该点。七、电磁场的边界条件一般形式理想导体表面上的边界条件理想介质表面上的边界条件课后习题详解（一）思考题点电荷的严格定义是什么?答：点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其中的电荷分布已无关紧要，就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。即将带电体抽象为一个几何点模型，称为点电荷。研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷分布模型?有哪几种电流分布模型?定义的?答：常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷。常用的电流分布模型有体电流模型，面电流模型和线电流模型。它们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么?电偶极子的电场强度又如何呢?答：点电荷的电场强度与距离r的二次方成反比。电偶极子的电场强度与距离r的三次方成反比。简述和▽×E＝0所表征的静电场特性。答：表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电的通量源。表明静电场是无旋场。表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。ε0，与闭合面外的电荷无关，即在电场（电荷）分布具有某些对称性时，可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。简述▽·B＝0和▽×B＝μ0J所表征的静磁场特性。答：▽·B＝0表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0线。表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的旋涡源。度。答：安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分，等于穿过这个环路所有电流的代数和μ0倍，即如果电流分布存在某种对称性，则可用该定理求解给定电流分布的磁感应强度。简述电场与电介质相互作用后发生的现象。一致的电偶极子，它们对外产生的电场不再为0。对于有极性分子，它的每个电偶极子在对外产生的电场也不再为0。这种电介质中的束缚电荷在外电场作用下发生位移的现象，顺着外电场方向排列的电偶极子，这些电偶极子产生的电场将改变原来的电场分布。因此，此时电介质内的电场强度E是自由电荷产生的外电场E0与极化电荷产生的附加电场E'的叠加，即E＝E0＋E'。极化强度是如何定义的?极化电荷密度与极化强度有什么关系?答：（1）单位体积中的电偶极矩的矢量和称为极化强度。极化强度P与极化电荷体密度的关系为：ρP＝﹣▽·P。（2）极化强度P与极化电荷面密度：ρSP＝P·en。电位移矢量是如何定义的?在国际单位制中它的单位是什么?答：电位移矢量定义为：D＝ε0E＋P＝εE，其单位是库仑／平方米（C／m2）。简述磁场与磁介质相互作用发生的物理现象。答：在磁介质和磁场相互作用时，外磁场使磁介质中的分子磁矩沿外磁场取向，磁介质被磁化；被磁化的介质要产生附加磁场，从而使原来的磁场分布发生变化。磁介质中的磁感应强度B可看做真空中传导电流产生的磁感应强度B0和磁化电流产生的磁感应强度B'的叠加，即B＝B0＋B'。磁化强度是如何定义的?磁化电流密度与磁化强度有什么关系答：单位体积内分子磁矩的矢量和称为磁化强度。磁化电流体密度与磁化强度：JM＝▽×M磁化电流面密度与磁化强度：JSM＝M×en磁场强度是如何定义的?在国际单位制中它的单位是什么?答：磁场强度定义为：国际单位制中，其单位为安培／米（A／m）。的含义吗?答：均匀媒质是指介电常数ε0或磁介质磁导率μ处处相等，不是空间坐标的函数。非均匀媒质是指介电常数ε或磁介质的磁导率μ是空间坐标的标量函数。线性媒质是ε（μ）与E（H）的大小无关，反之为非线性媒质。各向同性媒质是指ε（μ）与E（H）的方向无关，ε（μ）是标量，D（B）和E（H）的方向相同。各向异性媒质是指D（B）和E（H）的方向相同。什么是时变电磁场?答：随时间变化的电荷和电流产生的电场和磁场也随时间变化，而且电场和磁场相互关联，密不可分。时变的电场产生磁场，时变的磁场产生电场，统称为时变电磁场。答：传导电流和位移电流都可以在空间激发磁场但两者本质不同。传导电流是电荷的定向运动，而位移电流的本质是变化着的电场。传导电流只能存在于导体中，而位移电流可以存在于真空、导体、电介质中。传导电流通过导体时会产生焦耳热，而位移电流不会产生焦耳热。答：麦克斯韦方程组：微分形式积分形式它表明不仅电荷和电流能激发电磁场，而且变化的电场和磁场也可以互相激发，交替作用，从而形成电磁场的运动。麦克斯韦方程组的4个方程是相互独立的吗?试简要解释。答：不是相互独立的。其中表明时变磁场不仅由传导电流产生，也由位移电产生，它揭示的是时变电场产生时变磁场。表明时变磁场产生时变电场。电场和磁场是相互关联的。但当场量不随时间变化时，电场和磁场又是各自存在的。电流连续性方程能由麦克斯韦方程组导出吗?因。答：能。亦即又∴电流连续性方程成立。什么是电磁场的边界条件?你能说出理想导体表面的边界条件吗?答：把电磁场矢量E，D，B，H在不同媒质分界面上各自满足的关系称为电磁场的边界条件。理想导体表面上的边界条件为：en×H1＝Js，en×E1＝0en·B1＝0，en·D1＝ρS（二）习题已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为ρS＝ρS0cosθ的电荷，式中的ρS0数。试计算球面上的总电荷量。解：球面上的总电荷量应为面电荷密度对整个球面的积分，即故球面上的总电荷量为0。已知半径为a、长为L的圆柱体内分布着轴对称的电荷，体电荷密度为（0≤r≤a），中的ρ0为常数，试求圆柱体内的总电荷量。解：圆柱体内的总电荷量应为体电荷密度对整个圆柱体的积分，即故圆柱体内的总电荷量为。电荷q均匀分布在半径为a的导体球面上，当导体球以角速度ω绕通过球心的z时，试计算导体球面上的面电流密度。解：导体球面上的面电流密度表达式为其中为导体球面的面电荷密度，易求得为线速度，球面上任意一点的位置矢量为，当导体球以角速度绕通过球心的轴转时，该点的线速度为所以面电流密度为A/m宽度为5cm的无限薄导电平面置于z＝0平面内，若有10AP（2cm，3cm，0）的方向流动，如图2-2-1所示。试写出面电流密度的表示式。解：面电流方向的单位矢量为面电流密度大小为面电流密度矢量为A/m一个半径为a的球形体积内均匀分布着总电荷量为q的电荷，当球体以均匀角速度绕一条直径旋转时，试计算球内的电流密度。解：电流密度矢量为其中球内的电荷体密度为球内任意一点的位置矢量为，当导体球以角速度绕通过球心的轴旋转时，该点的速度为因此，所求的电流密度矢量为A/m2平行板真空二极管两极板间的电荷体密度为，阴极板位于x＝0处，阳极板位于处，极间电压为U0；如果U0＝40V，d＝1cm，横截面S＝10cm2，求：（1）x＝0至x＝d区域的总电荷量；（2）x＝d/2至x＝d区域的总电荷量。解：（1）至区域的总电荷总量为将 、 、 、代入得到（2）至 区域的总电荷量为将 、 、 、代入得到2.7 在真空中，点电荷q1＝－0.3μC位于点A（25，－30，15）；点电荷q2＝0.5μC点B（－10，8，12）。求：（1）坐标原点处的电场强度；（2）点P（15，20，50）处的电场强度。解：（1）设题目中坐标单位为m，则点电荷在坐标原点处产生的电场强度为点电荷在坐标原点处产生的电场强度为所以在原点处产生的总的场强为（2）A点到P点的矢量为点电荷在P点处产生的电场强度为B点到P点的矢量为点电荷在P点处产生的电场强度为所以在P点处产生的总的场强为点电荷q1＝q位于点P1（－a，0，0）处，另一个点电荷q2＝－2q位于处，试问：空间是否存在E＝0的点?解：点电荷在空间任意一点处产生的电场为点电荷在点处产生的电场为故在点 处的总电场为，我们令 ，则有即得到解得，（不合题意，舍去在点P处电场强度E＝0。无限长线电荷通过点（6，8，0）且平行于z轴，线电荷密度为ρl，试求点P（x，y，z）处的电场强度E。解：线电荷沿方向为无限长，由对称性可知，电场分布与无关。不妨取，即点的平面上，则线电荷与点P的距离矢量为由高斯定理有所以点处的电场强度为半径为a的一个半圆环上均匀分布着线电荷ρl，如图2-2-2所在平面的轴线上z＝a处的电场强度E（0，0，a）。解：如图2-2-3所示，半圆环上的单位元电荷为其在轴线上 处的场强为于是对于整个半圆环在轴线上 处的场强为三根长度均为L、线电荷密度分别为ρl1、ρl2和ρl3如图2-2-4所示，设ρl1＝2ρl2＝2ρl3，试求三角形中心的电场强度。解：如图2-2-5所示，根据题意建立坐标系，三角形的中心到各边的距离为直接利用有限长直线电荷的电场强度公式得到所以等边三角形中心处的电场强度为一个很薄的无限大导体带电平面，其上的面电荷密度为ρS的z轴上z＝z0处的电场强度中，有一半是由平面上半径为的圆内的电荷产生的。证明：如图2-2-6所示，导体平面上面积元 ，所带电量，其处产生的电场强度为则整个导体带电平面在轴上处产生的电场强度为当 时，，当时，可见，垂直于平面的z轴上z＝z0处的电场强度中，有一半是由平面上半径为 的圆内电荷产生的。自由空间有三个无限大的均匀带电平面：位于点（0，0，－4）处的平面上ρS1＝3nC/m2，位于点（0，0，1）处的平面上ρS2＝6nC/m2，位于点（0，0，4）处的平面上ρS3＝－8nC/m2。试求以下各点的E：（1）P1（2，5，－5）；（2）P2（－2，4，5）；（3）P3（－1，－5，2）。解：设一垂直于z轴的无限大带电平面，其电荷面密度为，则距该平面上方处的场强度为，所以在点的电场强度为在点的电场强度为在点的电场强度为在下列条件下，对给定点求divE的值：（1） ，求点P1（2，3，－1）处divE的值。（2） ，求点P2（ρ＝2，φ＝110°，z＝－1）处divE的值。（3），求点P（r＝1.5，θ＝30°，φ＝50°）处的值。解：（1）（2）（3）半径为a的球形体积内充满密度为ρ（r）分布为式中A为常数，试求电荷密度ρ（r）解：由，可知所以在时，有在时，有一个半径为a的导体球带电荷量为q，当球体以均匀角速度ω图2-2-7所示，试求球心处的磁感应强度B。解：如图2-2-8所示：由题意知，导体球的电荷面密度为 ，球面上任取一点，与的夹角为，的线速度为，所以得到点处的电流面密度为将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电为该圆环的半径为，细圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上任意一点的磁场公式，可得到该细圆环电流在球心处产生的磁场为故整个球面电流在球心处产生的磁场为假设电流I＝8A从无限远处沿x轴流向原点，再离开原点沿y轴流向无限远，如图2-9所示。试求xy平面上一点P（0.4，0.3，0）处的B。解：有限长直导线产生的电磁感应强度为当电流从无穷远沿轴流向原点时， ，，当电流从原点沿轴流向无穷远时，，所以点P处的电磁感应强度为μT一条扁平的直导体带，宽度为2a，中心线与z轴重合，通过的电流为I一象限内任一点P的磁感应强度为式中的a、r1和r2如图2-2-10所示。证明：将导体带划分为无数个宽度为 的细条带，每一个细条带的电流大小为，如图2-11所示，。根据安培环路定律，可以得到在点 处的磁场为所以则两平行无限长直线电流I1和I2，间距为d，试求每根导线单位长度受到的安培力Fm。解：无限长直线电流在任意位置产生的磁场为此磁场对直线电流每单位长度受到的安培力为式中，是电流指向电流的单位矢量。同样的，直线电流产生的磁场对电流每单位长度受到的安培力为在半径a＝1mm的非磁性材料圆柱形实心导体内，沿z轴方向通过电流I＝20A求：ρ＝0.8mm处的B；ρ＝1.2mm处的B；圆柱内单位长度的总磁通。解：由题意知，圆柱形导体内的体电流密度为利用安培环路定律可得到同样利用安培环路定律得到由前面可知单位长度的总磁通为下面的矢量函数中哪些可能是磁场?如果是，求出其源量J。H＝eρaρ，B＝μ0H（圆柱坐标系）H＝ex（－ay）＋eyax，B＝μ0HH＝exax－eyay，B＝μ0HH＝eφar，B＝μ0H（球坐标系）解：（1），在圆柱坐标系中所以该矢量函数不是磁场矢量。（2），在直角坐标系中，所以该矢量是磁场矢量，其源分布为（3），在直角坐标系中所以该矢量是磁场矢量，其源分布为（4），在球坐标系中，所以该矢量是磁场矢量，其源分布为通过电流密度为J图2-2-12所示。试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。解：建立如图2-2-13所示坐标系，因为空腔中的电流密度为0，可把该电流分布看做是两个电流密度的合成。设整个半径为的圆柱导体内通有电流密度为的电流，半径为的圆柱内通有电流密为的电流。那么，这时整个空间的场是由这二者共同产生的。对于大圆柱，由安培环路定律得：同样地，对于小圆柱，应用安培环路定律得到空间任意一点的磁感应强度为二者的矢量和，所以在大圆柱体外时在空腔和大圆柱之间时，在空腔内时，由于是点到点的位置矢量，为一常矢量，所以空腔内的磁场是均匀的。在xy平面上沿＋x方向有均匀面电流Js，如图2-2-14所示。若将xy求空间任意一点的H。解：由毕奥-萨法尔定律可知，沿方向的电流不会产生方向的磁场，而且，沿方向的一对位置对称的线电流产生的磁场的分量相互抵消。所以该磁场只有分量，而且电上下两侧的磁场是等值反相的。图2-2-15所示的矩形闭合线，由安培环路定律得到，因此在时有即得在时，可得一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场B＝ez5cosωtmT之中，如图2-2-16所示。滑片的位置由x＝0.35（1－cosωt）m确定，轨道终端接有电阻R＝0.2Ω，试求感应电流i。解：2-2-17所示，穿过导体回的磁通为由电磁感应定律得到感应电动势所以感应电流为平行双线与一矩形回路共面，如图2-2-18所示。设a＝0.2m，b＝c＝d＝0.1m，i＝0.1cos（2π×107t）A，求回路中的感应电动势。解：由安培环路定律求出平行双线中的左侧导线在矩形回路平面任意一点产生的磁感应强度为方向为垂直纸面向里，其在回路中的磁通为左边导线在回路中产生的感应电动势为同理可得，右边导线在回路中产生的感应电动势为因此，回路中的感应电动势为求下列情况下的位移电流密度的大小：某移动天线发射的电磁波的磁场强度；一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度；一大功率电容器在填充的油中产生的电场强度设油的相对介电常数εr＝5；频率f＝60Hz时的金属导体中，J＝exsin（377×t－117.1z）MA/m2，设金属导体的ε＝ε0、μ＝μ0、σ＝5.8×107S/m。解：（1）由麦克斯韦方程组得又因为自由空间的传导电流为0，即所以，位移电流密度为故该位移电流密度的大小为0.468A/㎡。同（1）可得故该位移电流密度的大小为0.802A/㎡。由题可知则故该位移电流密度的大小为A/㎡。由题可得则位移电流密度为故该位移电流密度的大小为A/㎡。同轴线的内导体半径a＝1mm，外导体的内半径b＝4mm图2-2-19所示。假设内、外导体间的电场强度为。求与E相伴的H；确定k的值；求内导体表面的电流密度；求沿轴线0≤z≤1m区域内的位移电流。解：（1）由麦克斯韦方程有则积分得在自由空间中，传导电流为0，即又所以解得把内导体看为理想导体，由理想导体表面的边界条件 得位移电流积分得位移电流试将微分形式的麦克斯韦方程组写成8个标量方程：（1）在直角坐标系中在圆柱坐标系中；（3）在球坐标系中。解：（1）在直角坐标系中在圆柱坐标系中（体电荷密度）在球坐标系中由置于ρ＝3mm和ρ＝10mm的导体圆柱面和z＝0、z＝20cm的导体平面围成的圆柱形空间内充满ε＝4×10－11F/m、μ＝2.5×10－6H/m、σ＝0的媒质。若设定媒质中的磁场强度为，利用麦克斯韦方程求：（1）ω；（2）E。解：（1）根据题意，由麦克斯韦方程得则积分得又因为由此可得解得（2）由（1）可得媒质1的电参数为ε1＝4ε0、μ1＝2μ0、σ1＝0；媒质2的电参数为ε2＝2ε0、μ2＝3μ0、σ2＝0。两种媒质分界面上的法向单位矢量为en＝ex0.64＋ey0.6－ez0.48，由媒质指向媒质1。若已知媒质1内邻近分界面上的点P处的磁感应强度B1＝（ex－ey2＋ez3）sin300tT，求P点处下列量的大小：B1n、B1t、B2n、B2t。解：由题意可知,由边界条件可知，磁感应强度的法向分量在分界面上是连续的，所以当两种媒质的电导率为有限值时，分界面上不可能存在面电流，即，亦即故媒质1的电参数为ε1＝5ε0、μ1＝3μ0、σ1＝0；媒质2可视为理想导体（σ2＝∞）设y＝0为理想导体表面，y＞0的区域内（媒质1）的电场强度E＝ey20cos（2×108t－2.58z）V/m。试计算t＝6ns时：点P（2，0，0.3）处的面电荷密度ρS；点P处的H；点P处的面电流密度Js。解：（1）由理想导体表面上的边界条件，得点P处的面电荷密度为由麦克斯韦方程，得则所以，积分得点P处的磁场强度为由理想导体表面的边界条件，得点P处的面电流密度为2.3 一、判断题在均匀极化的电介质中，极化电荷只能分布在电介质表面。（ ）[电子科技大学2009研]【答案】√【解析】在电介质中，无论是位移极化还是取向极化，极化电荷在电介质内部都相互抵销，存在的极化电荷只分布在电介质表面。根据高斯定理，若闭合曲面S内没有电荷，则闭合曲面S上任一点的场强一定为零。（ ）[电子科技大学2009研]【答案】×【解析】高斯定理 ， 时，只能得到，不能得到场强的关系。只要闭合线圈在磁场中做切割磁力线的运动，线圈中一定会形成感生电流。（ ）[电子科技大学2009、2012研]【答案】×【解析】法拉第电磁感应定律的积分形式的一般形式为：，即生感应电动势的方式有两种:①磁场随时间变化；②导线切割磁力线。当两种作用相互抵消时，不会产生感应电动势和感应电流。为了简化空间电位分布的表达式，总可以将电位参考点选择在无穷远处。（ ）[子科技大学2012年研]【答案】×【解析】电位的参考点一般选择在无穷远处，具体情况不同，选择的参考点有所不同。二、填空题在静电场中导体表面的边界条件为（ ）和（ ）；在恒定电场（恒定电流的场）中的边界条件为（ ）和（ ）。[北京邮电大学2010研]【答案】；；；【解析】由电磁场一般情况下的边界条件可得解。己知磁导率为的均匀介质中存在恒定（稳恒）磁场分布，则介质中的电流体密可以表示成（ ），磁化电流体密度可以表示成（ ）。[电子科技大学2009、2010研]【答案】；【解析】由恒定（稳恒）磁场的旋度公式 ，易得到；由安培环路定理的微分形式 ，以及 ，得到 ，将第一问答案代入，即可得到，即为所求 。有两个导体球，导体球1的半径为，带电量为，导体球2的半径为 ，带电量为。设两球间距离，若用细导线将两球连接起来，则导体球1的带电量为（ ），体球2的带电量为（ ）。[电子科技大学2009研]【答案】；【解析】两导体球由导线连成一个整体，其带电量为两球带电量的加和，即为；由一个，球1，球1与

球2的电势相同，球1与球2的电势可分别表示为 、 ，由两式相等，得到 ，即可得结果。在理想导体表面上，（ ）矢量总是平行于导体表面，（ ）矢量总是垂直于体表面。[电子科技大学2009研]【答案】磁感应强度（或）；电场强度（或）【解析】由电磁场的理想导体的边界条件：，，知电场强度的切向分量不存在，只有法向分量，即总是垂直于导体表面；磁感应强度的法向分量不存在，只切向分量，即总是垂直于导体表面。已知电介质的介电常数为ε＝2ε0，若其中的电场强度为 ，则介质的自由电荷体密度为（ ）、极化（束缚）电荷体密度为（ ）。[电子科技大学2010、2012研]【答案】；【解析】由介质中的高斯定律推出的很容易求得。由 ， ， 得，代入可得。已知磁感应强度，则m的值为（ ）。[电子科技大学2010研]【答案】【解析】利用磁场的基本性质之一的无散性，即，即可解得的值。本题考查了场的基本性质，其中的，在任何条件下都是恒成立的。在两种不同媒质的分界面上，若不存在面分布电荷，则电位移矢量的（）连续的：若不存在面分布电流，则磁场强度矢量的（）分量是连续的。[电子科技大学2010研]【答案】法向；切向【解析】由麦克斯韦方程组积分形式得到的电磁场关于理想介质表面上的边界条件可知：①在没有自由面电荷的理想介质分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的；②在介质分界面上，磁感应强度的法向分量是连续的；③在介质分界面上，电场强度的切向分量是连续的；④在不存在传导电流面密度的理想介质分界面上，磁场强度的切向分量是连续的。如图2-1所示，由两平行的半无限长直线和半圆弧的线电流I在点P所产生的磁场强度H＝（ ）。[电子科技大学2010研]图2-1【答案】奥-萨法尔定律，各点在点的磁场方向均垂直纸面向外，可以用叠加定理求解。由直导线的磁场公式 ，得到半无限长直导线在点的磁场为；通过电流为的细圆环轴线上的磁场为 ，令，可得圆心出的磁场为，半弧则为其一半；所以整段导线的磁场可求得。在自由空间中，一个孤立的点电荷，其产生的等电位面是（ ）。[南京理工大学2011研]AB．球面；【答案】B【解析】点电荷的等电位面是一个球面。空气（介电常数）与电介质（介电常数）的分界面是的平面。在分面上，已知空气中的电场强度，则电介质中的电场强度为 。[电子科技大学2012年研]【答案】【解析】根据边界条件可知，电场强度在切向上是连续的，电位移在法向上是连续的。电荷定向运动形成电流，当电荷密度满足时，电流密度应满足 ，电线的形状应为 曲线。[电子科技大学2012年研]【答案】，闭合【解析】电流连续性定理。三、简答题写出传导电流密度、磁化电流密度和位移电流密度与电场强度或磁场强度的关系式，并简要说明三种电流密度物理意义的异同。[北京理工大学2008研]答：传导电流密度，其是导电媒质中的自由电子在电场作用下，运动形成的电流位移电流密度，其意义是电位移矢量随时间的变化率；磁化电流密度，介质被磁化后，其内部和表面会出现宏观的电流分布，这就是磁化电流。写出介质中的麦克斯韦方程组微分形式，并说明时变电磁场的特点。[电子科技大学2009研]答：时变电磁场的特点：①不仅电荷激发电场、电流激发磁场，而且变化的电场和磁场互为激发源；②电场和磁场不再相互独立，它们构成一个不可分离的整体。写出微分形式麦克斯韦方程组。（5分）[南京理工大学2011研]答：时变磁场不仅由传导电流产生，也由位移电流产生，该式揭示的是变电场产生时变磁场。时变电场产生时变磁场。磁场是无散场，磁通永远是连续的。某点存在正电荷体密度，该点发出电位移线，若存在负电荷体密度，则电位移线汇聚于该点。分别写出时变电磁场在理想介质和理想导体分界面上的边界条件。（6分）[大学2011研]答：理想介质分界面上边界条件为，理想导体分界面上边界条件为。激励源是什么电子科技大学2012年研]答：静电场的电力线是由正电荷发出、终止在负电荷上的，所以电力线的起点和终点不可能重合，电力线不能闭合。在时变场情况下，即使不存在电荷，变化的磁场也可以激发电场，此时电力线是闭合的，它的激励源是变化的磁场。的意义所在。[电子科技大学2012年研]答：麦克斯韦方程组：，， ，。时变电磁场的特点：①不仅电荷激发电场、电流激发磁场，变化的电场和磁场互为激发源；②电场和磁场不再相互独立，它们构成一个不可分离的整体。麦克斯韦方程组的意义：通过引入位移电流，构成了完整的麦克斯韦方程，由于空间任意点的电磁场扰动都会激发起新的扰动，从而形成电磁扰动的传播，所以方程本身则预言了电磁波的存在。四、计算与分析题一半径等于3mm的导体球，处于εr＝2.52m处的电场强度为1mV/m，求导体球上的电荷。[南京理工大学2010研]解：设导体球带电量为Q，由于导体球半径相对于场强辐射半径很小，可把导体球近似看做电量集中于球心的点电荷。则距导体球距离为r的电场强度为，于是 。矢量是否可能是静电场的解?如果是，则求与之对应的源和位。[南京理工大学2010研]解：静电场是无旋场，即，对于本题中，因此该电场可以作为静电场的解该静电场的源为由 ，得到同理由得到，由得到由于在静电场中，的值与积分路径无关，比较三个式子可得到。假设同轴线内、外导体半径分别为a和b，内、外导体间填充μ1、μ2半的空间，求内、外导体问的磁场强度。[南京理工大学2010研]解：设同轴线中通过电流为。同轴线的内外导体之间的磁场沿方向，在两种磁介质的度，利用安培环路定律有，，即，解得 ，于是，导出两个散度方程。[南京理工大学2010研]解：麦克斯韦方程组的微分形式为电荷守恒定律为 将（1）式变形为，由于一个矢量的旋度的散度恒等于零，所以等式左边为0，将（5）式代入上式变形为由于在任意时间下，上式都成立，所以得到将（2）式变形为同样地，由于一个矢量的旋度的散度恒等于零，所以等式左边为0，上式可变形为由于在任意时间下，上式都成立，于是。证明通过任意闭合曲面的传导电流和位移电流的总量为0。[南京理工大学2011研]证明：根据麦克斯韦方程，有两边同时取散度由于，则意闭合曲面S，根据散度定理，有，此式表明，通过任意闭合曲面的传导电流和位移电流的总量为0.如图2-3所示，半径为a的球体内均匀充满着密度为ρ0的体电荷，球体中有一半径为b的小球空腔，其中O和O'分别为球体和空腔的圆心，两个球心距离为d，P意一点，为O点指向P点的位置矢量，为O'点指向P点的位置矢量，求小球空腔中任意点P的电场分布。[南京理工大学2011研]解：先求均匀充满着密度为ρ的体电荷球体内一点A电场分布，由高斯定理，可得，即有，其中为圆心O指向A点矢量。那么在该题中，可以像空腔是由密度为ρ0的体电荷和－ρ0的体电荷球体组成的，这样不响结果，并且计算简便。利用上述结果知道：P点在ρ0的体电荷球体内电场为 ，P点在－ρ0的体电荷球体内电场为 两者矢量叠加得到 （为O指的矢量）。如图2-4腔中心处有一点电荷。求空间任意点的电位；求点电荷受到的电场力；若点电荷偏离空腔中心（但仍在空腔内），空间的电位和点电荷受到的电场力无变化？[电子科技大学2012年研]解：（1）导体球外： ，式中，为导体球外任一点到点得距离；空腔内：式中，为空腔内任一点到点的距离；导体中：；宏观上讲，导体空腔内的电场强度为零，点电荷q受到的合力为零，即；导体中和球外地电位不变，空腔内的电位和点电荷受到的电场力要改变。第3章 静态电磁场及其边值问题的解复习笔记静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程是静电场基本性质的数学表示，其积分形式为：微分形式为：介质的本构方程：边界条件：两理想介质边界条件：导体表面的边界条件：静电场的基本性质：静电场是有散无旋场，是一种保守场；电荷是静电场的源，电力线由正电荷发出，终止于负电荷，是非闭合曲线。静电场电位函数的边值条件电场强度，称为静电场的电位函数边界条件：导体系统的电容双导体的电容计算步骤：①根据导体的几何形状，选取合适的坐标系；②假定两导体上分别带电荷＋q和－q；③计算两导体间的电场强度E；④由，求出两导体间的电位差；⑤求比值，即得出所求电容。部分电容在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须将电容的概念推广，引入部分电容的概念。①电位系数在由N的电位为：式中，称为电位系数。下标相同的 称为自电位系数，下标不同的称为互电系数。②电容系数若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为：式中，称为电容系数或感应系数。下标相同的称为自电容系数或自感应系数，下标不同的称为互电容系数或互感应系数。③部分电容将各导体的电量表示为 式中， 与地之间的部分电容，称为导体i的自有部分电容；导体i与导体j之间的部分电容称为导体i与导体j之间互有部分电容。静电场能量与静电力对N个带电导体系统，其总电能为：对连续分布电荷，电场能为：用场矢量表示能量为：式中被积函数定义为电能密度，即：上式表明静电能量储存在整个场域内。电场力除用库仑定律计算外，还可用虚位移法由能量的变化来计算导体和介质所受静电力，即：式中， 表示广义坐标，表示虚位移二、导电媒质中的恒定电场分析积分形式：微分形式：边界条件：由于,因此电位函数的边界条件为恒定电场与静电场的比拟均匀导电媒质中的恒定电场（电源外部）和均匀电介质中的静电场（电荷密度的区域）它们之间的对偶关系直接写出，无需重新求解，这个方法也称为静电比拟法。三、恒定磁场分析积分形式：微分形式：边界条件：恒定磁场磁位函数和边界条件矢量磁位： ，表示矢量磁位。在库仑规范下，满足磁矢位A泊松方程：不同媒质分界面上的边界条件为：标量磁位：，表示标量磁位在均匀、线性和各向同性媒质中有：标量磁位边界条件：电感自感设回路C中的电流为I，所产生的磁场与回路C交链的磁链为Y，则磁链Y与回路C中的电流I有正比关系，其比值为：称为回路C的自感系数，简称自感,单位是H（亨利）。自感的特点：自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。互感对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路C2，当回路C1中通过电流I1时，不仅与回路C1交链的磁链与I1成正比，而且与回路C2交链的磁链Y12也与I1成正比，其比例系数为：称为回路C1对回路C2的互感系数，简称互感。同理，回路C2对回路C1的互感为：互感的特点：①互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质有关，而与电流无关；②满足互易关系，即M12＝M21；③与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互感系数M为正值；反之，则互感系数M为负值。N个电流回路系统的磁能：分布电流回路系统的磁能：由上式可得用场矢量表示的磁能：式中被积函数定义为磁能密度：两电流回路间的作用力，也可像静电力一样，用虚位移法求得：四、静态场的边值问题及解的惟一性定理边值问题的类型边值问题（或狄里赫利问题）：已知场域边界面S上的位函数值，即。第二类边值问题（或纽曼问题）：已知场域边界面S上的位函数的法向导数值，即。第三类边值问题（或混合边值问题）：已知场域一部分边界面S1上的位函数值，而另部分边界面S2上则已知位函数的法向导数值，即 。惟一性定理在给定的边界条件下，电位的泊松方程或拉普拉斯方程具有惟一解，称为静电场的惟一性定理。惟一性定理指出了静电场的边值问题具有惟一解的条件，同时为静电场边值问题的各种求解方法提供了理论依据，也为解的正确性提供了判据。五、镜像法基本思想是在所研究的场域以外的某些适当位置上，用一些虚设的电荷（称为镜像电荷镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。根据惟一性定理，镜像电荷的确定应遵循以下两条原则：所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中；镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足场域边界上的边界条件来确定。如果两导体平面不是相互垂直，而是相交成角，只要，这里的n为整数，就能用像法求解，其镜像电荷数为有限的（2n－1）个。六、分离变量法基本思想是将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。七、有限差分法基本思想是将场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散数值解来代替，即用网格节点的差分方程近似替代域内的偏微分方程来求解。课后习题详解（一）思考题电位是如何定义的？中的负号的意义是什么？由静电场基本方程▽×E＝0和矢量恒等可知，电场强度E可表示为标量函数φ的梯度，即式中的标量函数φ称为静电场的电位函数，简称电位；式中负号表示场强方向与该点电位梯度的方向相反。“如果空间某一点的电位为零，则该点的电场强度也为零”么？答：不正确。因为电场强度大小是该点电位的变化率。“如果空间某一点的电场强度为零，则该点的电位为零”答：不正确。此时该点电位可能是任一个不为零的常数。答：边界条件起到给方程定解的作用。电容是如何定义的？写出计算电容的基本步骤。答：两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即其基本计算步骤：①根据导体的几何形状，选取合适坐标系；②假定两导体上分别带电荷＋q和－q；③根据假定电荷求出E；④由求得电位差；⑤求出比值部分电容与等效电容的含义。答：多导体系统的部分电容是指多导体系统中一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。计及大地影响的平行双线传输线，如图3-1-1所示，它有三个部分电容C11、C12和C22，导线1、2间的等效电容为 ；导线1和大地间的等效电容为 ；导线和大地间的等效电容为图3-1-1计算静电场能量的公式和之间有何联系？在什么条件下二是一致的？答：表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式，虽然只有ρ≠0的区域才对分有贡献，但不能认为静电场能量只存在于有电荷区域，它只适用静电场。表示静电场能量存在于整个电场区域，所有E≠0区域对积分都有贡献，既适用于静电场，也用于时变电磁场，当电荷分布在有限区域内，闭合面S无限扩大时，有限区内的电荷可近似为点电荷时，二者是一致的。什么叫广义坐标和广义力？你了解虚位移的含义吗？答：广义坐标是指确定系统中各带电导体的形状，尺寸和位置的一组独立几何量；而企图改变某一广义坐标的力，就为对应该坐标的广义力，广义坐标发生的位移，称为虚位移。答：恒定电场是保守场，恒定电流是闭合曲线。恒定电场与静电场比拟的理论根据是什么？静电比拟的条件又是什么？答：理论依据是惟一性定理，静电比拟的条件是两种场的电位都是拉普拉斯方程的解且边界条件相同。什么是矢量磁位A和标量磁位φm？简要叙述在恒定磁场分析中引入A和φm的优点。·（▽×A）＝0和▽·B＝0，可令B＝▽×A，式中的A为矢量磁位，或称磁矢位，它是一辅助矢量，无明确物理意义，若所研究的空间J＝0，则▽×H＝0，所以H可表示为一标量函数的梯度，即H＝－▽φm，式中φm为标量磁位。通过矢量磁位A来求磁感应强度B和通过标量磁位φm来求磁场强度H都比较简单，特别是在适当选择的坐标系下。如何定义电感？你会计算平行双线、同轴线的电感吗？答：在恒定磁场中把穿过回路的磁通量与回路中的电流的比值称为电感系数，简称电感。平行双线和同轴线的电感计算见教材例3.3.4及例3.3.5。写出用磁场矢量B、H表示的计算磁场能量的公式。答：力呢？两种条件下得到的结果是相同的吗？答：两种情况下求出的磁场力是相同的。什么是静态场的边值问题？用文字叙述第一类、第二类及第三类边值问题。答：静态场的边值型问题是指已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布问题。第一类边值问题：已知位函数在场域边界面S上各点的值，即给定二类边值问题：已知位函数在场域边界面S上各点的法向导数值，即给定 第三类边值问题：已知一部分边界面S1上位函数的值，而在另一部分边界S2上已知位函数的法向导数值，即给定用文字叙述静态场解的惟一性定理，并简要说明它的重要意义。惟一性定理：在场域V的边界面S上给定φ或的值，则泊松方程或拉普拉斯程在场域V内具有惟一解。（2）意义：①它指出了静态场边值问题具有惟一解的条件。在边界面S上的任一点只需给定φ或的值，而不能同时给定两者的值；②它为静态场值问题的各种求解方法提供理论依据，为求解结果的正确性提供了判据。什么是镜像法？其理论根据是什么？答：镜像法是间接求解边值问题的一种方法，它是用假想的简单电荷分布来等效代替分界面上复杂的电荷分布对电位的贡献，不再求解泊松方程，只需求像电荷和边界内给定电荷共同产生的电位，从而使求解简化，理论依据是唯一性定理和叠加原理。如何正确确定镜像电荷的分布？答：①所有镜像电荷必须位于所求场域以外的空间中；②镜像电荷的个数，位置及电荷量的大小以满足场域边界面上的边界条件来确定。什么是分离变量法？在什么条件下，它对求解位函数的拉普拉斯方程有用？答：分离变量法是求解边值问题的一种经典方法。它是把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，该未知函数仅是一个坐标变量的函数，通过分离变量，把原偏微分方程化为几个常微分方程并求解最后代入边界条件求定解。应用分离变量法求解时，所求场域的边界面应与某一正交曲面坐标系的坐标面重合。在直角坐标系的分离变量法中，分离常数k答：不可以，k若为虚数则为无意义的解。（二）习题长度为L的线电荷，电荷密度为常数ρl0。计算线电荷平分面上的电位函数φ；利用直接积分法计算平分面上的E，并用E＝－▽φ由（1）验证（2）解：（1）根据题意，以线电荷中点为原点，建立坐标如图3-2-1所示。图3-2-1在线电荷上取一点，其坐标为（x,0），从原点到（x,0）设为矢量r1，原点到P（0,y0）设为矢量r2，（x,0）到P（0,y0）设为矢量r3，则有则由题意知，线电荷平分面上的电位函数（2）由对称性可知，线电荷在平分面上产生的场强只有沿y轴方向的分量，即由于因此验证得 成立。点电荷ql＝q位于点P1（－a，0，0），另一点电荷q2＝－2q，位于点P2（a，0，0），求空间的零电位面。解：根据题意，点电荷q1在空间任一点P（x,y,z）的电位同理点电荷q2在空间任一点P（x,y,z）的电位由电位叠加原理可得点电荷q1与q2在空间任一点P（x,y,z）的电位由题意，在零电位面有 ，即，化简可得 所以空间的零电位面是以为球心，为半径的球面。电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数分别为求圆柱体内、外的电场强度；这个圆柱体是什么材料制成的?其表面上有电荷分布吗?解：（1）根据题意，由场强与电位的关系，可知在圆柱体内，即当时，电场强度，在圆柱体外，即当时，电场强度由圆柱体内电场强度为0，可知该圆柱体是由导电材料（导体）荷分布。由电位边界条件可得圆柱体表面电荷面密度。已知y＞0的空间中没有电荷，试判断下列函数中哪些是可能的电位解?解：由静态电场的性质知，当在的空间中没有电荷时，则在的空间其电位函数足拉普拉斯方程。对于 ，由于因此 不是空间中电位的解；对于 ，由于因此 是空间中电位的解；对于，由于因此也不是空间中电位的解；对于，由于因此也不是空间中电位的解；综上，只有是可能的电位函数的解一半径为R0的介质球，介电常数为ε＝εrε0，其内均匀地分布着体密度为ρ荷，试证明该介质球中心点的电位为。证明：由题意，当时，由电介质中的高斯定有代入题目条件得解得球内电位移分布，电场分布同理，当时，有解得，；题目得证。电场中有一半径为a、介电常数为ε的介质球，已知球内、外的电位函数分别为试验证介质球表面上的边界条件，并计算介质球表面上的束缚电荷密度解：（1）由题意知，当 时，介质球内的电位函数值介质球外的电位函数值故在边界上；（2）由题意，当时，因此在边界上还有所以介质球表面有两个边界条件： 和。介质球表面上的束缚电荷密度。两块无限大导体平板分别置于x＝0和x＝d板的电位分别设为0和U0，如图3-2-2所示，求两导体板之间的电位和电场强度。解：根据题意，由泊松方程得可解得电位分布函数3-2-2可知存在边界条件 将上述边界条件代入电位分布函数，可解得 ，，因此，两导体板之间的电位函数为两导体板之间的电场强度函数为试证明：同轴线单位长度的静电储能，式中ql为单位长度上的电荷量，C上的电容。证明：根据题意，在同轴线上取长为1m的一段，由电介质中的高斯定理同轴线上单位长度的电场强度为，方向沿轴的径向；积分可得同轴线内外导体间的电压 同轴线单位长度的电容同轴线单位长度的静电能题目得证。有一半径为a、带电荷量q的导体球，其球心位于介电常数分别为ε1和ε2的两种介质分界面上，设该分界面为无限大平面。试求：（1）导体球的电容；（2）解：（1）根据题意可知，在两种介质的分界面上有边界条件，电场方向沿向。对于导体球，由电介质中的高斯定理，有即可解得孤立导体球的电场分布为积分得孤立导体球的电位分布为因此，孤立导体球的电容 。（2）孤立导体球的静电能量两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插入介电常数为ε电压U0，试证明液面升高式中的ρ为液体的质量密度，g为重力加速度。证明：如图3-2-3所示。图3-2-3设电容器极板面积，极板的宽度为，高度为，液面升高为h。可解得电容器存储的静电能则液体所受的电场力为 方向竖直向上。液体所受的重力 方向竖直向下。由题意知，液体所受的电场力与重力平衡，即解得液面升高的高度 。同轴电缆的内导体半径为a，外导体半径为c；内、外导体之间填充两层有损耗介质，其介电常数分别为ε1和ε2，电导率分别为σ1，和σ2面，分界面半径为b。当外加电压U0时，试求：介质中的电流密度和电场强度分布；同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。解：（1）位长度的总电流必相等，设该电流为。由，有解得电流密度矢量，沿径向向外由，可得介质1中的电场强度，介质2中的电场强度 ，同轴电缆内外导体的电压同轴电缆内外导体间流过的电流同轴电缆内外导体间流过的电流密度同轴电缆介质1中的电场强度分布同轴电缆介质2中的电场强度分布（2）电介质1的电容为 ，电介质2的电容为 ，由题意同轴电缆可视为两电容的串联，则同轴电缆单位长度的总电容同轴电缆单位长度的漏电阻在电导率为σ的无限大均匀介质内，有两个半径分别为R1和R2小球之间的距离为d（设、），试求两个小导体球.面之间的电阻。（注：只需求一级近似解）。解：由题意知、，设两小球带电量分别为，且电量集中在小球中心，可得两小球表面电位，，由电容的定义，得两小球表面间的电容由静电比拟法得两小球表面间的电导则两小球表面间的电阻。在一块厚度为d的导体板上，由两个半径分别为r1和r2的圆弧和夹角为α出的一块扇形体，如图3-2-4所示。试求：沿导体板厚度方向的电阻；两圆弧面间的电阻；沿α方向的两电极间的电阻。设导体板的电导率为σ。解：（1）根据题意，设在两极板厚度方向所加的电压为，则两极板厚度方向的电流密度两极板厚度方向的电流，两极板厚度方向的电阻设在两极板径向所加的电压为，由 得沿径向两极板间的场则沿径向两极板间的电压因此两圆弧面间的电阻 设在沿方向两极板间所加的电压为，则沿方向两极板间的电场强沿方向两极板间的电流密度沿方向两极板间的电流则沿方向两极板间的电阻有用圆柱坐标系表示的电流分布，试求矢量磁位A和磁感应强度B解：根据题意，由磁位矢的泊松方程有①②在圆柱坐标系下，由方程①有，即解得矢量磁位 磁感应强度同理，对方程②有，即解得矢量磁位 ，磁感应强度由题意，当 时，，因此可得，，代入上面两式，可得当 时，有边界条件，即可解得因此，矢量磁位A的分布函数磁感应强度B的分布函数。无限长直线电流I垂直于磁导率分别为μ1和μ2的两种磁介质的分界面，如图3-2-5示，试求：两种磁介质中的磁感应强度B1和B2；磁化电流分布。解：（1）根据题意，由安培环路定理可得无限长直导线在磁介质1中产生的磁感应强度在磁介质2中产生的磁感应强度（2）由磁化强度，可得磁介质1中的磁化强度磁介质2中的磁化强度则磁化电流体密度 磁化电流面密度已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为H0导率分别为μ1和μ2的两种均匀磁介质的分界面上，试求两种磁介质中的磁场强度H1和H2。解：图3-2-6题意知，磁场强度H垂直于两种磁介质的分界面，。如图3-2-6所示在垂直于分界面的平面上做一矩形回路，则由安培环路定理，有当两侧为真空时，有可得，进一步可得到由，即可得 。因此磁介质1中的磁场强度 磁介质2中的磁场强度 。证明：在不同磁介质的分界面上，矢量磁位A证明：根据题意，由磁场的边界条件，有在分界面上对上式进行面积分，即 由斯托克斯定理，有由库伦规范，可得判定A是一漩涡场要使，则需满足 ，因此矢量磁位A的切向分量是连续的，题目得证。长直导线附近有一矩形回路，此回路与导线不共面，如图3-2-7线与矩形回路间的互感为证明：根据题意，设长直导线中电流为，由安培环路定理得长直导线周围的磁感应强度根据图3-2-7的几何关系，可得穿过矩形回路的磁通量将代入中，可得由互感的定义，有题目得证。同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是半径为b计。内、外导体间填充有磁导率分别为μ1和μ2的两种磁介质，如图3-2-8所示。设同轴线中通过的电流为I，试求：同轴线中单位长度所储存的磁场能量；同轴线单位长度的自感。解：（1）根据题意，取单位长度的同轴线为研究对象。由安培环路定理，有得由边界条件，可得因此，单位长度同轴线所存储的磁场能量（2）由可得单位长度同轴线的自感如图3-2-9所示的长螺线管，单位长度上密绕N匝线圈，通过电流I为μ、截面积为S，求作用在它上面的磁场力。解：根据题意，选取铁芯的轴向为x轴方向，如图3-2-9所示由安培环路定理有铁芯内的磁场强度 设螺线管中的铁芯沿其轴向有一微小位移dx，则磁场能的变化为因此，作用在铁芯上的磁场力。一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要做多少功解：图3-2-10根据题意，设为点电荷对于无限大导体面的镜像电荷，如图3-2-10所示，且 ，则镜像电荷在x轴正向产生的电场为 将此点电荷移到无穷远处，电场力作功一个点电荷q放在60°的接地导体角域内的点（1，1，0）处，如图3-2-11求：所有镜像电荷的位置和大小；点P（2，1，0）处的电位。解：图3-2-12当两导体相交成 角时，只要，n为整数，则两导体中的镜像电荷为个。由题意知，因此两导体中的镜像电荷为5个，如图3-2-12所示。5个镜像电荷的位置和大小分别为根据题意，由电位的叠加原理，可得点P（2,1,0）处的电位为一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面的下方，与平面相距为h。欲使带电体受到的静电力恰好与重力相平衡，电荷q的量值应为多少?（设－3kg，h＝0.02m）解：根据题意，设镜像电荷在无限大导体平面上方，距导体距离为h，且 。则电荷所受的吸引力为 由题知带电体受到的静电力与其重力平衡，有解得电荷的带电量。一个半径为R的导体球带有电荷Q，在球体外距离球心为D处有一个点电荷q。求点电荷q与导体球之间的静电力；明：当q与Q同号，成立时，F表现为吸引力。解：（1）根据题意，点电荷q在导体球内有两个镜像电荷，分别为，，则点电荷q与导体球之间的静电力（2）证明：当时，变换可得又点电荷q与导体球电荷Q同号，因此有点电荷q与导体球之间的静电力即F表现为吸引力，题目得证。一个半径为a的无限长金属圆柱薄壳，平行于地面，其轴线与地面相距为h薄壳内距轴线为r0处，平行放置一根电荷线密度为ρl的长直细导线，如图3-2-13所示。设圆柱薄壳与地面间的电压为U0，求金属圆柱薄壳内、外的电位分布。解：由题意知，电荷线密度为的长直细导线的镜像电荷为，如图14（a）所示。图3-2-14对于金属圆柱壳内的任一点，其电位是与共同作用的结果，有；当 时，，解，代入可得金属圆柱壳内的电位分布为度电荷为，则镜像电荷为，如图3-2-14（b）所示。图中则圆柱外任一点（x,y）的电位为完整形式为 由题意知，当时，可解得 因此，金属圆柱壳外的电位分布为。如图3-2-15所示，在z＜0的下半空间是介电常数为ε距离介质平面h处有一点电荷q。试求：z＞0和z＜0的两个半空间内的电位分布；电介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上的极化电荷总量等于镜像电荷q'。解：图3-2-16如图3-2-16所示，镜像电荷分别为，位于处；，位于处，则在的半空间内的电位分布函数在的半空间内的电位分布函数设点电荷q产生的场强为E0，点电荷产生的场强为 ，点电荷 产生的场强为 则在 的半空间内任一点的场强 在 的半空间内任一点的场强 两介质分界面上的极化电荷面密度为两介质分界面上的极化电荷总量题目得证。磁导率分别为μ1和,μ2的两种磁介质的分界面为无限大平面，在磁介质1中，有一个半径为a、载电流为I的细导线圆环，与分界面平行且相距为h，如图3-2-17细导线圆环所受的磁场力。解：图3-2-18根据题意，设电流为I的细导线圆环的镜像圆环电流为I’，与分界面相距h，如图3-2-18所示，则由题意 ，两线圈的互感为则细导线圆环所受的磁场力平行双线传输线的半径为a，线间距为d。在传输线下方h处放置相对磁导率为μr铁磁性平板，如图3-2-19所示。设，，试求此传输线单位长度的外自感。解：图3-2-20设平行双线传输线的双线镜像为内电流为的平行双线，距离分界面为h，如图3-2-20示。则 由题意传过两导线之间轴线方向单位长度面积的磁通量由自感的定义可得传输线单位长度的外自感如图3-2-21所示的导体槽，底面保持电位U0电位分布。解：如图3-2-21，可知导体槽电位函数的边界条件为设电位函数的通解为将 代入上式有解得系数将系数代入上述通解式，可得槽内的电位分布函数为如图3-2-22所示，两块无限大接地导体板，两板之间有一与z轴平行的线电荷ql位置为（0，d），求板间的电位分布。解：根据题意，将无限大导体板间的空间分割为 和 两个区域，将线电荷密度示为面电荷密度的形式。则由题意可得板间的空间内电位的边界条件：②③将边界条件③代入上述方程组，得进一步解得板间的电位分布函数为如图3-2-23所示，在均匀电场E0＝exE0中垂直于电场方向放置一根半径为a长导体圆柱。求导体圆柱外的电位和电场强度，并求导体圆柱表面上的感应电荷密度。解：根据题意，均匀电场中的导体为等势体，设导体电势为C，C为一常数。图3-2-24如图3-2-24所示，外电场E0的电位为由题意，设极化电荷的电位