2022-2023学年人教中考数学重难点题型分类必刷题 06 几何图形初步-角度问题压轴题真题(含详解)

专题06高分必刷题-几何图形初步一角度问题压轴题真题(原卷版)

专题简介：本份资料专攻《几何图形初步》这一章中求角度的压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试

题中的压轴题真题，大都涉及到角度的旋转问题，难度较大，适合于想挑战满分的学生考前刷题使用，也

适合于培训机构的老师培训尖子生时使用。

1.（明德）已知NAO3=120，ZCOD=60，OE^^ZBOC.

(1)如图①，当NCO力在/A08的内部时.

①若N4OC=40。，则NCOE=；4DOE=.

写出NAOF与NDOE的度数之间的关系,

2.(长梅)定义：从一个角的顶点出发，

把这个角分成1：2的两个角的射线，叫作这个角的三分钱，显然，一个角的三分线有两条.

(1)如图①，已知OC是/40B的一条三分钱，且NBOC>NAOC,若NAO3=75。，ZAOC=

3.(师大)若A、0、B三点共线，NBOC=50°,将一个三角板的直角顶点放在点。处(注：NDOE=

90°,/Z)EO=30°).

(1)如图1,使三角板的短直角边。。在射线0B上，则/COE=；

(2)如图2,将三角板。0E绕点。逆时针方向旋转，若0E恰好平分NAOC,则0。所在射线是NBOC

的:

(3)如图3,将三角板。0E绕点0逆时针转动到使/CO£>=^NAOE时，求NBO。的度数；

4

(4)将图1中的三角板绕点0以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第I秒时,

0E恰好与直线0C重合，求f的值.

4.(雅礼)如图1,

点。为直线AB上一点，过点。作射线OC,使N3OC=130°。将一直角三角板的直角顶点放在点。处,

一边在射线0B上，另一边ON在直线AB的下方.

(1)将图1中的三角板绕点。逆时针旋转至图2,使一边在ZBOC的内部，且恰好平分ZBOC。

问：此时直线ON是否平分NAOC?请说明理由.

(2)将图1中的三角板绕点。以每秒6。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直

线ON恰好平分锐角NAOC,则直接写出t的值.

(3)将图1中的三角板绕点。顺时针旋转至图3,使ON在NAOC的内部，求NAOM—NNOC的度数

5.(长郡)若同一平面内三条射线OA、OB、0C有公共端点，且满足ZAOC=LNBOC时，我们称0C是

2

(OA,0B)的“新风尚线”，但0C不是(。8,0A)的“新风尚线”。如果NAOC=L/8OC或者

2

ZBOC=-^AOC,我们称0C是0A和08的“新风尚线”。

2

(1)如图(1),已知NGON=120。，NMON=60。，0E、。产是NM0N的三等分线，则射

线是(OM,ON)的“新风尚线”；

(2)如图(2),若乙408=30。，0c是(。4,OB)的“新风尚线”，则NBOC=；

(3)如图(3),若NAOB=80。，射线OP从射线08的位置开始，绕点。按逆时针方向以每秒10。的速度

向射线0A旋转，同时射线OQ从射线。4的位置开始，绕点。按顺时针方向以每秒8。的速度向射线08

旋转，求射线OP成为两条射线OA和0Q的“新风尚线”时，

射线OP旋转的时间r(单位：秒)的值。(0</<18)

图(2)图(3)

6.(青竹湖)已知如图(1)：ZAOB=a,NCOD=4(3a>/?且a,万为锐角)，OM平分NAOD,ON平

分ZCOB,在线段AC上，AB=x,CD=y,M为中点，N为中点.

(1)图(I)中，在NAOC内，当射线08和射线”>重合时，求NMON的度数，此时在线段AC上，当

点B和点D重合时，求线段MN的长度;

(2)图(2)中，在Z4OC内，当射线08和射线。。不重合时，求NMON的度数，此时在线段AC上,

当点3和点。不重合时，求线段MN的长度；

(3)当NCOD从图(1)所示的位置绕点O逆时针旋转〃。(0<"90)时，满足NAOC+NMON=6NCOZ),

求旋转度数〃(结果用/表示).

CNB(D)MACDNMBA7.(雅礼)一副三角尺(分别含

45°,45°,90°和30°,60',90)按如图所示摆放在量角器上，边与量角器0。刻度线重合，边AP

与量角器180。刻度线重合，将三角尺4印绕量角器中心点P以每秒10的速度顺时针旋转，当边P3与0

刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为九

⑴当f=5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是______度;

(2)若在三角尺43。开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2"的速度逆时针旋转，当三角尺ABP

停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转.

①当f为何值时，边PB平分NCPD；

②在旋转过程中，是否存在某一时刻使NBPD=2NAPC,若存在，请直接写出f的值；若不存在，请说

明理由.

点，过点。作射线。C,NAOC=30°,将一直角三板(NO=30°)的直角顶点放在点。处，一边OE在

射线04上，另一边。。与OC都在直线A3的上方.

⑴将图1中的三角板绕点。以每秒5。的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2,经过f秒后，。。恰好平分

ZBOC.

⑴此时f的值为；(直接填空)

(ii)此时OE是否平分NAOC?请说明理由；

(2)在(1)间的基础上，若三角板在转动的同时、射线。。也绕。点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，

如图3,那么经过多长时间OC平分NZJOE?请说明理由：

(3)在(2)间的基础上，经过多长时间OC平分ZDOB?

图1图2图39.(师大)如图，两

条直线AB,CD相交于点O,且NAOC=NAO£),射线OM从QB开始绕O点逆时针方向旋转，速度

为每秒15°,射线ON同时从。。开始绕。点顺时针方向旋转，速度为每秒12。，运动时间为f秒

(0</<12,本题出现的角均不大于平角)

(1)图中一定有个直角；当，=2时，/BON的度数为；

(2)①若NM0N等于平角时，求此时的r值;

②若0E平分NCQW,OF平分NNOD,当NEO/7为直角时，请求出f的值;

14coM+2NBON-j-人士，甘n,主人士什

(3)当射线0M在ZCOB内部时，-------------------是s不是g一个定值？若是，请求出这个定值.

NM0N

0C,使N5OC=65。，将一直角三角板的直角顶点放在点。处。

(1)如图I,将三角板MON的一边0N与射线0B重合时，则NMOC=；

(2)如图2,将三角板"ON绕点。逆时针旋转一定角度，此时OC是NMQB的角平分线，求旋转角

NBON和NCON的度数；

(3)如图3,将三角板绕点0逆时针旋转至如图位置时，ZNOC^-ZAOM,求NNO8的度数.

4

全相同的含有30°、60。的三角板如图放置,PA.P8与直线MN重合，且三角板PAC,三角板PBD

均可以绕点P逆时针旋转.(1)①如图1,4DPC=度.

②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“挛生三角形”，如图1,三角

板BPD不动,三角板PAC从图示位置开始每秒10°开始逆时针旋转一周(0°(旋转＜360°),问旋转时间

f为多少时，这两个三角形是“挛生三角形”.

⑵如图3,若三角板PAC的边Q4从PN外开始绕点P逆时针旋转，转速3。/秒，同时三角板的边

PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，(PC转到与PM重合时，

/CPD

两三角板都停止转动).设两个三角板旋转时间为f秒，以下两个结论：①勺卫为定值；②

ZBPN

/BPN+NCPD为定值，请选择你认为对的结论加以证

明.图1图2图3

专题06高分必刷题-几何图形初步一角度问题压轴题真题（解析版）

专题简介：本份资料专攻《几何图形初步》这一章中求角度的压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试

题中的压轴题真题，大都涉及到角度的旋转问题，难度较大，适合于想挑战满分的学生考前刷题使用，也

适合于培训机构的老师培训尖子生时使用。

1.（明德）已知ZAO3=120，ZCOD=60，OE^^ZBOC.

（1）如图①，当NCOD在/A08的内部时.

①若/月。。=40。，则NCOE=；NDOE=.

②若乙4OC=a,则/OOE=（用含a的代数式表示）；

（2）如图②，当/C。。在/AOB的外部时

①请写出NAOC与NOOE的度数之间的关系，并说明理由.

②在ZAOC内部有一条射线OF,满足ZAOC+2ZBOE=4ZAOF,写出ZAOF与ZDOE的度数之间的关系，

并说明理由.

【解答】解：⑴①♦405=120。，ZAOC=40",

.*.ZSOC=80°,平分N8OC,

/.ZCOE=AZBOC=40°,'：ZCOD=60Q,；.NDOE=NCOD-NCOE=60°-40°=20°.

2

故答案为：40°,20°.@VZAOB=120°,ZAOC=a,/.ZBOC=120°-a,平分NBOC,

.,./COE=£BOC=60°--la,VZCOD=60°,:.NDOE=NCOD-NCOE=60°-(60°」a)

222

=』a.故答案为：Lt.

22

(2)①；OE平分/8OC,：.ZBOC^2ZCOE,"：ZAOC-ZAOB^ZBOC,NDOE-NCOD=NEOC,

：.ZAOC-ZAOB^2(ZDOE-ZCOD),VZAOB=120°,/COO=60°,：.ZAOC-1200=2(/

DOE-60°),化筒得：2NOOE=NAOC.

②/DOE-/AOF=30°,理由如下：VZAOC=ZAOB+ZBOC,NBOC=2NBOE,NAOC+2NBOE=

4NAOF,4ZAOF^ZAOB+4ZBOE,"：ZDOE^ZCOD+ZCOE,ZCOE^ZBOE,

：.4ZDOE=4ZCOD+4ZBOE,：.4ZAOF-4ZDOE^ZAOB-4ZCOD,VZAOB=120°,NCOD=

60°,：.4ZAOF-4ZDOE=-120°,：.ZDOE-ZAOF=30a.

2.（长梅）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射线，叫作这个角的三分钱，显然,

一个角的三分线有两条.

(1)如图①，已知0C是NA02的一条三分钱，且N8OC>NAOC,若NAO8=75。，ZAOC=:

(2)如图②，已知2408=90。，若OC,0。是/A0B的两条三分线.

71/

/C//D90。顺时针旋转/得到NCOD'.当0A恰好是NC'O。'的三分线

OAO4图①图②

【解答】解：(1)己知0c是N408的一条三分钱，B.ZBOOZAOC,若NAOB=75°,

：.ZAOC=^-ZAOB=25°,故答案为：25°.

3

(2)①如图2,VZAOB=90°,0C,。。是NAOB的两条三分线，AZCO£>=AZAOB=30°：

3

②分两种情况：当0A是NCOD的三分线，且/A0Z7A/A0C时，ZAOC'=10°,

/.ZDOC=30°-10°=20°,/.ZDOD'=20°+30°=50°；当OA是NC'0£>'的三分线，E.ZAOD'

V/AOC时，ZAOC=20°,AZDOC'=30°-20°=10°,AZDOD'=100+30°=40°；

综上所述，〃=40°或50°.

3.(师大)若A、0、B三点共线，ZBOC=50°,将一个三角板的直角顶点放在点。处(注：ZDOE=

90°,NZ)EO=30°).

(1)如图1,使三角板的短直角边0。在射线。8上，则/COE=；

(2)如图2,将三角板。OE绕点O逆时针方向旋转，若0E恰好平分NAOC,则0。所在射线是NBOC

的;

(3)如图3,将三角板。0E绕点。逆时针转动到使/COD=工NAOE时，求/8。£>的度数；

4

(4)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第f秒时，

OE恰好与直线OC重合，求t的

OOE=90°,ZBOC=50°,：.ZCOE=40°,故答案为40°；

(2)；OE平分/AOC,；.NAOE=NCOE,：/COE+OOC=/OOE=90°,/40E+N008=90°,

：.ZDOC=ZDOB,二。。平分N80C,是N80C的角平分线，故答案为：角平分线：

(3)VZCOD=^ZAOE,ZCOD+ZDOE+ZAOE=130°,.,.5ZCOD=40°,：.ZCOD=S°,

4

，2800=58°；

(4)当OE与射线0c的反向延长线重合时，5什40=180,.1=28,当OE与射线OC重合时,

5f=360-40,.1=64,综上所述：U的值为28或64.

4.(雅礼)如图1,点O为直线AB上一点，过点0作射线0C,使NBOC=130°。将一直角三角板的

直角顶点放在点。处，一边QW在射线08上，另一边ON在直线A8的下方.

(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边。用在N8OC的内部，且恰好平分N8OC。

问：此时直线ON是否平分NAOC?请说明理由.

(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第f秒时，直

线ON恰好平分锐角NAOC,则直接写出/的值.

(3)将图1中的三角板绕点。顺时针旋转至图3,使ON在NAOC的内部，求NA0W—NM9c的度数

(1)平分，理由：延长NO

到。，,:NMON=90<>.•./MOD=90°:.NMOB+NNOB=90°,

NMOC+NCO0=9()°,ZMOB=ZMOC,：.ZNOB=ACOD,VZNOB=ZAOD,：.ZCOD=ZAOD,

直线NO平分NAOC；

(2)分两种情况：①如图2,：NBOC=130°：,ZAOC^50°,当直线ON恰好平分锐角NAOC时，Z

AOZ)=NCOO=25°,.♦./BON=25",NBOM=65°,即逆时针旋转的角度为65°,由题意得，5f=65°

解得t=13(s)；

②如图3,当N。平分NAOC时，ZNOA=25°,：.ZAOM=65Q,即逆时针旋转的角度为：180°+65°

=245°,由题意得，5f=245°,解得f=49(s),综上所述，f=13s或49s时，直线CW恰好平分锐角

ZAOC；(3)ZAOM-ZWC=40°,理由：；NAOM=90°-/AONNNOC=50°-NAON,

：.ZAOM-ZNOC=(90°-/AON)-(50°-ZAON)=40°.

5.(长郡)若同一平面内三条射线04、OB、0C有公共端点，且满足NAOC=L/BOC时，我们称0C是

2

(OA,0B)的“新风尚线”，但OC不是(OB,OA)的“新风尚线”。如果ZAOC或者

2

ZBOC=-ZAOC,我们称OC是。4和OB的“新风尚线”。

2

(1)如图(1),已知NGON=120。，ZMON=60°,OE、OF是NMON的三等分线，则射

线是(OM,ON)的“新风尚线”；

(2)如图(2),若NAOB=30。，OC是(OA,OB)的“新风尚线”，贝l|/BOC=；

(3)如图(3),若NAOB=80。，射线OP从射线08的位置开始，绕点。按逆时针方向以每秒10。的速度

向射线OA旋转，同时射线0Q从射线OA的位置开始，绕点。按顺时针方向以每秒8。的速度向射线OB

旋转，求射线OP成为两条射线0A和。。的“新风尚线”时,

射线0P旋转的时间f（单位：秒）的值。（0</<18）

图（1）

图（2）图（3）

【解答】解：（1）/GOM=」/GON=60°,，0G是（OM,ON）的新风尚线；/MOE=2NNOE=20°,

22

.♦.OE是（OM,ON）的新风尚线；故答案为：OE,OG.

（2）当OC在NA08外部，ZAOC=^ZBOC=ZAO8=30°,AZBOC=60°,当OC在NA08内部,

2

NAOC=_1/BOC,又•.,/AO8=30°,即/4OC+/BOC=30°,;.NBOC=2Q°,

2

故答案为：20°或60°♦

（3）情况1,OP不可能是（。4,OQ）的新风尚线，而。。是（。。，OA）的新风尚线，则/。。2=

1.ZAOP,即80-18/=工（80-10r）,，/=殁；情况2,若OP是（O。，。4）的新风尚线，则/。0尸

2213

,12

=^ZAOP,18/-80=A（80-10/）,,./=-0.;若OP是（。4,OQ）的新风尚线，则/40尸=工/。0以

22232

（80-10r）=上（18r-80）,

219

情况3,OP不可能是（。。，OA）的新风尚线，所以OP是（。4。。）的新风尚线，则有NAOP=2/

2

QOP,10/-80=A（18Z-80）,.7=40（舍）；

2

情况4,OP是（OQ,。4）的新风尚线，贝440-18/=工（1（»-80）,

22

.•，=螫，（舍）；若OP是（QA,OQ）的新风尚线，则乙4OP=2/QOP,10r-80=i（440-18f）,

2322

.L300

19

综上所述，时间（单位：秒）的值为丝，侬，侬，200.

13231919

6.（青竹湖）己知如图（1）：ZAOB=a,ACOD=p（3a>p^.a,力为锐角），OM平分NAOZ）,ON平

分NCOB,在线段AC上，AB=x,CD=y,M为4）中点，N为CB中点.

（1）图（1）中，在ZAOC内，当射线08和射线重合时，求NMON的度数，此时在线段AC上，当

点8和点。重合时，求线段MN的长度；

（2）图（2）中，在NAOC内，当射线08和射线O£>不重合时，求NVON的度数，此时在线段AC上,

当点3和点。不重合时，求线段MN的长度；

(3)当NCO£>从图(1)所示的位置绕点。逆时针旋转〃。(0<〃<90)时，满足NAOC+NMQV=6NC8,

求旋转度数〃(结果用白、万表示).

CN3(D)MACDNMBA【解答】解：(1)：平分/AOC,

ON平分NC08；.1土P..

2

为AQ中点，N为C8中点.,.“'=交工.

2

(2)设NAOC="?°,AC=a,ZDON=^-^--p^m-a~*2.同理可得1rB母..

222

/.NMON=NAOC-乙COD-ZAOB-ZMOB-NDON

jLa-B-MB-2am-a-zB；a+6==.4-左,8M=2-逐,

22222

：.MN=a-x-y--3二”2g=也

222

(3)由(2)可知：NMON=a+P..又因为NAOC=a+〃+0,且/AOC+NMON=6NC。。，Z.a+n+p+-Q—I

22

=60."=9B-3a

2

7.(雅礼)一副三角尺(分别含45',45°,90和30160',90)按如图所示摆放在量角器上，边PD与

量角器0,刻度线重合，边AP与量角器180。刻度线重合，将三角尺A3P绕量角器中心点P以每秒100的

速度顺时针旋转，当边PB与0刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为1.

(1)当，=5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是度；

(2)若在三角尺A6P开始旋转的同时，三角尺PC。也绕点P以每秒2的速度逆时针旋转，当三角尺A5尸

停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转.

①当f为何值时，边PB平分NCPD；

②在旋转过程中，是否存在某一时刻使NBPD=2NAPC,若存在，请直接写出f的值；若不存在，请说

明理由.

【解答】解：⑴85；(2)①f=8.75秒;

ios

②f=8.75秒或,秒.

8.(长郡)综合题如图1,。为直线45上一点，过点。作射线OC,ZAOC=30°,将一直角三板

("=30°)的直角顶点放在点。处，一边OE在射线。4上，另一边0。与0c都在直线A3的上方.

(1)将图1中的三角板绕点。以每秒5。的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2,经过r秒后，。。恰好平分

ZBOC.

⑴此时f的值为；(直接填空)

(ii)此时QE是否平分NAOC?请说明理由:

(2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线。。也绕。点以每秒8。的速度沿顺时针方向旋转一周,

如图3,那么经过多长时间。。平分NDOE?请说明理由;

/DOB9

图1图2图3

710

【解答】解：(1)①3；②是；(2)5秒或69秒；(3)三秒.

9.(师大)如图，两条直线A3,CO相交于点。，且NAOC=NAOD,射线0M从开始绕。点逆

时针方向旋转，速度为每秒15°,射线ON同时从0。开始绕。点顺时针方向旋转，速度为每秒12。，运

动时间为f秒(0<f<12,本题出现的角均不大于平角)

(1)图中一定有个直角；当1=2时，N30N的度数为；

(2)①若AMON等于平角时，求此时的，值;

②若OE平分NCOM,平分NN0D,当/瓦犷为直角时，请求出f的值;

1ZCOM+2ZBON

(3)当射线0M在ZCOB内部时,是不是一个定值？若是,请求出这个定值.

ZMON

AB,CD相交于点。，ZAOC=ZAOD,：.ZAOC^ZAOD=90°,：.ZBOC=ZBOD=90°,

二图中一定有4个直角；当f=2时，ZB（9M=30°,NNON=24：

：.ZMON=30°+90°+24°=144°,NBON=90°+24°=114°,

故答案为：4；144°,114°；

(2)如图所示，ZBOM=15t,/DON=123NCOM=15f-90°,YOE平分/COM,OF平分NNOD,

•■•ZCOE=yZCOM=y(15t-90°>ND0F=、ND0N=/X12f；当』EO尸为直角时，NCOE+/DOF

=90°,A(15z-90)+Axi2f=90,解得，=10,...当NEO尸为直角时，f值为10.

22

(3)当/MON=180°时/BOM+/8OO+/OCW=180°,：.\5t+900+12f=180°解得+=_12_,当NBOM

工3

=90°时，15r=90°,解得f=6,

①如图所示，当0<1〈凶时，NCOM=90°-15/,NBON=90°+12/,ZMON=ZBOM+ZBOD+ZDON

3

=I5Z+9O0+12/,♦7NCOH+2NBON=7(90°-15t)+2(90°+12t)=810°-81t(不是定值)

ZMON15t+900+12t27t+90°

②如图所示，当&<t<6时，NCOM=90°-15Z,NBON=90°+\2t,NMON=360°-(NBOM+N

3

BOD+^DON)=360°-(15f+90°+12/)=270°-27n

•7ZC0H+2ZB0N=7(90°-15t)+2(90°+12t)_810°-81t(是定值)

ZMON2700-27t270°-27t~

综上所述，当射线OM在/C08内部，且7/C°M+2/B°N是定值时,，的取值范围为这个

ZMON3

定值是3.

10.（长梅）点O为直线上一点，过点。作射线OC,使N8OC=65。，将一直角三角板的直角顶点

放在点。处。

(1)如图1,将三角板MON的一边ON与射线重合时，则NMOC=；

(2)如图2,将三角板MON绕点。逆时针旋转一定角度，此时OC是的角平分线，求旋转角

N8ON和NCON的度数；

(3)如图3,将三角板MON绕点。逆时针旋转至如图位置时，ZNOC^-ZAOM,求NNOB的度数.

NBOC=65°,:.NMOC=/MON-NBOC=90°-65°=25°.

故答案为：25°.

(2)VZBOC=65°,0c是NMO8的角平分线，/例。8=2/8。。=130°.

:.NBON=NMOB-NMON=130°-90°=40°.ZCON=ZCOB-ZBON=65°-40°=25°.

即/BON=40°,NCON=25°；

(3)VZ/V(?C=AZAOM,；.NAOM=4NNOC.VZfiOC=65",A^AOC=ZAOB-ZBOC

4

=180°-65=115°.,；NMON=90°,：.ZAOM+ZNOC^ZAOC-ZMON^1\50-90°=25°.

：AZNOC+ZNOC=25°.：.ZNOC=5°.：.NNOB=NNOC+NBOC=10°.11.(广益)如图，两个

形状，大小完全相同的含有30。、60。的三角板如图放置，PA.与直线MN重合，且三角板PAC,

三角板均可以绕点P逆时针旋转.

⑴①如图1,/DPC=度.

②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“挛生三角形”，如图1,三角

板BPD不动,三角板PAC从图示位置开始每秒10°开始逆时针旋转一周(0°(旋转＜360°),问旋转时间

，为多少时，这两个三角形是“挛生三角形”.

(2)如图3,若三角板PAC的边Q4从PN外开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角