2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》解答题专题提升训练（附答案）

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》

解答题专题提升训练（附答案）

1.如图，已知在△/8C中，ZJ=45°,NB=60°,AB=S,求△48C的面积.

2.如图，在△NBC中，AB=6,sinS=—,tanC--,求△NBC的面积.

23

3.如图，在RtA/4SC中，NACB=9Q°,D是4B上一点,sina=2,C£>=6怖,=8代求:

3

(1)sinp的值;

(2)的面积.

4.如图，水坝的横截面是梯形（£>C〃Z8）,迎水坡BC的坡角a为30°,背水坡力。

的坡度i为1：1.2,坝顶宽。C=2.5米，坝高5米.求：

（1）坝底宽的长（结果保留根号）；

（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD

加宽0.5米，背水坡的坡度改为1：1.4,求横截面增加的面积.（结果保留根号）

AB

5.一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸

点A处观测到河对岸有一点C在Z的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20/n到达B

处，又测得C在8的南偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河

的宽度.（结果保留根号）

东

6.如图，某小区4栋楼在8栋楼的南侧，两楼高度均为82〃?，楼间距为朋N,春分日正午,

太阳光线与水平面所成的角为60°,A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午,

太阳光线与水平面所成的角为45°栋楼在8栋楼墙面上的影高为CM,已知CO=32m,

（参考数据近41,73^1.73）

（1）求楼间距MM（结果保留根号）

（2）王老师家住8栋3楼，点M处为地面1楼，楼房层高2.8米，问王老师家能否照到

春分日正午的太阳？并说明理由.

7.某校数学社团的同学们使用皮尺和自制的测角仪测量“鼎桥”的高度.如图2所示，他

们在地面MB上架设测角仪CM,先在点M处测得“鼎桥”最高点A的仰角ZACD=22°,

然后沿MB方向前进155机到达点N处，测得点力的仰角N4DE=45°（点N,B在

一条直线上），测角仪的高度为16”.请利用同学们的测量数据求“鼎桥”最高点N距

离地面的高度48.（结果精确到0.1m.参考数据：sin22°-0.37,cos220-0.93,tan22°

比0.40,^2^1,41)

图1图2

8.某校数学兴趣小组要测量郑州“大玉米”的高度.如图，他们在点/处测得天塔的最高

点C的仰角为45°,再往天塔方向前进至点8处测得天塔的高点C的仰角为55°,AB

=85"?.根据这个兴趣小组测得的数据，计算“大玉米”的高度CZXsin35°七0.57,cos35°

-0.82,tan35°^0.70,结果保留整数）

9.如图，几名数学小组的成员为测量郑大钟楼的高度，在钟楼附近一高处平台。处测得钟

楼顶端/处的仰角为45。.钟楼底部8处的俯角为22。.已知平台的高8约为16米.请

计算钟楼的高48的值.（结果精确到1米：参考数据：sin22°弋0.37,cos22°弋0.93,

tan22°^0.40）

A

10.教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动,

某学校组织了一次测量探究活动，如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌。，点C、

O、E在同一直线上，且小明与同学们在山坡的坡脚”处测得广告牌底部。的

仰角为53°,沿坡面向上走到8处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡

的坡度i=l：48=10米，AE=2\米（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，

参考数据：72^1.41,641.73,sin53°^―,cos53°心旦，tan53°^―）

553

（1）求点B距水平地面AE的高度；

（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说

明理由.

11.如图是一矩形广告牌/CGE,4E=2米，为测量其高度，某同学在8处测得《点仰角为

45°,该同学沿GB方向后退6米到F处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P点仰角为

37。.若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆PE的高为2.25米，求广告牌的高

度GC或EG的长）.（精确到1米，参考数据：sin37°弋0.6,tan37°七0.75）

P

12.如图，小谢想测某楼的高度，她站在8点从工处望向三楼的老田（D）,测得仰角/。/G

为30°,接着她向高楼方向前进1加，从E处仰望楼顶F,测得仰角/FEG为45°,已

知小谢身高CAB）1,7机，DF=6m.（参考数据：73^1.7,A/2«1.4）

（1）求GE的距离（结果保留根号）；

（2）求高楼C尸的高度（结果保留一位小数）.

13.某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点£处测得塔帽/的仰角为30°,在点

E的正下方23米处的点D处测得塔帽A的仰角为53°,请你依据相关数据计算塔帽与

地面的距离4c的高度.（计算结果精确到0.1米,参考数据:炳七1.732,sin53°g0.80,

cos53°^0.60,tan53°=—）

14.某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的尸处，无

人机测得操控者/的俯角为37。，测得教学楼楼顶的点C处的俯角为45。.又经过人

工测量操控者力和教学楼8C距离为57米，求教学楼8c的高度.（注：点Z,B,C,D

都在同一平面上.参考数据：sin37°弋0.60,cos37°g0.80,tan37°弋0.75）

□

□

15.一架飞机沿水平直线飞行，在点C处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端/的俯

角为30°,面向方向继续飞行5米至点。处，测得该建筑物底端8的俯角为45°,

已知建筑物N8的高为3米，求飞机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据:施-1.414,

A/3^1.732）.

CD...................

16.如图，三角形花园N8c紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道.经测量，

点C在点N的正东方向，/C=200米.点E在点力的正北方向•点8,。在点C的正北

方向，80=100米.点8在点/的北偏东30°,点。在点E的北偏东45°.

（1）求步道。E的长度（精确到个位）；

（2）点。处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D,也

可以经过点E到达点O.请计算说明他走哪一条路较近？

（参考数据：、历-1.414,\巧Q1.732）

17.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处

向正北方向走了450米，到达菜园5处锄草，再从8处沿正西方向到达果园C处采摘水

果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊。处进行手工制作，最后从。处回到

门口/处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上.求菜园与果园之间的距离.（结果保

留整数）

参考数据：sin65°^0.91,cos65°-0.42,tan65°—2.14,sin37°=«0.60,cos37°〜0.80,

tan37°g0.75

18.如图，避风港M在岛礁P正东方向上.一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向

航行，在A处测得岛礁P在北偏东45°方向上，继续航行1.5小时后到达B处时测得岛

礁尸在北偏东22°方向，避风港M在北偏东53°方向上.求此时渔船离避风港的距离

BM.（参考数据：tan22°弋0.40,sin53°七0.80,cos53°g0.60,tan53°-1.33）

19.如图，一天，我国48两舰队在南海某海域进行例行训练，8舰队在/舰队的正东方

向.突然，8舰队发现在它北偏东45。方向上相距2Nm海里的尸处有一货轮遇险发出

求救信号，同时Z舰队测得尸在工的北偏东55°方向上.

（1）求4、8两舰队的距离；

（2）此时A舰队发现在它正北方向（20+2J萌）海里的。处有一艘救援船，并立即委

派它前往营救，其航行速度为40海里〃卜时，求救援船到点尸处所需的最短时间.

（参考数据：sin55°«0.8,cos55°%0.6,tan55°g1.4）

20.某海港南北方向上有两个海岸观测站N,B,距离为10海里.从港口出发的一艘轮船正

沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站48两处分别测得此轮船正好航行到

南偏东30°和北偏东75°方向上的C处.经过0.5时轮船航行到。处，此时在观测站4

处测得轮船在北偏东75。方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数

据：企七1.414,五=1.732）

21.如图，某学习小组在学习了“利用三角函数测高后”，选定测量小河对面一幢建筑物8C

的高度.他们先在斜坡的。处，测得建筑物顶端5的仰角为30°,且O离地面的高度

OE为9米，坡底的长度£4=21米,然后在Z处测得建筑物顶端B的仰角为45°,点£,

A,C在同一水平线上，求建筑物8c的高度.（结果精确到1米，参考数据：正心1.73）

□

□

□

22.如图，一艘轮船位于灯塔8的正西方向上的4处，且灯塔8到4处的距离为40海里,

轮船沿东北方向匀速航行，速度为20海里/时.

(1)多长时间后，轮船行驶到达位于灯塔8的西北方向上的C处？(结果保留根号)

(2)若轮船不改变方向行驶，当轮船行驶到达位于灯塔8的北偏东15°方向上的。处

时，求灯塔8到。处的距离.(结果保留根号)

南

参考答案

1.解：如图，过点。作于点。，则N4OC=N8QC=90°,

：・NBCD=30°,ZACD=45°,

:・AD=CD,

设BD=x,

则CD=6X,

・.・48=8,

/.AD=8-x,

.\CD=8-xf

••x=8-Xf

解得X=4A/§-4,

:.CD=n-473.

S-ABC=-^'^CDX8X(12-4>/3)=48-16娟.

2

：.AD=AB's\nB=f)y.—=3,

2

勾AB2-M)2=^62-32=3港,

在RtZ\?4DC中，tanC="^"，

3

.AD

♦・CDr9,

tanC1

3

/.BC=BD+CD=3近+9,

，△/8c的面积=LBC・/£>=』X(3«+9)X3=^^^7,

222

...2ABC的面积为9聪+27.

2

3.解：（1）作。〃_L4c于，，如图,

在RtZiC。//中，sina=—=-

CD3

嘿

:.DH=4胡,

•8=。(遂)2一(4石)2no,

CH10V5

・cosa二

CD3

*a+P=90",

,V5

.sinpR=cosa=——

3

(2),:DH〃BC,

.△ADHsAABC,

•瞿=罂，艮唉罄=型/，解得4C=2O,

ACBCAC8A/5

.RtA48C的面积4X20X8怖=8(h/^.

H

4.解：（1）DFVAB,垂足为尸,

'JDC//EF,DF//CE,DFVAB,

二四边形。尸EC为矩形,

:・FE=DC=25,DF=CE=5,

在中，坡4。的坡度，为1：1.2,

・,・力/=1.2。尸=12X5=6,

在RtZiCES中，tana=—,

EB

BE=-=5A/3，

tanBO

：.AB=AF+FE+EB=(-y-+5\f3)米；

(2)如图，作。'GLA'B于G,

在RtZ\4G。'中，A1G=\AD'G=l,

：.A'A=A'G+GF-AF=1.5,

二梯形O'A'ZD的面积=』X(0.5+1.5)X5=5,

2

答：横截面增加的面积为5平方米.

5.解：如图，过点C作于。.

设CD=xm,

在RtaBCO中，

♦：NCBD=45°,

/.BD=CD=xm.

在RtZ\4CO中，NO4c=90°-60°=30°,AD=AB+BD=(20+x)w,CD=xm,

・・・CQ=tan300・AD,

：.x=—(20+x),

3

解得x=10(V3+1).

：.CD=IOm.

答：这条河的宽度约为10(VS+Dm.

6.解：(1)如图，连接P0,则由题意得，ZPC0=9O°-45°=45°,NPDQ

=90°-60°=30°,

：.CQ=PQ,DQ=MPQ,

又,：CD=32=DQ-CQ,

:#PQ-PQ=32,

解得P0=166+16,

：.MN=PQ=(16A/3+16)m,

(2)由(1)得，。0=62。=48+164，

：.DM^QM-DQ=^2-(48+16A/3)«=6.3(/n),

王老师家距地面的距离为：2.8X2=5.6(机)，

V5.6<6.3,

王老师家不能照到春分日正午的太阳.

7.解：延长C。，交4B于点F,

设DF=xm,

则CF=(x+155)

在Rtz\4D/中，ZADF=45°,

:・AF=xm,

在Rta/CF中，tan22°=—=~--七0.40,

CFX+155

解得xF03.3,

经检验，x^l03.3是原方程的解且符合题意，

/=103.3+1.6=104.9（加）.

，“鼎桥”最高点A距离地面的高度AB约为104.9w.

8.解：根据题意，得/。。=45°,NCBD=55°,AB^Sm,

/.Z5CD=90°-55°=35°,

在Rt^/CD中，ZCAD=45°,

则AD=CD,

：.BD=AD-AB=CD-85,

在RtZk8C。中，tanZSCZ>=—,

CD

解得：8弋283,

答：“大玉米”的高度约为283机.

9.解：过点。作。48于点E,如图所示:

根据题意可得四边形DCBE是矩形，

：.DE=BC,8E=Z）C=16米，

在RtZ\8£>E中，ZBDE=22°,

：.DE=_16=40（:米）,

tan220.40

在RtZ\/DE中,

VZADE=45Q,

:・AE=DE,

：.AE=DE=BC,

；・4B=4E+BE=DE+CD=40+16=56（米）.

答：钟楼的高的值约为56米.

10.解：（1）如图，过点8作BNLCE,垂足分别为M、N,

由题意可知，ZCBN=45°,ND4E=53°,i=l：V3,/8=10米，/E=21米.

Vz=l：\!3=—=tanZBAM,

AM

/.ZBAM=30°,

：.BM=—AB=5（米），

2

即点B距水平地面AE的高度为5米；

（2）在RtZWBM中,

：.BM=—AB^5（米）=NE,

2

AM=^-AB=542（米），

：.ME=AM+AE=（5A/3+21）米=5N,

•：NCBN=45°,

:.CN=BN=ME=（5A/3+21）米，

:.CE=CN+NE=（5A/3+26）米，

在中，ZDAE=53°,/E=21米,

：.DE=AE-tan53°TX、=28（米），

3

：.CD=CE-DE

=5近+26-28

=56-2

=»6.7（米）＜7米，

符合要求，

答：该公司的广告牌符合要求.

11.解：由题意：DH=BF=6米,DB=HF=L7米,PE=2.25米,

如图，设直线交EG于M,交.AC于N,则EM=/N.

设/N=x,PM=JC¥2.25,

在RtZL4NZ)中，•：/ADN=45°,

：.AN=ND=x,

•：AE=MN=2,贝ijM"=6+x+2=8+x,

在RtAPHM中,

_PM

Vtan37°一而

.x+2.25

^0.75,

x+8

解得X^15,

：.AC=AN+NC=15+1.7^17（米）,

故广告牌的高度为17米.

12.解：(1)设GE=xm,

VZEGF=90°,NF£G=45°,

••.△EFG是等腰直角三角形，

••FG—EG—xni>

在RtZ\ADG中，//X4G=3O°,AG=EG+AE=(x+1)m,

'：tanZDAG=--tan3O0=返，

AG3

：.DG=^-AG=-(x+1)m,

33

■:FG-DG=DF,

x-(x+1)=6,

3

解得：x=l^2返，

2

答：GE的距离为空

2

(2)由(1)得：FG=GE-19+7迎m,

2

GC=AB=\.1m,

，CF=FG+GC=19+7爽+1.7-17.2(〃?)，

2

答：高楼CF的高度约为17.2m

13.解：连接OE,如图所示：

由题意得：DE1.CD,BE工AC,DC1AC,。£1=23米,

:.NABE=NCBE=NC=NCDE=90°,

.••四边形8C0E是矩形，

：.BE=CD,BC-23米，

;乙4£8=30°,

:.BE=MAB,

AC4

在RtZ\4C。中，tanZ^Z)C=—=tan53°=三，

CD3

4

：.AC=—CD,

3

设AB=x米，贝!ICD=BE=yj~^x米，AC=^^x米,

3

•：BC=AC-AB=23,

・473-

・・------x-x-23，

3

解得:xF7.6,

：.AC=AB+BC^17.6+23^40.6（:米），

答：塔帽与地面的距离/C的高度约为40.6米.

14.解：过点尸作于E,过点。作CFLPE于R如图所示:

则四边形8CFE是矩形,

：.CF=BE,

由题意得，/8=57米，PE=30米，NA=NDR4=37°,NPCF=NHPC=45°,

在RtzM尸E中，ZAEP=90Q,

pg

，tan37°=i^-^0.75.

AE

AE^-^-.3Q

=40（米）,

0.750.75

：.BE=AB-AE^51-40=17（米）,

，CF=17米,

VZPFC=90",ZPCF-45°,

...△PC/是等腰直角三角形，

，PF=CF=17米，

：.BC=EF=PE-PF=30-17=13（米）,

答：教学楼8c高约为13米.

15.解：过/作交CD的延长线于"，如图所示:

设/A/=x米,

由题意得：CO=5米，ZACM=30°,NBDM=45°,

在RtzX/CW中，tan/4cA/=&^=tan30°=—,

CM3

/.CM=\T5AM=\[3X米，

Dir

在中，tanN8OM=%=tan45°=1,

DM

：.DM=BM=AM+AB=（x+3）米,

•.•CA/-Z）M=CC=5米，

V3x-（x+3）=5,

解得：x=4（VS+l）,

：.BM=4（V3+1）+3=4^3+7^14（:米）,

答：飞机飞行的高度约为14米.

16.解：（1）过。作。尸于尸，如图：

北

西一卜^东

南

由已知可得四边形ACDF是矩形，

：.DF=AC=200米，

•.•点。在点E的北偏东45°,即/。EF=45°,

.•.△DE/是等腰直角三角形，

AZ)£=V2Z)F=20072«283(米)；

(2)由(1)知△£)•是等腰直角三角形，Z)E=283米，

.\EF=DF=200米，

•.,点8在点”的北偏东30°,即/胡8=30°,

AZABC=30°,

♦.7C=200米，

，/18=2/C=400米，BChB”-AC2=200A/3米，

：80=100米，

,经过点B到达点D路程为^5+5/)=400+100=500米，

CD=BC+BD=(20(h/3+100)米，

：.AF=CD=(20(h/3+100)米，

；.AE=AF-EF=(20(h/3+100)-200=(200爪-100)米,

，经过点E到达点D路程为AE+DE=20043-100+20072七529米,

V529>500,

,经过点8到达点。较近.

17.解：过点。作于点/7,过点。作。GJ_8C于点G,如图所示:

北

则四边形G0H8是矩形,

：.GD=BH,DH=GB,

根据题意，。=300米，NCDG=37°,

：.DG=CD-cos37°^300X0.80=240（米）,

CG=CZ）・sin37°^300X0.60=180（米）,

"8=240米,

♦.18=450米，ND4H=65°,

."4=210米,

：.DH=AH•tan65Q-210X2.14=449.4（米）,

/.BC=CG+BG=180+449.4=629.4^629（米）,

菜园与果园之间的距离为629米.

18.解：过点尸、M分别作尸C_LZB于C,于。,

交的延长线于点C、D.

由题意可知：48=60X1.5=90海里,

则四边形PC。河为矩形,

：.PC=MD,

设PC=x海里,

在RtZi4PC中，/C=tan45°・PC=x,

在RtZXBPC中，8C=tan22°-PC^OAx,

♦：AC-BC=AB,

.*.x-0.4x=90,

解得：x=150,

：.MD=\50,

在中，BM=—肛，=l§2=250（海里）,

cos530.6

答：渔船离避风港的距离8/为250海里.

在RtAPBE中,NPBE=45°,BP=2（h/^海里,

:.BE=PE=2。海里,

在Rt^XPE中，tan55，二普，