专题16三角函数的概念及诱导公式（原卷版）

专题16三角函数的概念及诱导公式【考点预测】1、任意角（1）角的概念（2）正角、负角、零角（3）象限角（4）终边相同的角2、弧度制（1）弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）弧度与角度的换算（3）关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．3、三角函数的概念（1）三角函数的定义一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）．正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数，；余弦函数，；正切函数，（）．设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为．可以证明：；；．（2）几个特殊角的三角函数值，，，的三角函数值如下表所示：函数不存在不存在（3）三角函数值的符号（4）诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数值相等．，，，其中．4、同角三角函数间的基本关系（1）平方关系．（2）商数关系．作用：（1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；（2）化简三角函数式；（3）证明三角函数恒等式．5、诱导公式（1）公式二，，．（2）公式三，，．（3）公式四，，．小结：（1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．（2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：（4）公式五，．（5）公式六，．小结：，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号．【典型例题】例1．（2022·湖北宜昌·高一期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．例2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六高一期末）已知，且.(1)求的值；(2)求的值.例3．（2022·广东深圳·高一期末）如图，动点P，Q从点出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间､相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长.例4．（2022·宁夏·银川高一期末）（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.例5．（2022·广西·桂林市临桂区五通高一期中）(1)化简：；(2)已知角的终边经过点，求，的值；例6．（2022·江西省万载高一期中）（1）化简：（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.【过关测试】一、单选题1．（2022·山东东营·高一期中）若是锐角，则，是（

）A．第一象限角 B．第三象限角C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角2．（2022·浙江·杭州高级高一期末）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（

）A． B． C． D．3．（2022·上海·华师大二附中高一期中）设角属于第二象限，且，则角属于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．（2022·黑龙江大庆·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．5．（2022·北京·北二外附属高一期中）（

）A． B． C． D．6．（2022·河南南阳·高一期中）已知角，且，则（

）A． B． C． D．7．（2022·广西南宁·高一期末）化简：（

）A． B． C． D．8．（2022·福建厦门·高一期末）如图，一质点在半径为1的圆O上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，5s时到达点，则（

）A．-1 B． C． D．二、多选题9．（2022·山东东营·高一期中）在平面直角坐标系中，角的始边为的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．若为钝角，则10．（2022·辽宁·东北育才高一期中）下列四个选项，正确的有（

）A．在第三象限，则是第二象限角B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为C．若角的终边经过点，则D．11．（2022·山东济宁·高一期末）（多选）已知，，则（

）A． B．C． D．12．（2022·黑龙江·大庆实验高一期中）下列计算或化简结果正确的是（

）A．若， B．若，则C．若，则 D．若为第二象限角，则三、填空题13．（2022·重庆高一期末）如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.14．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知角，则_______________________．15．（2022·安徽·砀山高一期中）已知，则______．16．（2022·辽宁·东北育才高一期中）若，，且，则的最大值为______．四、解答题17．（2022·广西梧州·高一期中）已知扇形的周长为30．(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;(2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径.18．（2022·新疆喀什·高一期末）已知，且为第二象限角(1)求的值；(2)求的值.19．（2022·山东东营·高一期中）已知角满足(1)若角是第三象限角，求的值;(2)若，求的值.20．（2022·上海市光明高一期中）（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由.（2）若，，求的值.21．（2022·陕西