专题09三角函数与三角恒等变换（练）【解析版】

第一篇热点、难点突破篇专题09三角函数与三角恒等变换（练）【对点演练】一、单选题1．（2022·河南·民权县第一高级模拟预测（文））若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由，可得，进而可得，代入中即可得答案.【详解】解：因为，所以，所以.故选：C.2．（2022·贵州·镇远县文德民族中高三阶段练习（文））若函数在区间上的最大值是，则（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】把函数化为的二次函数,根据求出函数的最大值,由此求得的值.【详解】函数由,得,所以时,函数在区间上取得最大值,解得故选:3．（2022·安徽·阜阳师范大学附属高三阶段练习）函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得，，可得出A、B项错误；根据，可得出D项错误.【详解】由已知可得，定义域为R，且，所以A、B项错误；又，所以为偶函数.又，所以D项错误，C项正确.故选：C.4．（2023·全国·高三阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式化简已知等式可求得，结合二倍角公式，由正余弦齐次式的求法可求得结果.【详解】由得：，即，，.故选：B.二、多选题5．（2022·安徽·阜阳师范大学附属高三阶段练习）已知函数在区间上单调递减，将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则（

）A．的最小正周期为B．C．图像的一个对称中心为D．【答案】BC【分析】由单调性得函数的半个周期不小于区间的长度，从而确定的可能取值，然后代入检验的单调性从而确定的值，得函数解析式，可判断D，然后求出周期判断A，利用诱导公式变形判断B，代入检验确定对称中心判断C．【详解】由题意的周期，所以，又，则，时，，时，，在此区间上不递减，时，，在此区间上递减，时，，在此区间上不递减，时，，在此区间上不递减，所以，，，D错误；的最小正周期是，A错；，B正确；，，所以是的图像的一个对称中心，C正确；故选：BC．6．（2022·江苏省镇江第一高三阶段练习）已知函数，则下列各选项正确的是（

）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递减D．函数在上恰有4个极值点【答案】ABD【分析】利用整体代入法求对称轴和对称中心即可判断AB选项；利用代入检验法判断C选项；利用正弦函数的图象确定极值点的个数，即可判断D选项.【详解】A选项：令，整理得，令得，所以是的一条对称轴，故A正确；B选项：令，整理得，令得，所以是一个对称中心，故B正确；C选项：当时，，因为在上单调递增，所以在时单调递增，故C错；D选项：当时，，根据正弦函数的图象可得在上有4个极值点，所以在上恰有4个极值点，故D正确.故选：ABD.三、填空题7．（2022·对外经济贸易大学附属（北京市第九十四）高三阶段练习）若函数，满足对任意实数，有，则的单调递减区间是______.【答案】，【分析】根据得到关于对称，从而求出，求出解析式，得到递减区间.【详解】因为，所以关于对称，，因为，所以故，故，令，，故，，故的单调递减区间为，.故答案为：，.8．（2022·山东临沂·高三期中）已知，则___________.【答案】【分析】由诱导公式及万能公式进行求解.【详解】由诱导公式及二倍角公式得：，分子分母同除以得：，由诱导公式可得：，所以.故答案为：.四、解答题9．（2023·全国·高三阶段练习）已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)当时，求函数的值域．【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间是(2)【分析】（1）先由三角函数的恒等变换化简得，即可得周期，解可得单调减区间；（2）先求出的范围，结合正弦函数的图象即可求解【详解】（1），所以最小正周期为，由，得单调递减区间是；（2）当时，，则，即时，有最小值为，，即时，有最大值为，所以此时的值域为．10．（2022·陕西·礼泉县第二高三阶段练习（理））已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合图象和，求得ω的值，再根据求得，即可得的解析式；（2）根据函数图象的变换求出的解析式，再结合正弦函数的图象运算求解.【详解】（1）由图可得：，即，则，故，∵，即，则，∴，则，又∵，则，故.（2）根据题意：将函数的图象向左平移个单位，得到，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数，∵，则，由题意可得：直线与函数有两个不同的交点，又∵，则，∴，当且仅当，即时，，故，则可得：，即，故的取值范围为.【冲刺提升】2023三角函数恒等变换一、单选题1．（2022·河南·安阳模拟预测（文））函数图像大致为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和极限的思想，即可得出答案.【详解】解：易得函数定义域为，已知函数，，函数为奇函数，排除A选项；当时，，，，则，所以，排除C选项；当时，，，，则，所以，排除D选项；故选：B.2．（2022·陕西·汉阴县第二高级一模（文））设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正切函数的对称中心得到，，再对各选项逐一检验分析即可.【详解】根据题意得，，则，又，则，，对于A，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故A错误；对于B，由得，满足条件，故B正确；对于C，由得，与矛盾，故C错误；对于D，由得，与矛盾，故D错误.故选：B.3．（2022·江苏省镇江第一高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，角满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据角终边上点的坐标得到，根据和差公式和得到，最后利用诱导公式和二倍角公式化简得到即可求值.【详解】因为角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，所以，又，所以，整理得，所以，.故选：C.4．（2022·陕西·礼泉县第二高三阶段练习（理））已知函数，下列说法错误的是（

）A．的图象的一个对称中心为B．的图象的一条对称轴为直线C．在上单调递增D．函数的图象向左平移个单位长度后得到的是一个奇函数的图象【答案】A【分析】代入法验证A、B的正误；应用整体法求的递增区间判断C；根据图象平移及正弦函数的性质判断D.【详解】对A：∵，∴不是的图象的对称中心，A错误；对B：∵为最小值，∴直线是的图象的对称轴，B正确；对C：令，则，故的单调递增区间为，当时，在上单调递增，C正确；对D：函数的图象向左平移个单位长度后得到，是奇函数，D正确；故选：A.5．（2022·天津市第二耀华高三阶段练习）已知函数，给出以下四个命题：①的最小正周期为；②在上的值域为；③的图象关于点中心对称；④的图象关于直线对称.其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先利用二倍角公式、辅助角公式得到，再利用周期公式、正弦函数的图象与性质进行判定.【详解】对于①：因为，所以周期为，即①正确；对于②：因为，所以，所以，，则的值域为，即②错误；对于③：因为，所以的图象不关于点中心对称，即③错误；对于④：因为为的最大值，所以的图象关于直线对称，即④正确；所以正确命题为①④，共2个正确命题.故选：B.6．（2022·山东临沂·高三期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对变形后，只需比较与的大小，从而构造，，求导，得到其单调性，从而得到，即，；在利用对数运算得到，先构造，，求导后得到单调性，求出，，再构造，，求导后得到单调性，从而求出，求出，得到.【详解】要比较的大小，只需比较与的大小，即与的大小，故可比较与，当的大小，令，，则，因为，所以恒成立，故在上单调递增，故，令，则，即，故，，，所以，，令，，在上恒成立，故，所以，，则，构造，，在上恒成立，故在单调递减，所以，故，故，即，综上：.故选：D【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对变形后，构造，比较的大小，对变形，先得到，再构造，，比较出，得到答案.二、多选题7．（2022·广东·肇庆市第一高三阶段练习）已知向量，函数，则（

）A．的最大值为2B．直线是图象的一条对称轴C．点是图象的一个对称中心D．在上单调递减【答案】ACD【分析】根据向量数量积求出解析式，再根据三角函数正弦函数的性质进行判断即可.【详解】因为，所以的最大值为2，A正确；因为，，所以B错误，C正确；令，，解得，，所以的单调递减区间为，，所以D正确.故选：ACD三、填空题8．（2022·湖南·慈利县第一高三阶段练习）若曲线在在，两点处的切线互相垂直，则的最小值为________．【答案】##【分析】化简可得，求出导数可得切线斜率在范围内，即可得出切线斜率必须一个是1，一个是，即可求出.【详解】，曲线的切线斜率在范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在，两点处的切线斜率必须一个是1，一个是.不妨设在A点处切线的斜率为1，则有，，则可得，所以.故答案为：.9.（2022·广西贵港·高三阶段练习）已知函数在区间上有且仅有3个极值点，给出下列四个结论，正确的序号是_______________.①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增.【答案】②④【分析】由函数在区间上有且仅有3个极值点,，即,可求出判断出,再利用三角函数的性质依次可判断.【详解】由题意可知，要使得函数在区间上有且仅有3个极值点，只需，解得，故③错误；又，故的最小正周期可能是，故②正确；当，即时，在区间上有且仅有2个不同的零点，故①错误；由得，由可知，故在上单调递增，即在区间上单调递增，故④正确.故答案为:②④.四、解答题10．（2022·河北张家口·高三期中）已知函数的最小正周期为．(1)求的值，并在上面提供的直角坐标系中画出函数在区间上的图象；(2)函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？【答案】(1),图象见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据函数的解析式可得，由最小正周期为可计算的值；根据解析式利用五点作图法可画出函数在区间上的图象；（2）根据三角函数图象平移变换规律即可得出结果.【详解】（1）由题意可知，即，所以此时，函数的最小正周期为，所以，即函数的解析式为.根据五点作图法列表如下：画出图像如图所示：（2）根据三角函数图象伸缩变换规律可知，第一步：首先将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象；第二步：再将所得到的函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得到函数的图象.11．（2022·湖南·慈利县第一高三阶段练习）已知．(1)求的单调递增区间；(2)若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，再结合三角函数性质求解，（2）转化为与图象有两个交点，数