专题3切线问题（教师版）

专题3：切线问题<<<专题综述>>><<<专题综述>>>应用导数的几何意义探究函数的切线问题高考考查的热点，常见题型有求切线方程、探究切线的条数、由切线方程或切线方程的条数求参变量的值或范围、公切线问题，公切线问题是2022年高考的新题型之一.<<<专题探究>>><<<专题探究>>>1.切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A,这样直线AB的极限位置就是曲线在点A处的切线.2.函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3.求曲线切线方程的一般步骤：（1）求出y=f(x)在x=x0处的导数，即y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率（当曲线y=f(x)在P处的切线与y4.对于两个（或两个以上）函数的两条切线重合时，称该切线为两个（或两个以上）函数的公切线即：对于函数y=fx和y=gx，若直线l既与曲线y=fx相切，也与曲线y=gx相切.则称直线l为函数y=f函数公切线问题，一般最后转化为方程的解的个数问题，然后转化为函数的零点个数问题，因此解决函数公切线问题，充分应用“转化与化归”的思想和“函数与方程”的思想；公切线问题的实质是导数几何意义的综合应用，将曲线间的位置关系转化为函数的单调性、凹凸性、极（最）值、零点等，然后通过运算求解或推理论证而解决问题；解决公切线问题至少有三种思维切入方式：①利用两切线重合；②构造函数，转化为函数的最值；③凹凸反转，利用切不等式放缩.题型一：题型一：公切线问题题设情境是两常系数函数公式条数的探究及求公切线方程，因此分别设函数的切点坐标，求得相应的切线方程，利用公式的几何特征即两函数的切线为同一直线，因此联列方程组消元后得到关于其中一个切点模坐标的方程，然后应用导数和零点定理讨论方程解的个数，求方程特殊根相应的切线方程.例1(2022·浙江省温州市期末)已知函数f(x)=x 2-2，g(x)=4lnx-2(a>0)．则函数f(x)与g(x)的图象是存在公切线【思路点拨】由函数f(x)与g(x)的图象存在公切线，设公切线与函数f(x)=x2-2、g(x)=4ln x-2上的切点分别为x1,x21-2，x2,4lnx2-2，由导数的几何意义分别求得切线的方程，由公切线的意义及两直线重合的条件列方程组，消元后将问题转化为x21-4lnx1+4ln由题设函数f(x)与g(x)的图象存在公切线，

设公切线与函数f(x)=x2-2、g(x)=4ln x-2上的切点分别为x1,x21-2，x2,4lnx2-2，

因为则x2=1x1>0，可知x1>0，将x2=1x1代入(2)可得x21-4lnx1+4ln2-4=0，

函数f(x)与g(x)的图象存在公切线，则x21-4lnx1+4ln2-4=0(x1>0)有解，

设mx=x2-4lnx+4ln2-4，x>0练1（湖北省武汉市第一中学20222023学年高三上学期10月月考）已知曲线C1:y=x∙exx>0和C2:y=x-2ex-2.若直线l与曲线C1,【规范解析】依题设直线l与曲线C1的切点为Px1,x1因为y∴又y'∴两切线重合则有：1+由1因为函数y=x+1ex在0,+∞上递增，所以得x12-x1故P的横坐标为5练2（浙江省名校协作体20222023学年高三下学期开学联考）已知函数fx（1）证明：fx恰有两个零点x1,x（2）设x0是fx的一个零点，证明：y=1x0x+ln【规范解析】（1）函数fx=lnx-x+1f'x=1x+2x-12因为fe=1-所以fx在1,+∞上存在唯一零点x1，即所以0<1x1<1，且f1x1所以fx恰有两个零点x1,（2）因为x0为fx的零点，则lnx0=x0所以曲线y=lnx在x0,lnx由lnx0=x0当曲线y=ex切线斜率为1x0时，即ex则过切点-lnx0,1x由lnx0=x0+1x0-1故y=1x0x+lnx题型二：题型二：含参变量的切线问题题设情境是讨论三次多项式型函数单调性和极值，已知函数切线条数求参变量的取值范国.第（1）问应用导数研究函数单调性和极值的基本方法，通过分类与整合思想求解；第（2）应用导数的几何意义求得过点P的切线方程,应用参变分离方法和数形结合思想,探究存在三条切线的充分条件,从而求得实数m的取值范围.例2（吉林省长春市长春吉大附中实验学校20222023学年高三上学期摸底考试）已知函数fx（1）求函数fx（2）若函数fx满足fx+f-x=4，且过点P1,mm≠【思路点拨】第（1）问由题设求得f'x=x2-ax+a-1=x-1x-a+1，由f'(x)=0可知得x=1或x=a-1两个根，然后a-1与1的大小关系分类讨论函数f(x)的单调性，便可得到函数f(x)的极值；第（2）问首先由fx+f-x=4求出参数a的值，从而可求得过点P的切线方程y-13x03-x0+2=x02-1x-x【规范解析】(1)f'x=x2-ax+a-1=x-1①若a-1=1，即a=2，则f'x=x-12②若a-1>1，即a>2，则当x<1或x>a-1时，f'x>0；当故fx在-∞,1和a-1,+∞单调递增，在1,a-1单调递减，极大值为f极小值为fa-1③若a-1<1，即a<2，则当x<a-1或x>1时，f'x>0；当fx在-∞,a-1和1,+∞单调递增，在a-1,1极大值为fa-1=-1综上可知，当a=2时，fx的单调递增区间为-∞,+∞当a>2时，fx的单调递增区间为-∞,1和a-1,+∞，单调递减区间为1,a-1极大值为f1=1当a<2时，fx的单调递增区间为-∞,a-1和1,+∞，单调递减区间为a-1,1极大值为fa-1=-1(2)由fx=1可得a=0，所以fx=1设曲线y=fx与过点P则切线的斜率为k=x02因为点P1,m所以m-13x03过点P1,mm≠43可作曲线y=因为g'x=-2x2+2x=-2xx-1所以当x<0或x>1时，g'x<0；当0<x<1时，g'x>0，gx在-∞,0和1,+∞上单调递减，在0,1则gx从而由y=m与g(x)的图像有三个交点，可得1<m<4所以实数m的取值范围是1,4练3（湖北省武汉市武昌区2023届高三上学期质量检测）当a>0时，过点a,a+b均可以作曲线y=lnx的两条切线，则b的取值范围是（A．(-∞,-1) B．(-∞,-1] C．(-1,+∞) D．[-1,+∞)【规范解析】设过点a,a+b的切线与y=lnx相切于m,n,m>0，则有n=1-am=lnm-所以关于m的方程1-am=lnm-令y1只需y1与y2有两个交点.对于则y2'=-a解得：x>a；令y2'<0所以y2在0,a上单调递减，在a,+∞单调递增.作出y要使y1与y2有两个交点，只需b>记ga=ln令g'a>0，解得0<a<1所以ga=lna-a在所以ga的最大值为g1=故选C.练4.(2022·河南校考阶段练习)若函数fx=4lnx+1与函数gx=axA.1,32 B.1,32【规范解析】由题意，设fx的切点为x1,4lnx1+1，注意到函数fx的定义域为0,+∞，

又因为函数fx的导数为f'(x)=4x，

所以切线为：y-4lnx1+1=4x1(x-x1)，即y=4x1⋅x+4lnx1-3，(x1>0).

设gx的切点为x2,ax22-2x2，因为函数gx的导数g'x=2ax-2，(a>0)，

故切线为：y-(ax22-2x所以当x∈0,1时，有mx<0，即得h'x<0，

当x∈从而函数hx在区间0,1上单调递减，在区间1,于是当x∈0,e34时，为h1=1+212-14ln1-3=9×-1故选D．练5（天津市咸水沽第一中学20212022学年高三上学期第二次月考）已知函数f(x)=x(1)若a=-2，求函数f(x)的极小值点；(2)当x∈(0,2]时，讨论函数f(x)的图象与函数y=(a+2)x-2a-2的图象公共点的个数，并证明你的结论．【规范解析】(1)当a=-2时，f(x)=x2-2lnx，所以f当0<x<1时，f'(x)<0，当x>1时，f'(x)>0，所以(2)当x∈(0,2]时，令g(x)=x则g'当a≤0时，0<x<1时，g'x<0，1<x≤2所以当x=1时，gx取得极小值，且x→0，gx当g1=a+1>0，即-1<a≤0，函数f(x)的图象与函数当g1=a+1=0，即函数f(x)的图象与函数y=(a+2)x-2a-2的图象有1个公共点；当g1=a+1<0g函数f(x)的图象与函数y=(a+2)x-2a-2的图象有2个公共点；当g1=a+1<0g函数f(x)的图象与函数y=(a+2)x-2a-2的图象有1个公共点；当0<a2<1，即0<a<2时，0<x<a2或x>1所以当x=a2时，gx取得极大值，当x=1时，gx取得极小值，且x因为g1所以函数f(x)的图象与函数y=(a+2)x-2a-2的图象只有1个公共点；综上：当-1<a≤0时，函数f(x)的图象与函数y=(a+2)x-2a-2的图象无公共点；当a=-1或a<-2ln2f(x)的图象与函数y=(a+2)x-2a-2的图象只有1个公共点；当-2ln2≤a<-1时，函数f(x)的图象与函数y=(a+2)x-2a-2题型三：题型三：利用切线放缩证明不等式题设情境是讨论含参变量函数的单调性,证明常系数不等式和与函数零点相关的不等式.第(1)问应用导数研究函数单调性的基本方法，通过分类与整合思想求解；第(2)问等价变形不等式,应用数学抽象构造函数,应用导数研究函数最值的基本方法求函数最值而证明不等式;第(3)小问借助研究问题的整体性意识,由第(2)问求解启示,应用切线放缩技巧证明,即利用函数在某点处的切线位于函数下方,从而直线y=m与函数的交点之间的距离小于直线y=m与两切线的交点之间的距离.例3（湖南省长沙市第一中学20222023学年高三上学期月考）已知函数f(x)=xlnx-a(x-1)，其中（1）求函数f(x)的单调区间；（2）当a=0时，①证明：fx②方程fx1=fx2=m有两个实根【思路点拨】第（1）问由函数f(x)=xlnx-a(x-1)，求得f'(x)=1+lnx-a，应用导数正负取值与函数单调性的关系，即可求解函数f(x)的单调区间；第（2）问①证明不等式恒成立，通过构造函数g(x)=xlnx+x+1e2，求得g'(x)=lnx+2应用导数与函数最值的关系，求得函数g(x)的最小值即可证明；②根据函数的单调性及极值点，数形结合判断方程有两个根的情况m的取值范围及两根的取值范围，联立直线y=-x-1e2与y=m，求解交点横坐标【规范解析】（1）由已知函数的定义域为(0,+∞)，且f'所以当x∈0,ea-1时，此时f'(x)<0所以当x∈ea-1,+∞时，此时f'(x)>0所以函数f(x)单调递减区间为0,ea-1，单调递增区间为（2）当a=0时，①要证不等式f(x)≥-x-1e2成立，即证明即证明xlnx+x+1当x∈0,e-2时，此时g'(x)<0所以g(x)在0,e-2上单调递减，在所以g(x)最小值为ge-2=0，g(x)≥②由①得xlnx≥-x-1e2恒成立，即直线y=-x-又f'x=lnx+1，所以在点（1,0）处的切线方程为令tx=xlnx-x+1所以当x∈0,1时，此时t'(x)<0，函数t(x)单调递减区间为0,1所以当x∈1,+∞时，此时t'x>0，函数t(x)所以tx≥t1即直线y=x-1始终在曲线y=xln设y=-x-1e2与y=x-1则x3=-1所以x3≤x练6(2022·安徽省合肥市模拟)已知函数fx=ex-2，函数g(1)求a的值；(2)求证：(=1\*GB3①)f【规范解析】(1)显然a≠0，g'(x)=a(1-lnx)x2，由g'(x)=0得x=e，

若a<0，当x∈(0,e)时，g'(x)<0，g(x)单调递减;当x∈(e,+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增．

g(x)没有最大值，不符合题意．

若a>0，当x∈(0,e)时，g'(x)>0，g(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减．

g(x)有最大值g(e)=ae，故a=2．

(2)(i)由f(x)=ex-2，得f'(x)=ex-2，设切点坐标为(x1,ex1-2)，

切线为y-ex1-2=ex1-2(x-x1)，即y=ex1-2x+(1-x1)ex1-2过原点，

所以(1-x1)ex1-2=0，故x1=1，故切线方程为y=1ex;

由(1)知g(x)=2lnxx，g'(x)=2(1-lnx)x2

设切点坐标为(x2,2lnx2x2)，切线为y-2lnx2x2=2(1-lnx2)x22练7（四川省成都市第七中学20222023学年高三上期诊断模拟考试）已知函数fx=ex-2x-(1)试讨论函数fx(2)当a>1时，设函数hx=fx-gx的两个极值点为x1、【规范解析】(1)由fx=0可得a=ex-2x-1则函数fx的零点个数等于直线y=a与函数pp'x=exx-∞,lnlnp-0+p减极小值1-2增如下图所示：当a<1-2ln2时，函数fx无零点；当a=1-2当a>1-2ln2时，函数f(2)∵hx=fx所以，h'x=上述两个等式作差得ex要证ex2-因为p0=0，设函数px的图象交x轴的正半轴于点x因为函数px在ln2,+∞上单调递增，p1=e-3<0设函数px的图象在x=0处的切线交直线y=a于点A函数px的图象在x=x3处的切线交直线y=a因为p'0=-1，所以，函数px的图象在联立y=ay=-x可得x=-ay=a，即点构造函数mx=px+x=e当x<0时，m'x<0当x>0时，m'x>0，此时函数m所以，对任意的x∈R，px≥-x，当且仅当由图可知x1<0，则p所以，x1因为px3=函数px在x=x3联立y=ex3-2x-因为a2所以，x2构造函数nx=ex-2x-1-ex当x<x3时，n'当x>x3时，n'x>0所以，对任意的x∈R，px≥e所以，px2=因此，x2-<<<专题训练>>><<<专题训练>>>1.（江苏省南通市启东市吕四中学20222023学年高三下学期开学检测数学试题）过定点P1,e作曲线y=aexa>0的切线，恰有2条，则实数【解析】由y'=aex，若切点为∴切线方程为y=aex0∴aex0(2-x令g(x)=eex(2-x)，即原问题转化为g(x)与①当x>2时，g'(x)>0，g(x)递增，且②当2>x>1时，g'(x)>0，g(x)递增；当x<1时，g'(x)<0∴gx≥g1=1，又limx→-∞g(x)→+∞，∴要使a=eex0(2-2．（安徽省名校联盟2023届高三下学期开学模拟）已知曲线C1：y=ex+m,C2：y=x2，若恰好存在两条直线直线l1、l2与A．2ln2-2,+∞ B．2ln2,+∞【解析】设直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2则有k1=e故k1k1同理可得，当直线l2:y=k2x+b2综上所述，只需m=ln令fk=lnk-k4当f'k<0时，k>4，所以fk在故fkmax=f4故选C.3．（天津南开中学2023届高三上学期统练）若函数fx=lnx与函数g(x)=xA．ln12e,+∞C．1,+∞ D．ln2,+【解析】设公切线与函数fx=lnx切于点A(x则切线方程为y-lnx1设公切线与函数g(x)=x2+x+a切于点B(切线的斜率为2x则切线方程为y-(x即y=(2x2+1)x-因为x1>0，所以2x2+1>0，可得-由1x1=2x所以a=ln令t=1x1，则t∈设ht=1所以ht在0,1上为减函数，则ht>h所以实数a的取值范围是-1,+∞，故选4.（2022黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学模拟）设直线l1，l2分别是函数fx=lnx,0<x<1-lnx,x>1，图象上点P1，P2处的切线，且l1与l2垂直相交于点PA．0,1 B．0,3-ln224 C【解析】设P1当0<x<1时，f(x)=lnx，f'(x)=1x；当∴l1的斜率为k1=1x1，P1由l1与l2垂直知k1直线l1的方程为y-lnx1=直线l2的方程为y+lnx2=-1x2x-x2联立直线方程y=1x1x-1+lnx1所以△PAB的面积S=12AB因为对勾函数y=x1+1x1在即S=2故选：A.5.（广西钦州市第四中学20222023学年上学期模拟考试）函数fx=1（1）讨论fx（2）当a>0时,设hx=f'x,hx与gx【解析】（1）fx=12当a=0时，f'x=32当a<0时，令f'x>0→x>0或x<43所以fx在-∞,43a上单调递增，当a>0时，令f'x>0→x>43a或所以fx在-∞,0上单调递增，0,43综上所述：当a=0时，fx在R当a<0时，fx在-∞,43a，上单调递增，当a>0时，fx在-∞,0，上单调递增，0,43（2）hx=f'x设公共点为x0所以h'x=3x-2a,g'x=又因为32x0令φx当x∈0,1e时，φ'x故φx在0,1e所以φxmax=φ1e6.（安徽省滁州市定远县育才学校2022年测试卷）已知函数fx=ax，（1）若曲线y=fx在点x1,fx1处的切线与曲线（2）证明当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线【解析】（1）证明：由f'x=axlna，可得曲线由g'x=1xlna，可得曲线y∵这两条切线平行，故有ax1lna=1两边取以a为底数的对数，得log∴x（2）曲线y=fx在点x曲线y=gx在点x要证明当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线只需证明当a≥e1e时，存在x1即只需证明当a≥e由①得x2=1ax1因此，只需证明当a≥e1e时，关于设函数ux=ax-xu'x=1-lna2xax，可知又u'0=1>0故存在唯一的x0，且x0>0，使得u由此可得，ux在-∞,x0上单调递增，在x0,+∞上单调递减，u又a≥e1故ux下面证明存在实数t，使得ut<0，因为当x>1lna∴存在实数t，使得ut<0．因此，当a≥e1∴当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y7．（湖北省荆州市沙市中学20222023学年高三上学期月考）已知函数f(x)=e（1）讨论g(x)的单调性；（2）若a=1，直线l与曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都相切，切点分别为Px1,求证：x2【解析】（1）g(x)定义域为(0,+∞)，因为g'若a≥0，则g'(x)>0，所以g(x)在若a<0，则当x∈(0,-a)时，g'(x)<0，当x∈(-a,+∞)时，所以g(x)在(0,-a)单调递减，在(-（2）证法一：对于曲线y=f(x)，f'直线l的方程为y