第2章 基本几何元素的投影

§2－1点的投影第2章点、线、面的投影§2－2直线的投影§2－3平面的投影HVX水平投影面正面投影面o1.点在三投影面体系中的投影W侧面投影面aa'a"YZaxayazAVWHoXYHYWZa'aa"axaz展开§2-1点的投影§2－1点的投影点到投影面的距离与点的坐标2.点的投影规律a'a

OXa'a"

OZa'ax＝点到H之距＝点的Z坐标a'az＝点到W之距＝点的X

坐标aax

＝a"az＝点到V之距＝点的Y

坐标oXYHYWZa'aa"axazaax

＝a"azHVXoWaa'a"YZaxayazA§2-1点的投影aa"用坐标表示点的空间位置XZYHYWxzyy(y,z)(x,z)(x,y)oA(x,y,z)例:求点的侧面投影a'3.点的坐标及立体图§2-1点的投影VHW例：画出点A(15,5,10)的投影及空间位置XoZYHYWa'aa"aa'a"A3.点的坐标及立体图45°§2-1点的投影e"XZYHYW例：根据点的两面投影求第三投影a"辅助线b'bb"d'dd"f'f"f45°ee'g'g"cc'c"a'ag4.特殊位置的点§2-1点的投影YXZ5.两点的相对位置及重影点两点中x值大的点

——

在左两点中y值大的点——

在前两点中z值大的点——

在上a

a

ab

b

bBA§2-1点的投影ZYH

YW

Xb

b

bOa

a

a例：已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。a

a

a985§2-1点的投影b

b

bZYH

YW

X()

a"例:比较两点的相对位置称点A、点C为对W面的重影点a'ab'bb"c'cc"点B在点A的右、下、前方点C在点A的正左方XZYHYWo§2-1点的投影c'()例:重影点及其投影的可见性水平重影点()a'

a"ab'bb"XYHYWod'

d"dcc"XYWoZZ正面重影点YH

cd

(c

)dCDa(b)a

b

ABVH§2-1点的投影直线的投影由两点的同面投影的连线确定a'abb'a"b"§2-2直线的投影§2－2直线的投影1.直线对一个投影面的投影特性平行垂直倾斜ABABABaba

bab

P§2-2直线的投影反映实长实形性积聚成点

积聚性ab=ABCos

类似性2.直线在三投影面内各种位置⑴投影面的平行线—平行于一个投影面，倾斜其它两个投影面—∥V面正平线，∥H面水平线，∥W面侧平线⑵投影面的垂直线—垂直于一个投影面—⊥V面正垂线，⊥

H面铅垂线，⊥

W面侧垂线⑶一般位置直线—倾斜三个投影面§2-2直线的投影YXZ(1)投影面的平行直线aa

b

a

bb

Xa

b

a

b

baOzYHYW

AB投影特性3.直线在三投影面体系中的投影特性α=AB＾Hβ=AB＾Vγ=AB＾W1.在平行投影面上的投影反映实长及与另两投影面的倾角2.另两投影分别平行相应的投影轴§2-2直线的投影名称立体图投影图投影特性水平线（∥H）正平线（∥V）侧平线（∥W）(1)a

b

∥OX,

a

b

∥OYW；

(2)ab=AB；

(3)反映夹角、

大小(1)ab∥OX,

a

b

∥OZ；

(2)a

b

=AB；

(3)反映夹角、大小(1)ab∥OYH,

a

b

∥OZ；

(2)a

b

=AB；

(3)反映夹角、大小投影面平行线§2-2直线的投影b

a(b)a

a

b

Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

（2）投影面的垂直直线投影特性在所垂直的投影面上的投影积聚成一点另两投影分别垂直相应的投影轴且反映实长AB§2-2直线的投影YXZO名称立体图投影图投影特性铅垂线（

H）正垂线（

V）侧垂线（

W）(1)H投影为一点，有积聚性；

(2)a

bOX,

a

b

OYW；

(3)a

b=a

b

=AB(1)V投影为一点，有积聚性；

(2)abOX,

a

b

OZ

；

(3)ab=a

b

=AB(1)W投影为一点，有积聚性；

(2)abOYH,

a

b

OZ

；

(3)ab=a

b

=AB投影面垂直线§2-2直线的投影()()()()()()直线相对于投影面的位置可归结为几类？VWH

(3)一般位置直线ZXa

b

aOYYa

bb

投影特性：三个投影皆为倾斜直线，且均不反映实长、夹角.ZYX§2-2直线的投影投影面垂直线投影面平行线投影面平行线投影面垂直线一般位置直线水平线：∥H面正平线：∥V面侧平线：∥W面铅垂线：

H面正垂线：

V面侧垂线：

W面特殊位置直线归纳直线相对于投影面的位置§2-2直线的投影例题2例:根据直线的两投影判断其空间位置.XOg'gXOa'ab'bXOcd'dhh'正平线侧平线水平线一般位置直线侧垂线铅垂线c'Oaa“c'ZZOa'b'ba'b'd'b“c“d“§2-2直线的投影25XOZYHYWa'aa"30°b"b'b例：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角

=30°。§2-2直线的投影4.属于直线的点a'b'abc'c点的投影在直线的同面投影上点将线段分割成定比——定比定理

ac/cb=a'c'/c'b'=AC/CB判定a'b'bak'k点K属于直线AB吗?§2-2直线的投影e'edd'c'ab'a'bXc例:判断点C、D、E是否在直线AB上.C

ABD

ABEAB§2-2直线的投影例：在直线AB上取一点C，使其到V面为20mm。bab’a’XOc’c20例：在直线EF上找一点K,使EK:KF=2:3。fef

’e’XOk’k§2-2直线的投影5.两直线的相对位置平行相交交叉垂直（1）两直线平行投影特性：同面投影平行ab//cda'b'//c'd'

且长度成比例a'b'c'd'abcd§2-2直线的投影例:已知AB、CD两直线平行,完成CD的投影.b

aa

d

bbcc

Xb

a

abdc

d

c§2-2直线的投影（2）两直线相交交点为共有点直线的同面投影必相交交点符合点的投影规律投影特性：b'abc'd'cdk'ka'§2-2直线的投影例:直线AB与CD相交,完成CD的投影.b

Xa

abk

c

d

dckb

a

abABdcc

d

CDOk

kK§2-2直线的投影例：过点A作直线AB，与直线CD相交。a'ac'd'cd例：过点A作水平线AB，与直线CD相交。a'ac'd'cd无数解唯一解b'bb'b§2-2直线的投影（3）两直线交叉

凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。b

Xa

abc

d

dc11

(2

)2b

a

abABdcc

d

D1ⅡC1(2

)Ⅰ2§2-2直线的投影例：判断两直线的相对位置a"c"d"b"a'b'c'd'abdcc'd'a'b'a"b"c"d"abcd§2-2直线的投影()()a'b'c'd'cabd交叉两直线重影点的可见性判断a

b

bac

d

dcABCVHoX433'4'2'1'12X1

2

(3

)4

121(2)4343D§2-2直线的投影1.平面表示法a'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abc几何元素表示法a'b'c'abc§2-3平面的投影§2－3平面的投影2.平面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平面//P平面P反映实形实形性积聚成直线

积聚性类似图形

类似性P平面P§2-3平面的投影⑴投影面的垂直面—垂直于一个投影面，倾斜其它两个投影面—⊥V面正垂面，⊥H面铅垂面，⊥W面侧垂面⑵投影面的平行面—平行于一个投影面—∥V面正平面，∥H面水平面，∥W面侧平面⑶一般位置平面—倾斜三个投影面平面在三个投影面的各种位置§2-3平面的投影平面

某一投影面投影面垂直面

V正垂面铅垂面

H

W侧垂面VWHVWHVWH（1）投影面垂直面§2-3平面的投影投影面垂直面

投影特性在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，且反映平面与另两投影面倾角的真实大小另两投影为类似图形a'b'c'c"b"a"acbVWH§2-3平面的投影名称立体图投影图投影特性铅垂面（

H）正垂面（

V）侧垂面（

W）1)H投影为倾斜直线，有积聚性，且反映、大小；

2)V、W投影不是实形，但有类似性1)V投影为倾斜直线，有积聚性，且反映、大小；

2)H、W投影不是实形，但有类似性1)W投影为倾斜直线，有积聚性，且反映、大小；

2)H、V投影不是实形，但有类似性投影面垂直面§2-3平面的投影平面//某一投影面投影面平行面//V正平面水平面//H//W侧平面VWHVWHVWH（2）投影面平行面§2-3平面的投影投影面平行面投影特性在所平行的投影面上的投影反映实形另二投影分别平行于相应的投影轴abca'b'c'c"a"b"VWH§2-3平面的投影名称立体图投影图投影特性水平面（∥H）正平面（∥V）侧平面（∥W）1)H投影反映实形；

2)V、W投影分别为平行OX、OYW轴的直线段，有积聚性1)V投影反映实形；

2)H、W投影分别为平行OX、OZ轴的直线段，有积聚性1)W投影反映实形；

2)V、H投影分别为平行OZ、OYH轴的直线段，有积聚性投影面平行面§2-3平面的投影（3）一般位置平面投影特性：

三个投影平面内的投影均为ABC的类似形，

且不反映

、

、

的真实角度

a"a'b'b"c'c"bac平面对三投影面均倾斜§2-3平面的投影投影面垂直面投影面平行面投影面平行面投影面垂直面一般位置平面铅垂面：

H正垂面：

V侧垂面：

W水平面：∥H正平面：∥V侧平面：∥W特殊位置平面归纳平面相对于投影面的位置§2-3平面的投影例:根据平面的两投影判定平面的位置正平面铅垂面正垂面水平面侧垂面侧平面b'c'a'cbaa'b'c'abca'c'b'acbXXXXZYWb'abc

OXYHa"b"c"a'

b'c'cabc'a'c'a'b'cbaX§2-3平面的投影例：指出立体表面的空间位置,找出相应投影.vwH§2-3平面的投影水平面水平面正平面侧平面侧垂面一般位置平面d'ABCDFEABBCEFABCDc'b'a'd''daa''(b'')bc(f')f''f(e')ee''c''侧垂线一般位置直线正平线侧垂面例、用相应的小写字母在投影图中标出A、B、C、D、E、F的三投影，并填写指定对象的名称。点在平面上的几何条件：点在平面内的一条已知直线上。kbxOaca´b´c´k´1´1bxc´Oaca´