双曲线的简单性质

2.3.2双曲线的简单性质Ⅰ、教学目标：1．了解双曲线的范围、对称轴、顶点、实轴、虚轴、渐近线等概念。2．类比椭圆几何性质的研究方法，自主研究并获得双曲线的几何性质。在经历探究双曲线的几何性质的过程中，体会由数论形的一般方法。

Ⅱ、教学重点难点教学重点：1．双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线。2．进一步理解、运用、感悟从代数角度研究几何的思想和方法。教学难点：1、虚轴的感性接受；2、代数角度研究几何的思想和方法Ⅲ、教学过程一、复习引入：1、复习上节课所讲授的双曲线及其标准方程.师生活动：复习椭圆的范围、对称性是从椭圆方程

的哪些代数特性获得的？

椭圆的顶点、长轴、短轴、中心是如何定义的？类比椭圆几何性质的研究，从双曲线方程，你可以独立发现哪些几何性质？有没有双曲线所特有的性质？二、讲授新课问题1如何研究双曲线的几何性质？师生活动：类比椭圆几何性质的研究方法，对双曲线

的几何性质进行研究．（分别从“形”的角度和“数”的角度分析）追问1：双曲线的范围、顶点、对称性？师生活动：类比椭圆的范围、对称性、顶点的研究，通过方程研究双曲线的范围、对称性、顶点．（1）范围“形”的角度：观察双曲线，可以直观发现双曲线上的（）的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是．

“数”的角度：根据方程①，得到，或；．

由（）的范围，可以发现双曲线不是封闭的曲线．双曲线位于直线及其左侧，以及直线及其右侧的区域，并且两支都向外无限延伸．

（2）对称性“形”的角度：双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称．

“数”的角度：

用-x代x，-y代y，-x，-y，分别代x，y，方程的形式不变，所以双曲线关于坐标轴、原点对称．

双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.

（3）顶点“形”的角度：从图形直观上可以发现双曲线与轴有两个交点和，与轴没有公共点．这与椭圆不同

“数”的角度：令y=0，得到x=a或x=-a，所以和，令x=0,,没有实数解。

追问2：能否类比椭圆把B1（0，－b），B2（0，b）两点画在轴上？线段有何几何意义？

师生活动：引导学生画图，学习线段称为双曲线的虚轴，△是直角三角形，且，，，线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长.并且在紧接着的渐近线的研究中就要用到它．

追问3：在双曲线－＝1位于第一象限的曲线上画一点M，测量点M的横坐标以及它到直线－＝1的距离d，向右拖动点M，观察与d的大小关系，你发现了什么？

师生活动：通过GGB软件作图，在向右拖动点M时，点M的横坐标越来越大，d越来越小，但是d

始终不等于

0.经过两点A1，A2作y轴的平行线x＝±3，经过两点B1，B2作x轴的平行线y＝±2，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是．可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交．一般地，双曲线（,）的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能较为精确地画出它的图形追问4：已知双曲线方程如何求渐进线方程？对于双曲线（,），令

追问5：在双曲线方程（,）中，如果，渐进线是什么？

师生活动：此时方程变为，双曲线的实轴和虚轴的长都等于．这时，四条直线围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．

追问6：双曲线的离心率是什么？与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比

，叫做双曲线的离心率．因为，所以双曲线的离心率追问7：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？师生活动：类比椭圆的离心率，我们猜想双曲线的离心率刻画的也是某种“扁平程度”．由

可知，当逐渐增大时，逐渐增大，即双曲线的渐近线

的斜率逐渐增大，此时双曲线的“张口”逐渐增大，反之也成立．此时的“扁平程度”描述的是双曲线的“张口大小”．因此，双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．

追问8：双曲线的简单几何性质？师生活动：类比焦点在x轴上的双曲线的简单几何性质，让学生得到焦点在y轴上的双曲线的简单几何性质.三、例题分析例1

求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解：把双曲线的方程

9y2－16x2＝144

化为标准方程

.

由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；

，焦点坐标是（0，－5），（0，5）；离心率；

渐近线方程为．

例2

求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8；

（2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8；

解：（1）设双曲线方程为

，由题意可知，

所以双曲线方程为：（2）设双曲线方程为

，由题意可知，c=5,b=4

所以a=3,双曲线方程为：

四、课堂小结（1）

知识要点

（2）

研究方法：1．类比2.数学结合五、课后练习P124

练习1，2，3

教学设计二

学生已经学习了椭圆的标准方程与简单几何性质以及双曲线的标准方程.由于双曲线的相关内容和学习方法与椭圆具有高度的相似性，因此，可以通过与椭圆的简单几何性质进行类比，通过学生合作讨论获得双曲线的简单几何性质的学习方法.下面通过几个教学片段呈现如何通过与椭圆相关内容的联想类比来实现双曲线简单几何性质的自然构建.片段1

类比椭圆的几何性质，确定研究的具体内容.师：上一节课我们根据实验在黑板上画出了双曲线，并建立坐标系得出了它的标准方程.大家认为关于双曲线还可以研究什么？你是怎么想到的？生1：研究双曲线的性质.在学习椭圆时，我们先学了椭圆及其标准方程，后面学了它的几何性质.师：学习椭圆的几何性质有什么用？学习双曲线的几何性质又有什么用呢？生2：可以让我们更准确地画出椭圆和双曲线.师：还记得我们研究了椭圆的哪些几何性质？是如何研究的？生3：研究了椭圆的长轴与短轴的范围、对称性、顶点及离心率.生4：通过研究椭圆的方程得出性质.师：猜想双曲线的几何性质有哪些？如何进行研究？生5：类比椭圆，应该也有长轴与短轴的范围、对称性、顶点等，可以从特