平行四边形的判定 省赛获奖 名师获奖

义务教育课程标准实验教科书湘教版数学3.1.3平行四边形的判定ABDC已知：平行四边形ABCD,则可得：边：角：对角线：AB＝CD

AD＝BCAB∥CD

AD∥BC（平行四边形的定义）（平行四边形的对边相等）（平行四边形的对角相等）∠A＝∠C∠B＝∠DAO＝CO

BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分）O知识回顾情景引入小明同学想用两根竹片做一个凉衣架，他需要做成平行四边形，如图所示，钉子应钉在哪里呢？DBACO聪明的同学们，你能想出方法来吗？问：钉在两根竹片的中点处能得到平行四边形吗？上面的问题其实是一个这样的数学问题：已知：如图，在四边形ABCD中，OA=OC,OB=OD求证：四边形ABCD是平行四边形平行四边形的判定方法1：对角线互相平分的四边形是平行四边形。即：如果OA=OC,OB=OD，那么四边形ABCD是平行四边形。合作交流1.已知：如图，在四边形ABCD中，OA=OC,OB=OD求证：四边形ABCD是平行四边形DBACO∵OA=OC,OB=OD（已知）∠AOB=∠COD（对顶角相等）∴△OAB≌△OCD（SAS）∴∠OAB=∠OCD（全等三角形的对应角相等）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）同理：BC∥AD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）证明：问：你能把上面的结论用语言表示吗？MN合作交流思考1：只用一把刻度尺,你能画出平行四边形吗？作法:(1)作线段AC,取线段AC的中点O(2)过点O作直线MN，在直线MN上取线段OB=OD(3)连结：AB,BC，CD，AD则四边形ABCD就是要画的平行四边形ACOBD

(1)在两条平行的格子上分别取线段AB=DC(2)连结AD,BC

则四边形ABCD就是平行四边形合作交流思考2：只用一把刻度尺,你能在有格子的练习本上画出平行四边形吗？问：这样作出的的四边形一定是平行四边形吗？上面的问题其实是一个这样的数学问题：已知：在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=DC求证：四边形ABCD是平行四边形作法:DCAB2.已知：在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=DC

求证：四边形ABCD是平行四边形合作交流证明：连结AC∵AB∥DC（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）∵AB=DC（已知）

AC=CA(公共边)∴△ABC≌△CDA(SAS)∴∠3=∠4（全等三角形对应角相等）∴BC∥AD（内错角相等，两直线平行）∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）问：你能把上面的结论用语言表示吗？ABCD1243平行四边形的判定方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。即：如果AB∥DC,AB=DC，那么四边形ABCD是平行四边形。2.已知：在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=DC

求证：四边形ABCD是平行四边形合作交流ABCD1243应用迁移例1.已知:如图,在ABCD的对角线AC上取两点E,F,使得点E和点F关于对角线是交点O对称,连结EB,FB,FD求证：四边形EBFD是平行四边形思考:①从点E和点F关于对角线是交点O对称，你可以得到什么结论？

OE=OF②由四边形ABCD是平行四边形你会得到什么结论？对边相等,对角相等,对角线互相平分③利用什么方法来判定四边形DEBF是平行四边形最简单呢？对角线互相平分的四边形是平行四边形应用迁移例1.已知:如图,在ABCD的对角线AC上取两点E,F,使得点E和点F关于对角线是交点O对称,连结EB,FB,FD求证：四边形EBFD是平行四边形证明：∵点E和点F关于O点对称（已知）∴点O是线段EF的中点，即OE=OF

（中心对称图形的性质）∵四边形ABCD是平行四边形（已知）∴OB=OD（平行四边形的对边相等）∴四边形EBFD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）应用迁移例2.已知:如图,在ABCD的边AB，DC上分别取一个点E,F，使得AE=1/3AB，CF=1/3CD，连结AF,CE求证：（1）四边形AECF是平行四边形;

（2）AF=CE思考:①由四边形ABCD是平行四边形你能得到什么结论？对角线互相平分的四边形是平行四边形②从AE=AB，CF=CD，你会得到什么结论？

AE=CF③利用什么方法来判定四边形AECF是平行四边形最简单呢？用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形(已知)∴AB//CD,AB=CD(平行四边形的对边平行、相等)∵AE=1/3AB，CF=1/3CD(已知)∴AE=CF(等量代换)∵AE//CF(已知)∴四边形AECF是平行四边形

(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)(2)∵四边形AECF是平行四边形(已证)∴AF=CE(平行四边形的对边相等)应用迁移例2.已知:如图,在ABCD的边AB，DC上分别取一个点E,F，使得AE=1/3AB，CF=1/3CD，连结AF,CE求证：（1）四边形AECF是平行四边形;

（2）AF=CE变式练习：如果连结BF，DE，四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？巩固提高1.已知:如图,在ABCD的边AB，DC上分别取一个点E,F，使得AE=1/3AB，CF=1/3CD，连结BF,DE求证：四边形BFDE是平行四边形证明:∵四边形ABCD是平行四边形(已知)∴AB//CD,AB=CD(平行四边形的对边平行、相等)∵AE=1/3AB，CF=1/3CD(已知)

且BE=AB-AE,DF=CD-CF∴BE=DF(等量代换)∵BE//DF(已知)∴四边形BFDE是平行四边形

(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)AEBCFD巩固提高2.已知:如图，把△ABC的中线AD延长至E，使得DE=AD，连结EB，EC

求证:四边形ABEC是平行四边形证明:∵AD

是△ABC的中线(已知)∴BD=CD(三角形中线的性质)∵DE=AD(已知)∴四边形ABEC是平行四边形

(对角线互相平分的四边形是平行四边形)※老师期望:请将证明过程规范化书写出来！挑战自我！拓展提高小结(1)利用两边关系：两组对边分别平行的四边形是平行四边形