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文档简介
四川省会理一中2024届高二数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.箱子中有5件产品,其中有2件次品,从中随机抽取2件产品,设事件=“至少有一件次品”,则的对立事件为()A.至多两件次品 B.至多一件次品C.没有次品 D.至少一件次品2.已知定义在R上的函数满足,且有,则的解集为()A. B.C. D.3.命题“若,则”的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的个数为()A.0个 B.1个C.2个 D.3个4.已知双曲线上的点到的距离为15,则点到点的距离为()A.7 B.23C.5或25 D.7或235.已知动圆过定点,并且与定圆外切,则动圆的圆心的轨迹是()A.抛物线 B.椭圆C.双曲线 D.双曲线的一支6.已知,是空间中的任意两个非零向量,则下列各式中一定成立的是()A. B.C. D.7.若实数满足约束条件,则最小值为()A.-2 B.-1C.1 D.28.等差数列中,已知,,则的前项和的最小值为()A. B.C. D.9.甲、乙两组数的数据如茎叶图所示,则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是()A.极差 B.方差C.平均数 D.中位数10.已知椭圆的一个焦点坐标为,则的值为()A.1 B.3C.9 D.8111.已知平面上两点,则下列向量是直线的方向向量是()A. B.C. D.12.已知命题:,命题:,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知曲线在点处的切线方程是,则的值为______14.已知圆,若圆的过点的三条弦的长,,构成等差数列,则该数列的公差的最大值是______.15.已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量的坐标是__________16.已知函数,则函数在上的最大值为_______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已如空间直角标系中,点都在平面内,求实数y的值18.(12分)已知两定点,,动点与两定点的斜率之积为(1)求动点M的轨迹方程;(2)设(1)中所求曲线为C,若斜率为的直线l过点,且与C交于P,Q两点.问:在x轴上是否存在一点T,使得对任意且,都有(其中,分别表示,的面积).若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由19.(12分)同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体)(1)求两颗骰子向上的点数相等的概率;(2)求两颗骰子向上的点数不相等,且一个点数是另一个点数的整数倍的概率20.(12分)已知函数,(1)求曲线在点处的切线方程;(2)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围21.(12分)如图,AC是圆O的直径,B是圆O上异于A,C的一点,平面ABC,点E在棱PB上,且,,.(1)求证:;(2)当三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.22.(10分)已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合,椭圆的离心率为,过点作斜率不为0的直线,交椭圆于两点,点,且为定值(1)求椭圆的方程;(2)求面积的最大值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用对立事件的定义,分析即得解【详解】箱子中有5件产品,其中有2件次品,从中随机抽取2件产品,可能出现:“两件次品”,“一件次品,一件正品”,“两件正品”三种情况根据对立事件的定义,事件=“至少有一件次品”其对立事件为:“两件正品”,即”没有次品“故选:C2、A【解析】构造,应用导数及已知条件判断的单调性,而题设不等式等价于即可得解.【详解】设,则,∴R上单调递增.又,则.∵等价于,即,∴,即所求不等式的解集为.故选:A.3、B【解析】先判断出原命题和逆命题的真假,进而根据互为逆否的两个命题同真或同假最终得到答案.【详解】“若a=0,则ab=0”,命题为真,则其逆否命题也为真;逆命题为:“若ab=0,则a=0”,显然a=1,b=0时满足ab=0,但a≠0,即逆命题为假,则否命题也为假.故选:B.4、D【解析】根据双曲线的定义知,,即可求解.【详解】由题意,双曲线,可得焦点坐标,根据双曲线的定义知,,而,所以或故选:D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用,其中解答中熟记双曲线的定义,列出方程是解答的关键,着重考查推理与运算能力,属于基础题.5、D【解析】结合双曲线定义的有关知识确定正确选项.【详解】圆圆心为,半径为,依题意可知,结合双曲线的定义可知,的轨迹为双曲线的一支.故选:D6、C【解析】利用向量数量积的定义及运算性质逐一分析各选项即可得答案.【详解】解:对A:因为,所以,故选项A错误;对B:因为,故选项B错误;对C:因为,故选项C正确;对D:因为,故选项D错误故选:C.7、B【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由约束条件作出可行域如图,联立,解得,由,得,由图可知,当直线过时,直线在轴上的截距最小,有最小值为故选:B8、B【解析】由等差数列的性质将转化为,而,可知数列是递增数,从而可求得结果【详解】∵等差数列中,,∴,即.又,∴的前项和的最小值为故选:B9、C【解析】根据茎叶图依次计算甲和乙的平均数、方差、中位数和极差即可得到结果.【详解】甲的平均数为:;乙的平均数为:;甲和乙的平均数相同;甲的方差为:;乙的方差为:;甲和乙的方差不相同;甲的极差为:;乙的极差为:;甲和乙的极差不相同;甲的中位数为:;乙的中位数为:;甲和乙的中位数不相同.故选:C.10、A【解析】根据条件,利用椭圆标准方程中长半轴长a,短半轴长b,半焦距c关系列式计算即得.【详解】由椭圆的一个焦点坐标为,则半焦距c=2,于是得,解得,所以值为1.故选:A11、D【解析】由空间向量的坐标运算和空间向量平行的坐标表示,以及直线的方向向量的定义可得选项.【详解】解:因为两点,则,又因为与向量平行,所以直线的方向向量是,故选:D.12、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为命题:或,命题:,所以是的必要不充分条件,故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、11【解析】根据给定条件结合导数的几何意义直接计算作答.【详解】因曲线在点处的切线方程是,则,,所以.故答案为:1114、2【解析】根据题意,求得过点的直线截圆所得弦长的最大值和最小值,即可求得公差的最大值.【详解】圆的圆心,半径,设点为点,因为,故点在圆内,当直线过点,且经过圆心时,该直线截圆所得弦长取得最大值;当直线过点,且与直线垂直时,该直线截圆所得弦长取得最小值,此时,则满足题意的直线为,即,又,则该直线截圆所得弦长为;根据题意,要使得数列的公差最大,则,故最大公差.故答案为:.15、【解析】根据投影向量概念求解即可.【详解】因为空间向量,,所以,,所以向量在向量上投影向量为:,故答案为:.16、【解析】利用导数单调性求出的单调性,比较极小值与两端点,的大小求出在上的最大值.【详解】因为,则,令,即时,函数单调递增.令,即时,函数单调递减.所以的单调递减区间为,的单调递增区间为,所以在上单调递减,在上单调递增,所以函数的极小值也是函数的最小值.,两端点为,,即最大值为.故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】方法一:根据平面向量基本定理即可解出;方法二:先求出平面的一个法向量,再根据即可求出【详解】方法一:,由题意知A,B,C,P四点共面,则存在实数,满足∵,∴∴,而,∴方法二:,设平面的一个法向量为,则,∴取,则,∵,∴,解得18、(1)(2)存在;【解析】(1)设出点的坐标,根据,即可直接求出动点M的轨迹方程;(2)根据题意写出直线的方程,把直线的方程与曲线的方程联立,消元,写韦达;根据条件,同时结合三角形的面积公式可得出;从而结合韦达定理可求出点T的坐标.【小问1详解】设,由,得,即,所以动点M的轨迹方程为.【小问2详解】设PT与RT夹角为,QT与RT夹角为,因为,所以,即,所以,设,,,直线l的方程为,因为,所以,即,所以,即①,由,得,所以,代入①式,得,解得,所以存在点,使得对任意且,都有.19、(1);(2).【解析】(1)求出同时掷两颗骰子的基本事件数、及骰子向上的点数相等的基本事件数,应用古典概型的概率求法,求概率即可.(2)列举出两颗骰子向上的点数不相等,且一个点数是另一个点数的倍数的基本事件,应用古典概型的概率求法,求概率即可.【小问1详解】同时掷两颗骰子包括的基本事件共种,掷两颗骰子向上的点数相等包括的基本事件为6种,故所求的概率为;【小问2详解】两颗骰子向上的点数不相等,且一个点数是另一个点数的倍数时,用坐标记为,,,,,,,,,,,,,,,,共包括16个基本事件,故两颗骰子向上的点数不相等,且一个点数是另一个点数的倍数有的概率为.20、(1);(2).【解析】(1)求出函数的导数,计算,,求出切线方程即可;(2)问题转化为,利用导函数求出的最大值,求出的范围即可.【小问1详解】因为,所以,则切线的斜率为,又因为,则切点为,所以曲线在点处的切线方程为,即【小问2详解】当时,令得,列表得x001↘极小值↗所以当时,的最大值为由题意知,故,解之得,所以实数的取值范围为.21、(1)证明见解析(2)【解析】(1)由圆的性质可得,再由线面垂直的性质可得,从而由线面垂直的判定定理可得平面PAB,所以得,再结合已知条件可得平面PBC,由线面垂直的性质可得结论;(2)由已知条件结合基本不等式可得当三棱锥的体积最大时,是等腰直角三角形,,从而以OB,OC所在直线分别为x轴,y轴,以过点O且垂直于圆O平面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量求解.【小问1详解】证明:因为AC是圆O的直径,点B是圆O上不与A,C重合的一个动点,所以.因为平面ABC,平面ABC,所以.因为,且AB,平面PAB,所以平面PAB.因为平面PAB,所以.因为,,且BC,平面PBC,所以平面PBC.因为平面PBC,所以.【小问2详解】解:因为,,所以,所以三棱锥的体积,(当且仅当“”时等号成立).所以当三棱锥的体积最大时,是等腰直角三角形,.所以以OB,OC所在直线分别为x轴,y轴,以过点O且垂直于圆O平面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,.因为∽,所以,因为,,所以,所以,.设向量为平面的一个法向量,则即令得,.向量为平面ABC的一个法向量,.因为二面角是锐角,所以二面角的余弦值为.22、(1)(2)【解析】(1)由抛物线焦点可得c,再根据离心率可得a,即得b;(2)先设直线方程x=ty+m,根据向量数量积表示,将直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理代入化简可得为定值的条件,解出m;根据点到直线距离得三角形的高,利用弦公式可得底,根据面积公式可得关于t的函数,最后根据基本不等式求最值【详解】试题解析:解:(1)设F1(﹣c,0),∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐
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