中职毕业生技能高考知识点

第一章集合集合：由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集.元素：组成集合的对象叫做这个集合的元素.一般采用大写英文字母A,B,C,…表示集合，小写英文字母a,b,c,…表示集合的元素.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作.如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作.集合中元素的特征：确定性：组成集合的对象是确定的，即对象有具体的标准.如：“个子高的同学”就不能组成集合，因为个子高没有具体的标准.互异性：集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不能重复的.如：是错的，正确的是.无序性：集合中的元素没有先后顺序.数集：由数组成的集合，叫做数集.点集：由点组成的集合，叫做点集.方程的解集：由方程的所有解组成的集合叫做这个方程的解集.不等式的解集：由不等式的所有解组成的集合叫做这个不等式的解集.常见的数集：所有自然数组成的集合叫做自然数集，记作N.自然数：0，1，2，3，4，5，……所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N.正整数:1，2，3，4，5，……所有整数组成的集合叫做整数集，记作Z.整数：…-3，-2，-1，0，1，2，3，…所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q.所有实数组成的集合叫做实数集，记作R.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作.如：由大于3并且小于2的数组成的数集就是空集.有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.集合的分类：集合列举法：将元素一一列出，用逗号分隔，用花括号括起来表示集合的方法.一般形式：（数集）如：（点集）如：描述法：利用元素特征性质来表示集合的方法.一般形式：（数集）其中，叫做代表元素，是所具有的特征性质。如：（点集）其中，叫做代表元素，是所具有的特征性质。如：子集：如果集合B的元素都是集合A的元素，那么把集合B叫做集合A的子集，记作（或），读作“B包含于A”（或“A包含B）.结论：（1）任何一个集合都是它本身的子集，即AA.（2）空集是任何集合的子集，即.真子集：如果集合B是集合A的子集，并且A中至少有一个元素不属于B，那么把B叫做A的真子集，记作BA（或AB），读作“B真包含于A”（或“A真包含B”）.结论：（1）空集是任何非空集合的真子集.（非空集合即不是空集的集合）.（2）若集合A中有个元素，则它有2个子集，有2个真子集.13.集合的相等：如果两个集合的元素完全相同，那么就说这两个集合相等.集合A等于集合B，记作A=B.如：14.区分一些容易混淆的符号：（1）与的区别：是表示元素与集合之间关系的符号.是表示集合与集合之间关系的符号.（2）与的区别：表示一个元素.表示含一个元素的集合.（3）与的区别：是含有一个元素的集合.提公因式法：若不等式的左边可以提公因式的，先提公因式，再解不等式.如：应用乘法公式法：若不等式的左边可以用乘法公式（平方差公式，完全平方公式等）的，先用乘法公式将左边分解因式，再解不等式.如：十字相乘法：若不等式的左边可以用十字相乘法的，先用十字相乘法分解因式，再解不等式.如：23.分式不等式：一般形式：或解分式不等式一般是将除转化为乘，再解.（1）（2）（3）≥0≥0且（4）≤0≤0且24.映射：设A,B是两个集合，如果按照某种对应法则，使集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则称是A到B的一个映射.此时元素称为元素的原像，元素称为元素在下的像.映射可记作：AB元素在下的像可记作，于是：，A中所有元素的像的集合C称为像集，C.注：只有一对一、多对一的对应是映射，而一对多的对应不是映射.25.函数：在某一个变化过程中有两个变量和，设变量的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值与它对应，那么，把叫做自变量，把叫做的函数，记作，数集D叫做函数的定义域.当时，函数对应的值叫做函数在点处的函数值，记作.如：已知，求.函数值的集合叫做函数的值域.26.求函数的定义域：就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围.函数解析式类型定义域整式R分式分母偶次根式被开方数≥0奇次根式R含或由几个部分组成的是使每一部分都有意义的的取值集合的交集由实际问题列出的不仅使函数解析式本身有意义，还要满足实际意义27.求简单函数的值域：求函数的值域就是求函数值的取值范围.函数类型值域正比例函数R反比例函数一次函数R二次函数≥（）≤}（）28.函数的两个要素：函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素.29.如何判断两个函数相同：如果两个函数的定义域和对应法则（一般是函数解析式）都相同，那么这两个函数就是相同的.30.函数的表示法：（1）解析法：把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式称为函数的解析表达式，简称解析式.用解析式表示函数关系的方法称为解析法.（2）列表法：用表格来表示两个变量的函数关系的方法，称为列表法.（3）图像法：用图像来表示两个变量的函数关系的方法，称为图像法.31.用描点法作函数图像的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）列表：在函数的定义域内选取一些自变量的值，并通过函数解析式求出相应的函数值，列成表；（3）把每一对的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，然后根据定义域确定，是否将这些点连接成一条光滑的曲线.32.函数的单调性：（1）一般地，设是函数的定义域内的某个区间：如果对于属于这个区间上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数.如果对于属于这个区间上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数.（2）单调性：如果函数在某个区间上是增函数或减函数，就说在这个区间上具有单调性.这一区间叫做的单调（增或减）区间.（3）从左向右看，若函数的图像逐渐上升，则它是增函数。若函数的图像逐渐下降，则它是减函数.（4）判断和证明函数单调性的步骤：①设，是所给区间上任意两个自变量的值，且②求出和，然后作差.③将差变形：用通分（分式）、因式分解、配方（含的二次项的式子）等方法将这个差变形到最容易判断差的正负号为止.④下结论：若，则在这个区间上是增函数.若，则在这个区间上是减函数.33.函数的奇偶性：（1）一般地，对于函数，如果对于函数定义域内的任意一个，都有在定义域内，且，那么函数就叫做奇函数.如果对于函数定义域内的任意一个，都有在定义域内，且，那么函数就叫做偶函数.既不是奇函数又不是偶函数的函数叫做非奇非偶函数.（2）判断函数奇偶性的步骤：①求出函数的定义域.②若属于定义域，不属于定义域，则是非奇非偶函数.若属于定义域，也属于定义域，再看第三步，③若，则是奇函数.若，则是偶函数.若且，则是非奇非偶函数.（3）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称.34.分段函数：在自变量的不同取值范围内，需要用不同的解析式来表示，这种函数叫做分段函数.求分段函数的定义域：分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集.求分段函数的函数值：求分段函数的函数值时，首先应该判断所属的取值范围，然后再把代入相应的式子中进行计算.如：已知，求.作分段函数的图像：作分段函数的图像时，要在同一个坐标系中，分别在自变量的各个不同取值范围内，根据相应的式子作出相应部分的图像.35.二次函数求最值：二次函数.配方：对称轴为，顶点坐标为二次函数的图像是一条抛物线.若，则抛物线的开口向上.当时，取最小值.若，则抛物线的开口向下.当时，取最大值.二次函数在闭区间上的最值：已知，求函数在上的最大值和最小值.解法：画图，从图像上观察最大值、最小值.36.实数指数幂：整数指数幂：当时，（1）（2）（3）式子叫做幂，叫做底数，叫做指数.整数指数幂的运算法则：（1），同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；同底数的幂相除，底数不变，指数相减.（2）乘方的乘方，底数不变，指数相乘.（3），乘积的幂等于幂的乘积；商的幂等于幂的商.其中、37.根式：（1）如果，那么叫做的次方根（其中，且）.当为奇数时，的次方根只有一个，即.当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数，即；其中正的次方根叫做的算术方根.负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作.（2）式子叫做次根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.（3）（4）当为奇数时，当为偶数时，38.分数指数幂：规定正数的正分数指数幂的意义是：（且）幂的指数中，分母做根指数，分子做被开方数的指数.正数的负分数指数幂的意义是：（且）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.39.幂函数的图像和性质：（1）幂函数：一般地，我们称形如的函数为幂函数，其中常量.在幂函数中，底数是变量，指数是常数.（2）下表是几个常见的幂函数的图像及性质：结论：当时，图像均过点（0，0）和（1，1），且在上均是增函数；当时，图像均过点（1，1），且在上均是减函数；当时，函数变为，其图像是一条在轴上方1个单位，且与轴平行的一条直线（除去点（0，1））.40.指数函数：（1）定义：一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R.（2）指数函数在底数及这两种情况下的图像和性质如下表所示：且图像（1）（曲线在轴上方）性质（2）当时，.（曲线过点（0，1））；（3）在R上是增函数；（3）在R上是减函数；41.利用指数函数的单调性比较两个值的大小：（1）当时，在上是增函数，则有越大，越大；越小，越小.所以，当时，比较与的大小，有指数越大，值越大；指数越小，值越小.（2）当时，在上是减函数，则有越大，越小；越小，越大.所以，当时，比较与的大小，有指数越大，值越小；指数越小，值越大.42.对数：（1）定义：一般地，如果的次幂等于N，即，那么数叫做以为底N的对数，记作.其中叫做对数的底数，叫做真数.（2）负数和零没有对数.（3）基本性质：①②（4）对数恒等式：（5）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，为了简便起见，的常用对数简记作.（6）自然对数：无理数…以为底的对数叫做自然对数，为了简便起见，的自然对数简记作.（7）指数运算和对数运算是一对互逆的运算：43.对数的运算法则：设则有（1）（2）（3）44.对数换底公式：设，则特别地，45.对数函数：（1）定义：我们称函数（）为对数函数，其中是自变量，函数的定义域是.（2）对数函数在底数及这两种情况下的图像和性质，如下表所示:（）图像（1）（曲线在轴右边）性质（2）当时，（曲线过点（1，0））.（3）在上是增函数；（3）在上是减函数；（3）利用对数函数的单调性比较两个值的大小：①当时，在上是增函数，则有越大，越大；越小，越小.所以，当时，比较与的大小，有真数越大，值越大；真数越小，值越小.②当时，在上是减函数，则有越大，越小；越小，越大.所以，当时，比较与的大小，有真数越大，值越小；真数越小，值越大.（4）求对数函数的定义域：因为对数的真数必须大于0，所以.46.（1）角：一条射线由位置OA，绕着它的端点O,按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB形成的图形叫做角.旋转开始位置的射线OA叫做角的始边，终止位置的射线OB叫做角的终边，端点O叫做角的顶点.（2）规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角.按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角.当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角.正角，负角，零角正角＞零角＞负角角的分类：角平面直角坐标系：47.终边相同的角：所有与角终边相同的角的集合是即终边相同的角相差360的整数倍.如：30与是终边相同的角.48.容易混淆的角的集合：（1）到的角≤（2）锐角（3）钝角（4）小于的角（5）第一象限角（6）～范围内的角≤≤49.由所在的象限求所在的象限：（1）由所在的象限求所在的象限：先将每一个象限平均分成2等分，然后从轴的正半轴开始按逆时针方向依次重复地标上1，2，3，4，那么，若是第一象限角，则所在的象限就是标号为1的区域，即一、三象限若是第二象限角，则所在的象限就是标号为2的区域，即一、三象限若是第三象限角，则所在的象限就是标号为3的区域，即二、四象限若是第四象限角，则所在的象限就是标号为4的区域，即二、四象限（2）由所在的象限求所在的象限：先将每一个象限平均分成3等分，然后从轴的正半轴开始按逆时针方向依次重复地标上1，2，3，4，那么，若是第一象限角，则所在的象限就是标号为1的区域，即一、二、三象限若是第二象限角，则所在的象限就是标号为2的区域，即一、二、四象限若是第三象限角，则所在的象限就是标号为3的区域，即一、三、四象限若是第四象限角，则所在的象限就是标号为4的区域，即二、三、四象限50.（1）角的弧度数公式：（2）弧长公式：（3）半径公式：其中，是弧长，是弧度数，是半径51.角度与弧度的互换：（1）把角度换成弧度：（2）把弧度换成角度：特殊角的度数与弧度数的对应表：度030456090120135150180270360弧度052.任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数：设是平面直角坐标系中的一个任意角，点为角终边上的任意一点，点P到原点的距离为＞0，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为，，，53.三角函数的定义域：三角函数定义域54.各象限角的三角函数值的正负号规律：55.特殊角的三角函数值：三角函数0（0）30（）45（）60（）90（）180（）270（）360（）010010010不存在0不存在056.同角三角函数的基本关系式：（1）（2）57.诱导公式（一）：角度制弧度制公式一公式二公式三公式四公式五诱导公式（二）：（1）（2）58.二倍角公式：，59.正弦函数、余弦函数的图像：（1），的图像：（2），的图像上的五个关键点：（0，0），（，1），（，0），（，），（，0）（3），的图像：（4），的图像上的五个关键点：（0，1），（，0），（，-1），（，0），（，1）60.正弦函数、余弦函数的性质：（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是R，即.（2）值域：正弦函数、余弦函数的值域都是，.（3）最值：正弦函数当且仅当（）时取得最大值1；当且仅当（）时取得最小值-1.余弦函数当且仅当（）时取得最大值1；当且仅当（）时取得最小值-1.（4）周期性：①一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.②对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.③正弦函数、余弦函数都是周期函数，（且都是它们的周期，最小正周期.④周期公式：一般地，函数，及函数，的周期是（5）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.（6）单调性：正弦函数在每一个闭区间（）上都是增函数；在每一个闭区间（）上都是减函数.余弦函数在每一个闭区间（）上都是增函数；在每一个闭区间（）上都是减函数.61.正切函数的图像和性质：（1）图像：（2）主要性质：①定义域：正切函数的定义域是且.②值域：R③周期性：正切函数是周期函数，周期是.④奇偶性：正切函数是奇函数.⑤单调性：正切函数在开区间（）上都是增函数.62.已知三角函数值求指定区间内对应的角：（1）如果求得的角是特殊角，直接求出来即可；如果求得的角不是特殊角，就用反三角（反正弦、反余弦、反正切）表示.（2）反正弦：①定义：为了使符合条件（≤≤）的角有且只有一个，我们选择闭区间作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件（≤≤）的角，叫做实数的反正弦，记作，即.其中，且.②，③，一二三四（3）反余弦：①定义：为了使符合条件（≤≤）的角有且只有一个，我们选择闭区间作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件（≤≤）的角，叫做实数的反余弦，记作，即.其中，且.②，③，一四二三（4）反正切：①定义：为了使符合条件（为实数）的角有且只有一个，我们选择开区间作为基本的范围，在这个开区间上，符合条件（为实数）的角，叫做实数的反正切，记作，即.其中，且.②，③，一三二四63.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…第项，….数列的一般形式可以写成其中，是数列的第项，叫做项数.上面的数列简记作.64.数列的分类：（1）有穷数列：项数有限的数列叫做有穷数列.（2）无穷数列：项数无限的数列叫做无穷数列.65.数列的通项公式：如果数列的第项与项数之间的关系可以用一个解析式来表示，那么这个解析式就叫做这个数列的通项公式.一般用表示.如果已知一个数列的通项公式，那么只要依次用1，2，3，…代替公式中的，就可以求出这个数列的各项.注意：并非所有的数列都有通项公式.66.数列的图像：数列可以用图像来表示，点的坐标为（）.数列的图像是一群孤立的点.67.数列的前项和：数列：前项相加所得的和叫做数列的前项和，记作，即.68.已知数列的前项和求它的通项公式：已知数列的前项和为，则当时，（1）当时，（2）如果在（2）式中令时也成立，则（1）式和（2）式可以合并；否则不能合并.69.等差数列：（1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.公差为0的数列叫做常数列.（2）等差数列的通项公式：（3）等差中项：如果三个数成等差数列，那么叫做与的等差中项，.（4）结论：如果三个数成等差数列，已知它们的和，设这三个数为.（5）等差数列的前项和公式：（Ⅰ）已知，求前项和用公式（Ⅰ）（Ⅱ）已知，求前项和用公式（Ⅱ）70.等比数列：（1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）.（2）等比数列的通项公式：（3）等比中项：如果三个数成等比数列，那么叫做与的等比中项，（）.（4）结论：如果三个数成等比数列，已知它们的积，设这三个数为.（5）等比数列的前项和公式：（Ⅰ）已知，求前项和用公式（Ⅰ）（Ⅱ）已知，求前项和用公式（Ⅱ）71.两点间的距离公式：已知、两个点的坐标分别为，，则、两点间的距离为72.线段的中点坐标公式：