极值点偏移问题 讲义 高三数学二轮专题复习

极值点偏移问题一、问题导引所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性.若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往.如下图所示：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏.一般地，对于极值点偏移问题，我们的解决办法有：构造函数利用单调性、将两个变量换为同一个新变量、常数（参数）变成左边双变量形式.[提醒]若要证明f′的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．二、通法例讲1、构造函数后利用单调性（对称变换）我们在证明形如“x1+x2>m”或“x1x2>m”时，可转化为“x1>m−x2”或“x1>mx2”成立，，后利用单调性，转化为函数值之间的关系，即f(x1)与f例1、已知，．若有两个极值点，，且，求证：（e为自然对数的底数）．解：由，是方程的两个不同实根得，令，，由于，因此，在，．设，需证明，只需证明，只需证明，即，即．即，，故在，故，即．令，则，因为，，在，所以，即．构造函数后利用单调性（对称变换）主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2＞，则令F(x)＝f(x)－f(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性．(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系．(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求．例2、已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）如果，且，求证：.解：（1）因为，所以，.可得函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：由，，不妨设，构造函数，，则，所以在上单调递增，，也即对恒成立.由，则，所以，即，又因为，，且在上单调递减，所以，即.注：在利用该种方法时，我们需要重点注意的是，移项不是随意的，而是需要把移项后不等号两边的变量都处在同一个单调区间内，这样才可以利用我们的单调性判断.2、变双变量为新变量我们可以利用零点的性质将不等式左边的两个变量与一个新变量建立联系，构造与新变量相关的函数，寻找解题方法.例3、已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）．解：方法1（差值换元）：设，，则由得，设，则，．欲证，需证．即只需证明，即．设，，，故在，故，故在，因此，得证．方法2（比值换元）：设，，则由得，设，则，．欲证，证，即只需证明，，设，，故在，因此，命题得证．注：这里的两种方法都是换元法，把双变量换为新变量，方法1为差值换元，方法2是比值换元，它们的基本思路是一样的，都是双变量换为单变量，从而构造函数证明相关问题.3、变常数或参数为双变量处理极值点偏移问题还可以将不等号右边的常数或参数通过零点相关性质变为双变量形式，与右侧双变量形式一同处理，找到结构共性换元处理.已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）．解：欲证，需证．若有两个极值点，，即函数有两个零点．又，所以，，是方程的两个不同实根．于是，有，解得．另一方面，由，得，从而可得，．于是，．又，设，则．因此，，．要证，即证：，．即：当时，有．设函数，，则，所以，为上的增函数．注意到，，因此，．，当时，有．所以，有成立，．例5、设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若方程有两个不相等的实数根，，求证：．解:（1）．．当时，，函数在上单调递增，即的单调递增区间为．当时，由得；由，解得．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2），是方程得两个不等实数根，由（1）可知：．不妨设．则，．两式相减得，化为．，当时，，当时，．故只要证明即可，即证明，即证明，设，令，则．，．在上是增函数，又在处连续且（1），当时，总成立．故命题得证．注：变参数为双变量关键在于利用零点的性质得出参数或常数的双变量表达式，这样我们才能转化为双变量问题，进而运用换元法证明我们的不等式.三、变形后的极值点偏移问题例6、（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数，）．(1)求的单调区间和极值；(2)若存在，满足，求证：．解：（1）.当时，，所以在上单调增，无极值；当时，令，得，当时，；当时，；所以在上单调递减，在单调递增．所以函数的极小值为，无极大值.（2）由题（1）可知，当时才存在，满足，不妨设，设，则，因为，所以，所以，所以在上单调递减，所以，所以，即故，因为，又在上单调递增，所以，所以，下面证明：；因为，所以，所以，所以，得证.四、拐点偏移拐点：函数凹凸性改变的点，即若函数的二阶导数在某一点左右异号，则该点为函数拐点.例7、（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程.（2）若正实数满足，求证：.解：（1），切点为.，.切线为：，即.（2）.令，，，，，，为减函数，，，为增函数，，所以.即.得：，得到，即：.例8、（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立．(1)求实数的取值范围；(2)若正实数、满足，证明：．解：（1）根据题意，可知的定义域为，而，当时，，，为单调递增函数，当时，成立；当时，存在大于1的实数，使得，当时，成立，在区间上单调递减，当时，；不可能成立，所以，即的取值范围为.（2）证明：不妨设，正实数、满足，有（1）可知，，又为单调递增函数，所以，又，所以只要证明：，设，则，可得，当时，成立，在区间上单调增函数，又，当时，成立，即，所以不等式成立，所以.五、真题讲解1、（2023·全国·统考高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.解：(1)的定义域为．由得，，当时，；当时；当时，．故在区间内为增函数，在区间内为减函数，(2)[方法一]：等价转化由得，即．由，得．由（1）不妨设，则，从而，得，①令，则，当时，，在区间内为减函数，，从而，所以，由（1）得即．①令，则，当时，，在区间内为增函数，，从而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最优解】：变形为，所以．令．则上式变为，于是命题转换为证明：．令，则有，不妨设．由（1）知，先证．要证：．令，则，在区间内单调递增，所以，即．再证．因为，所以需证．令，所以，故在区间内单调递增．所以．故，即．综合可知．[方法三]：比值代换证明同证法2．以下证明．不妨设，则，由得，，要证，只需证，两边取对