高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)

高考圆锥曲线中的定点与定值2与椭圆交于两点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；求出该定点的坐标.【答案】(1)(2)。设x轴上的定点为，可得点坐标。解得解得。3∴椭圆的标准方程为.(Ⅱ)证明：由题意设直线的方程为，，，为定值，需满足，题的常见解法或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所4(p>0,p为常数)交于不同的两点M,N，当k=时，弦MN的长为4.(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过BNQ坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)y2=4x;(2)直线NQ过定点(1,4)(2)由(1)可设M(t2,2t),N(t12,2t1),Q(t22,2t2)，则kMN=，(2)Mtt),N(t12,2t1),Q(t22,2t2)，则kMN==，5(2)的重心的纵坐标为-.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标；(2)记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2，求k1+k2的值.【答案】(1)方程为y2=4x;其焦点坐标为(1,0)(2)k1+k2=0抛物线C的方程及其焦点坐标；重心的纵坐标-，化简可k1+k2的值；6所以y1+y2+yp=-2，所以yp=2，所以xp=1，x(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点F的直线交椭圆C于A，B两点，交直线l：x=4于点线性运算进行证明.(Ⅱ)由题意直线AB过点F(1,0)，且斜率存在，设7BF1-x21-x1BF1-x21-x11-x2433+4k2x.x=13+4k2x.x=18BFmy2my1my2【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB过点直线是否存在斜率.C相交于A,B两点.9(1)设l的斜率为1，求AB；是一个定值.联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；(2)证明：设直线l的方程为x=ky+1，点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、成x=ky+1也给解题带来了方便.ab3ab3OAB的距离为定值.a，b，c；(2)对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；OAOBxxyy=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2) 1+k22 1+k22，套用公式解决．(Ⅰ)求双曲线的方程；(Ⅱ)已知P,Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径OQ(Ⅱ)由题意知OP」OQ。设OP直线方程为y=kx，62226由OQ直线方程为y=-x.以-代替上式中的k，可得3--))|3k-1(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足B是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不请说明理由．联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量化的方法，得到结果。若若因此M点坐标为(0，22届高三上学期第三次月考】已知椭圆C:+=1(ab0)的左，右焦点分别为F1,F2.过.=0，且F1MN的周长为44(1)求椭圆C的方程；FAFB121OD.PQ=.成立.FAFB121OD.PQ=.成立.又是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.a2=4b2…………..(1)，由.=0,由椭圆的定义可得bc则可得PQ=∴PQ.则可得PQ=∴PQ.OD=1.，故，，，400002 x02+16y02(2)由(2)由1x02+16y02x02+xx+16y02xx16一3x2FA.FB=xx16一3x2FA.FB=人=0=1x4x400又点O到直线,的距离为 x x16y02OD.PQ=.OD.PQ=.成立.FAFFAFB12OD.PQ【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几何的综合应用，难度较大．交于不同的A，B两点,O为坐标原点．.=一4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点.的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，标．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒到最后必定参数统消，定点、定值显现.(1)求椭圆的方程；(2)过点S0,-))|的动直线l交椭圆C于A,B两点，试问：在理由.当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=1.若直线l的斜率不存在，上述己经证明.点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转化为向量点积为过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。(1)求椭圆C的方程；2c线l的方程是y=(x-m)与椭圆的方程联立，利用韦达，根可得结果.=m2-2m2-m2-4=5(定值)，：PA2+PB2为定值.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个程中消去变量，从而得到定值.(I)求椭圆展的标准方程．【解析】试题分析：(I)依题意,得{=,再由b2=a2-c2椭圆方程联立,由韦达定理可求得y1y3=-,进一步可求(I)由题意，得{=解得{a=3点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立a,b,c的方程，求出a2,b2即可，注意a2=b2+c2,e=的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出x1+x2,x1.x2，再根据具体问题应用上式，其中要注意式条件的约束作用．(1)求动点P的轨迹C的方程；建立方程求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．(2)＝1.所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.Fx垂线交椭圆于A，B两点，且AB=3．(1)求椭圆C的标准方程：MNAAM,AN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．试题解析:(1)由题意可知c=1，又直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，在上式中以一k代替k，可得所以直线MN的斜率kMN=一，即直线MN的斜率为定值，其值为一.法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．中】过点M(0,1)且与直线l:y=一1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A，B(A在y轴的右侧)为曲线E上的两点，点(Ⅰ)求曲线E的方程．(Ⅱ)若t=6，直线AB的斜率为，过A，B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程．(Ⅲ)分别过A，B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，线，根据基本量可得其标准方程(2)先根据直线AB方程与抛物线方程解出A,B两点坐标，再利用导数求出在线的斜率，利用点斜式写出切线方程x-2ax1-4=0，同理可，∴抛物线x2=4y在点A处切线的斜率，2又∵kAB=12x+124题常见的方法有两种点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y=kx+b，然后利用条件建立k,b等量关系进行消元，借助于直线系的思(l)求抛物线的方程；(2)抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点(均与点不重合)，设直线的斜率分别为，求证：为定值.建立两个方程，两个未知数，可求得抛物线方程。(2)直线的方程为,代入得,由韦达定理可(2)∵点在抛物线上，且.()求椭圆的方程．若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．【答案】(1)．()斜率之和为定值．∴椭圆的方程为：．．点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上(1)求该抛物线C的方程；(2)已知抛物线上一点M(t,4)，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD」ME，判断直线DE是否过定点？并说明理化为关于y的一元二次方程后D,E一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.(2)由(1)可得点M(4,4)，可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：x=my+t，联立{xmy+t，得y24my4t=0，y=4x和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，这样就可以使问题简单化．(1)求动