浙江省精诚联盟2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题（解析版）

高中联考精品试卷PAGEPAGE1浙江省精诚联盟2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量，，若，则A．1 B．3 C． D．〖解析〗根据题意，向量，，若，则，解可得．〖答案〗B2．已知是虚数单位，复数满足，则对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖解析〗，，则对应的点位于第四象限．〖答案〗D3．已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则〖解析〗，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，对于A，若且，则由面面垂直的判定定理得，故A正确；对于B，若且，则与相交、平行或，故B错误；对于C，若且，则与相交、平行或异面，故C错误；对于D，若且，则或，故D错误．〖答案〗A4．正四棱锥中，底面边长与侧棱长均相等，为的中点，则异面直线与所成角为A． B． C． D．〖解析〗由题，，故异面直线与所成角为直线与所成角，即，又，为的中点，故为正三角形，且，，故．〖答案〗B5．在中，，，是方程的根，则角的正弦值为A． B． C． D．或〖解析〗由题意得或，当时，由正弦定理得，所以（舍，当时，由正弦定理得，所以．〖答案〗A6．如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中为菱形，且，则原图形的面积是A． B． C． D．27〖解析〗根据题意，直观图中，为菱形，且，则梯形的高，又由，则直观图的面积，则原图的面积．〖答案〗D7．已知，且向量在向量上的投影向量为，则的模为A．1 B． C．3 D．9〖解析〗向量在向量上的投影向量为：，，又，，．〖答案〗C8．如图，在空间四面体中，，，点是边上的动点（不包括端点），记与所成角为，与平面所成角为，与所成角为，则A．， B．， C．， D．，〖解析〗如图，过点作，过点作，交点为，过点，分别作，的平行线，交于点，连接，，则由于，故，而，，故平面，则三棱柱为直棱柱，因为，故即为与所成角或其补角，不妨假设即为，当为与所成角的补角时，仿上述作法同理可解；作，垂足为，则，由于三棱柱为直棱柱，则平面，连接，则即为与平面所成角，则，由题意可知，故，因而，由于，，，故；过点作的平行线，交于，作，垂足为，结合前述分析即假设为时，则即为与所成角，则，由题意可知，故，由于，，故．〖答案〗C二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．下列命题正确的是A．任意向量一定满足 B．任意复数，一定满足 C．任意向量一定满足 D．任意复数，一定满足〖解析〗选项，故正确；选项B：设复数，，则，，则不能恒成立．判断错误；选项，，．故正确；选项D：设复数，，则，则，又，则，则，则，即，则有．故正确．〖答案〗ACD10．已知顶点坐标是，，，则下列结论正确的是A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则〖解析〗由已知得，，，当为直角时，，解得，当为直角时，，解得，此时与重合，不符合题意，当为直角时，，解得或，经检验，符合题意，故若为直角三角形，则或；故A正确；若为锐角三角形，为锐角时，，解得，为锐角时，又，解得，为锐角时，，或，故为锐角三角形，则；故B正确；若为钝角三角形，为钝角时，，解得，为钝角时，又，解得，为钝角时，，，若为钝角三角形，则或或，故C错误；若为等腰三角形，若，可得，若，则，解得以，若，，（舍去）或，故为等腰三角形，则或或．故D错误．〖答案〗AB11．如图，在正三棱台中，，，分别是，的中点，则下列结论正确的是A．直线平面 B． C．该棱台的高是 D．该棱台的表面积是〖解析〗如图，将棱台补全为棱锥，依题意可得，取的中点，连接，设顶点在底面的射影为，则为的一个三等分点，则，，棱台的高是，故C错误；取的中点，连接、，，平面，，平面，同理可证平面，，，平面，平面平面，平面，平面，故|A正确；取的中点，连接，，，则为异面直线与所成角（或补角），，，，，，故B错误；如图，棱台的一个侧面中，，，，过点作，则，，，，棱台的表面积是，故D正确．〖答案〗AD12．已知平行四边形，，，，是线段上一动点．将沿所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论正确的是A．当时，存在某个位置，使得直线与直线垂直 B．当时，存在某个位置，使得直线与直线垂直 C．当时，存在某个位置，使得直线与直线垂直 D．当时，存在某个位置，使得直线与直线垂直〖解析〗设翻折前的记为，，，在翻折过程中，存在某个位置，使得直线与垂直，只需保证，，由极限位置知只需保证即可，在△中，，，，，由正弦定理知，则，其中，为线段上的一个动点，．〖答案〗BCD三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图，组合体是由棱长为1的正方体挖去部分圆锥所得的几何体，其中为圆锥的轴，求该组合体的体积．〖解析〗由棱长为1的正方体，可得正方体的体积为，又由为圆锥的轴，可得此圆锥的底面半径为，高为，所以挖去部分圆锥的体积为，所以挖去部分圆锥所得的几何体的体积为．〖答案〗14．设为复数，若为实数为虚数单位），则的最小值为．〖解析〗设，，为实数，，，，的最小值为．〖答案〗15．如图，信号发射塔位于公路的正北方，为测得此信号发射塔的高度，某同学在时测得信号塔位于西偏北的方向，他向西行走后到达处，测得此信号塔在西偏北的方向上，仰角为，则此信号塔的高为．〖解析〗作出图形如图所示，为信号发射塔，根据题意，，，平面，，可得，，在中，，．〖答案〗2516．已知平面向量满足，则当取到最小值时，．〖解析〗如图，设与轴的焦点为，则可设，又，，根据数量积的几何定义，在上任取点，在上任取点，则，，连接并延长交于点，则，又，连接，交于点，则，均为中点，，，且，设，又，，，，，三点共线，即点在直线上，不妨设直线倾斜角为锐角，又，且，，要使取到最小值，即直线上的点到点的距离最小，当直线过原点，且为时最小为0，此时，，，共线，即图中为，为，为，此时．〖答案〗四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知．（1）与的夹角；（2）求的值．解：（1），，，，，又，，；（2），，，．18．（12分）在复平面内，复数，对应的点分别为，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．（1）求实数；（2）定义复数的一种运算“”：，求．解：（1），，，是“理想复数”，得．（2）由（1）知，，，，，．19．（12分）如图，四边形内接于半圆，为直径，设的面积为，满足．（1）求的值；（2）若，求直径的长．解：（1）由．得，得，由余弦定理得，即，所以；（2）由题得，所以，在中，，得，．20．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，且底面是直角梯形，满足，，，点在线段上，且．（1）求证：；（2）求证：平面．证明：（1）由，可得，又面平面，面平面，平面，则面，又面，则；（2）连接交于点，连接，由梯形中，，得，又，，面，面，平面．21．（12分）中，角，，所对的边分别为，，，已知，且．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．解：（1），又，，由正弦定理得，又，，，，，或，；（2）由（1）结合正弦定理，得，，，由为锐角三角形，且，则，解得，在单调递增，，．故的面积的取值范围为，．22．（12分）已知梯形中，，，为线段上一点（不在端点），沿线段将折成△，使得平面平面．（1）当点为的中点时，证明：平面平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．（1）证明：当点为的中点时，由题得，故，，且都在平面中，故平面．又平面，故平面平面（2）解：如图过作交于点，连，则平面平面，平面平面，，平面，故平面，所以是直线在平面上的投影，直线与平面所成角即为直线与直线所成角，即为，，又，在△中，，在中，