中国数学之三

宋元数学中世纪的中国数学之三这一时期包括宋元两代，即900年至1368年。宋代结束了五代十国的封建割据的局面以后，出现了社会稳定、生产发展、经济繁荣的景象，特别是统治者鼓励发展科学技术，同时改革旧的科举制度，极大地推动了科学文化技术的发展。闻名于世的中国古代“四大发明”中的指南针、火药和活字印刷这三大发明就都是在宋代完成并获得广泛的应用的。到了元代，蒙古骑兵占领了欧亚大陆的广大地区，促进了中外交流，印刷术的发展也推动了数学教育与研究，再加上前一时期数学知识的大量积累，诸多因素的汇集，促使中国以算筹为主要工具的传统数学出现了极其辉煌的成就，到达了兴盛时期。这一时期的一个显著的标志是数学家及其数学著作的大批出现。据不完全统计，著名的数学家数十人（其中最著名的就是“宋元四大家”：秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰），有记载的数学专著百余种，远远超出了前面的各个时期。这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。数学研究的内容也有了显著的变化，如果说由赵爽、刘徽至王孝通的这一时期几何学得到了高度的发展，那么宋元高峰时期基本上是以代数为中心的时期。在这个时期，关于高次方程的数值解法、线性方程组的解法、高阶等差数列、组合数学、半符号代数以及属于数论范畴的同余式组的解法等，都达到了当时世界的最高水平。高次方程的数值解法中国剩余定理内插法与垛积术“天元术”和“四元术”中国传统数学的衰落与复苏中国传统数学的特点一、高次方程的数值解法

《九章算术》、《辑古算经》等著作中所载的开平方、开立方方法已具备了解二次、三次方程的雏形。宋代以前，也曾经有人尝试将这种方法推广到解更高次的方程。但目前明确记载并保存下来的应是北宋数学家贾宪创造的“增乘开方法”。贾宪的“增乘开方法”1050年前后，北宋数学家贾宪撰写了一部名为《黄帝九章算术细草》的著作，给出了用“增乘开方”来解形如的方程的方法，迈出了将传统的开平方、开立方方法推广为求解一般高次方程的重要一步。贾宪的著作早已失传，但其主要内容被南宋时期的数学家、数学教育家杨辉摘录在他自己的著作《详解九章算法》（1261）中。贾宪的“增乘开方法”由此我们可以看出，贾宪的高次开方法是以“开方作法本源”图为基础的。图中数字排列成一个三角形，该三角形的每n横行恰好是二项展开式中的各项系数。贾宪的“增乘开方法”贾宪三角本图采自《永乐大典》贾宪的“增乘开方法”“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命实以除之。”左袤乃积数——指左边由上而下的那一行是二项展开式中常数项系数；右袤乃偶算——指右边由上而下的那一行是展开式中最高次项系数；中藏者皆廉——中间那些数是对应各次项的系数；以廉乘商方，命实而除之——指开方或解方程时用所得的商去乘各次项系数，再从实中减去。

前两句是指三角形最外边的两列数字分别对应各次开方之积与隅算，第三句是说中间的数字分别对应开方过程中所出现的各廉，后两句是对开方算法的概括。廉：边谓之廉,角谓之隅。——《九章算术》贾宪的“增乘开方法”杨辉《详解九章算法》中记载了求1336336的四次方根(正根)。由以上程序可以看出：“增乘开方法”包括了四种算法：缩根（将方根缩小至原来的1/10n而使其仅保留一位整数）、估根（通过试除确定这个整数的数值）、减根（除去这个确定的整数）和倍根（使方根的剩余部分扩大10倍而重现一位整数）。在开方过程中，随乘随加，反复迭加，计算减根变换后方程各项系数的方法，具有鲜明的算法特点，这与现代所用的“霍纳算法”已基本一致。贾宪的“增乘开方法”贾宪的“增乘开方法”尽管已经可以用于解高次方程，但贾宪本人却只是单纯地用它来处理开方问题，而且在他以及以前的中国数学家的论述中，由开方引出的方程其系数都是正数。虽然12世纪北宋学者刘益对方程系数必须为正的限制已经有所突破，并在他所著的《议古根源》一书中允许方程的系数为负数，但由于该书的亡失，其方法并没有流传下来。将“增乘开方法”推广到高次方程一般情况的是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶秦九韶，字道古，1202年出生于普州安岳（今四川安岳），其父曾任南宋四川巴州守，优越的家庭环境使得秦九韶能有机会去向掌管历法的太史局官员求教天文历法，在数学上又得到过“隐君子”的指点教诲，成年后相继在四川、湖北、安徽、江苏等地做官，但任期都不太长，后因参与派系斗争失败而被贬谪至梅州，1261年死于任所。秦九韶“正负开方术”《数书九章》这部传世名著是秦九韶1244-1247年在家守母孝期间撰写的，其主要内容是他此前十数年间埋头钻研的数学结果。这部著作继承了中国古代传统数学的特色，特别是受《九章算术》的影响，采用了问题集的形式。但其中问题的复杂程度和解题水平均高于以往的著作，它代表了当时中国乃至世界中世纪数学的最高成就。美国哈佛大学科学史家萨顿曾作出极高的评价：“秦九韶是他那个民族、他那个时代、并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。”秦九韶“正负开方术”《数书九章》全书搜集了与当时社会生活密切相关的81个数学实际应用问题，按性质分为九类，每类九题，共18卷。这九类分别是：大衍、天时、田域、测望、徭役、钱谷、营建、军旅和市物。其中，他推广传统的“开方法”，创立了“正负开方术”。秦九韶“正负开方术”方法是先列出相当于的方程，其中其余系数可正可负，而常数项则总是负的（“实常为负”）。若试商为，作减根变换，则将方程变形为然后利用类似于贾宪的“增乘开方法”的迭代程序来计算变换后所得到的新方程的各项系数秦九韶这一程序与贾宪增乘程序的主要区别在于：后者在以试商由下而上累乘累加的最后，要将所得结果从常数项中减去；而秦九韶的程序由于规定了“实常为负”，整个运算便统一为加法，彻底实现了机械化的随乘随加．秦九韶“正负开方术”另外秦九韶明确他的程序可以用来求解一般的高次方程，他的《数书九章》共含了21个高次方程，其中次数最高的是10次方程。除了“正负开方术”，《数书九章》最重要的成就还有“大衍总数术”，即一次同余式的一般解法。这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。数学家、数学教育家杨辉宋代数学在向高深发展的同时，简算法、数学歌诀、初等级数和纵横图等也得到了很大的发展和普及。南宋末期的数学家兼数学教育家杨辉是这方面工作的杰出代表。杨辉，字谦光，南宋末钱塘人，生平不详。杨辉一生著述甚丰，有《详解九章算法》等五种21卷。杨辉的著作有两个主要特点：其一是深入浅出，文笔流畅，图文并茂，便于教学和民间流传；其二是广泛征引了前代数学典籍精华，以致一些数学家的原著虽已失传，但其主要内容通过杨辉的书得以保存。杨辉最重要的著作是《详解九章算法》。“详解”包括三个方面：一是“解题”，即解释题意、名词术语，校勘文字，并对题目作出评注；二是“细草”，即详细的解题过程及必要的图示；三是“比类”，即增选与原题算法相同或类似的例题进行对照分析。杨辉在数学教育方面也有重要贡献。他特别重视数学的普及教育，亲手编制了多种教材并制定出详细的教学计划。在教学安排上，他强调由浅入深，循序渐进。在《乘除通变本末》一书中，他为初学者制订了“习算纲目”，列出了学习内容，先后顺序及进度安排，这是中国数学教育史上的一个重要文献。在教学方法方面，杨辉注意深入浅出，直观形象，他很注意讲清题意。在学习方法上，他提倡熟读精思，融会贯通。对于培养计算能力，他很强调要“多练”。二、中国剩余定理

如前所述，《孙子算经》提出了著名的“孙子问题”，其给出的解法虽然是针对具体问题的，但具有一般性。我们容易推广如下：如要求一个最小整数N，它被两两互素的s个数除时，余数分别为，仿照上述方法，首先对每一个作，然后找一个整数（这里的相当于孙子问题解法中的70，21，15），再将分别与相乘后求和，设为，如果，则M即为所求；如果，则M被除后所得的余数即为所求。这就是数论中著名的“剩余定理”。秦九韶“大衍总数术”秦九韶在《数书九章》卷一“大衍总数术”中推广了“孙子问题”的解法。秦九韶的方法是通过对具体问题的讨论给出的，但具有一般性。与中国相比，西方数学家对于同余式（组）的研究则要迟得多。意大利学者斐波那契的《算术》（1202年）中虽有好几道同余式组的问题，但其研究的水平不高于《孙子算经》。从14世纪到17世纪，西欧数学著作中仅零星出现少量的一次同余式问题。对于这些问题，即使有正确答案，也没有一般的解法。从18世纪上半叶开始，瑞士数学家欧拉、法国数学家拉格朗日和德国数学家高斯等相继开始研究同余式的问题。1734年，欧拉在俄罗斯彼得堡学报发表了关于同余式ax≡1(modb)的解法，他的方法是通过对a,b辗转相除来求解的，与秦九韶的“更相减损”思想完全一致。1801年，“数学王子”高斯出版了他的数学巨著《算术研究》，全书共七章，第二章专门讨论一次同余式及同余式组的解法。高斯的研究，给出了一次同余式的最一般的定理，使这一理论最终得到完善。西方对同余式问题的研究也是起源于天文历法。在西方，直到18世纪，经过欧拉、拉格朗日和高斯三代巨匠前后60多年的努力，才比较系统地建立起一次同余式的理论。这在当时的数学界引起了很大的轰动，当时居世界数学中心地位的彼得堡科学院、柏林科学院等竞相刊登这些成果，以示庆祝。然而他们并不知道，早在500年前的东方，相应的成果就已灿烂夺目了。当然，他们的研究也弥补了中国数学的不足，即做出了更为细致的讨论和严格的证明。由于客观条件的限制，中国传统数学的这一杰出成就很晚才被西方数学界所知。1839年，毕欧在《亚洲杂志》上发表了一篇关于程大位《算法统宗》的文章，文中论述“孙子问题”，但这个关于中国剩余定理的最早报道好象在欧洲并没有引起人们的重视。1842年，《数书九章》的“宜稼堂丛书”本出版，这使得正在中国与李善兰合作翻译介绍西方科学文化的英国人伟烈亚力，第一次接触到中国传统数学的原始资料。时隔10年，伟烈亚力在《字林西报》上发表了关于中国科学技术史的论文——《中国科学的论述》，其中论述了《孙子算经》中的“孙子问题”，在这篇论文中，最重要的一点是伟烈亚力首次向西方解释了秦九韶的“大衍总数术”，并介绍了秦九韶的第一道题的全部解说，以及其他问题的一些注记。1856年，伟烈亚力的这篇论文被译成德文发表，于是，中国的“大衍术”开始在欧洲数学界为人们所知晓，但由于伟烈亚力解释的不确切和翻译的错误，人们对这一成就的认识并不充分。当时，德国著名数学史家康托尔在他的《关于数学的历史》一书中就认为：“看来中国人在不定分析研究方面比同时有文化的民族较为逊色。”首先认识到中国“大衍术”真正意义的是德国人马蒂生。他从1876年开始，发表了一系列论著，高度评价了秦九韶的“大衍求一术”，指出它实质上与高斯定理是等价的，并且订正了德文翻译的错误，给出了剩余问题的正确阐述。马蒂生的工作终于改变了欧洲学者对这一问题的看法。例如前面提到的康托尔，在读了马蒂生的论述后，承认这一法则的正确性并由衷地赞美它，称秦九韶是“最幸运的天才”。从数学史的观点来看，一篇最重要的论文是玛赫勒1957年发表的“中国剩余定理”，正是这篇论文首次提出用中国来命名这一伟大的数学成就，以表彰中国数学家们所做出的杰出贡献。这一命名很快就风行全球，并被教科书所采纳。秦九韶的另一项成果是得出了“三斜求积公式”。《数书九章》卷五第2题题意是：已知三角形地块的三边长分别为13步、14步、15步，求它的面积。把秦九韶的解法用现代的符号表示，就是：设三角形三边长分别为a,b,c，则面积为这就是秦九韶的三斜求积公式，它与古希腊的“海伦公式”是等价的。三、内插法与垛积术古代天算家由于编制历法而需要确定日月五星等天体的视运动，当他们观察出天体运动的不均匀性时，内插法便应运产生．早在东汉时期，刘洪《乾象历》就使用了一次内插公式来计算月行度数．这当然是比较粗糙的近似。公元600年刘焯在《皇极历》中使用了二次内插公式来推算日月五星的经行度数．公元727年，僧一行又在他的《大衍历》中将刘焯的公式推广到自变量不等间距的情形．但由于天体运动的加速度也不均匀，二次内插仍不够精密。随着历法的进步，对数学工具也提出了更高的要求．到了宋元时代，便出现了高次内插法。首先是郭守敬、王恂等在著名的《授时历》(1280)中，认定天体运行的距离是时间的三次函数不过郭守敬等并没有明确给出三次内插公式，而是用差分表来解决问题，他们称自己的方法为“招差”，因此一般中算史文献上都称内插法为“招差术”．最先获得一般高次内插公式的数学家是朱世杰．朱世杰(公元1300前后)，字汉卿，自号松庭，寓居燕山(今北京附近)，是一位平民数学家和数学教育家，“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元玉鉴》后序)．朱世杰的代表著作有《算学启蒙》(1299)和《四元玉鉴》(1303)．《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了日本与朝鲜数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最突出的数学创造有“招差术”(即高次内插法)，“垛积术”(高阶等差级数求和)以及“四元术”(多元高次联立方程组与消元解法)等.这是一个四次招差公式，在形式上已与现在通用的格利高里(J·Gregory)—牛顿公式相一致。朱世杰是怎样得出这一公式的呢?在“如象招数”第5问术文中有明确的说明，他是利用了高阶等差数列求和的公式，这就涉及到宋元时期的另一项数学成就——“垛积术”．高阶等差数列的研究在中国始于北宋的沈括(1031—1095)。沈括（1031—1095）《梦溪笔谈》，被李约瑟称为“中国科技史的里程碑”。该书提出的高阶等差数列求和的“隙积术”，由圆的直径和高计算弓形弧长的“会圆术”，以及计算棋局总数的“棋局都数”等课题都具有很高的学术价值。沈括《梦溪笔谈》卷十八“隙积术”，就是关于长方台形垛积的求和公式．四、“天元术”和“四元术”“天元术”的产生标志着中国传统数学发展到一个新的高度，这就是半符号代数的产生。由于高次方程数值解法的发展，必然引起人们对列方程方法的探求。据研究，这一先进的数学方法产生于12世纪，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》是现存最早的系统介绍和研究“天元术”的著作。李冶（1192—1279）曾中过金朝进士，并担任过地方官。金朝灭亡后，他隐居于今山西、河北一带，一面进行数学研究，一面收徒讲学。在这期间，他完成了《测圆海镜》十二卷（1248年）和《益古演段》三卷（1259年）。在这两部著作中，他对已有的“天元术”进行了改进与简化，其方法是：首先“立天元一为某某”，这相当于“设x为未知数”，“天元一”就表示未知数。这样就抛弃了那种每一项都要用一个文字来表示的繁琐的方法，形成了一种简捷的固定形式。作为应用，他在《测圆海镜》中利用“天元术”解决了六七百条几何命题的证明，主要是勾股容圆问题。其《益古演段》大都阐述平面图形间的面积关系。用天元术列方程的方法，与现代代数中的列方程法相类似．首先“立天元一为某某”，这相当于“设为某某”，“天元一”就表示未知数，在筹算盘上列天元式，先确定未知数一次项系数的位置，在其旁置一“元”字，其余各项按未知数幂次相对于一次项上下递增或递减排列．有时李冶则在常数项旁置一“太”字来代替在一次项旁置“元”．如方程有负系数，就在这系数的个位筹码上加一斜划．比如，方程式用天元式表示就是元代数学家朱世杰推广了“天元术”提出用“四元术”来解四元方程，可以说这是中国筹算代数学的颠峰。“四元术”以“天”、“地”、“人”、“物”来表示四个不同的未知数．如果用今天的x,y,z,w来代替“天”、“地”、“人”、“物”，那么朱世杰列高次多元方程组的方法就如图所示．在筹算盘上列四元式，通常是将相应的各项系数记在图中相应的位置上，不相邻二未知数的乘积所构成的各项(如yz,xw)，则记入图中相应的间隙位置．在“四元术”中最精彩的是所谓“相消法”，即由该方程组经过变形得到一个一元的高次方程。其主要步骤是“剔而消之”、“互隐通分相消”和“内外相消”这三步。朱世杰的相消法是中国数学史上一项杰出的成就。在西方，由方程f(x,y)=0与g(x,y)=0消去一个未知数的方法是由法国的贝佐特于1764年给出初步方案，1779年在《代数方程的一般理论》一书中才正式发表的，比朱世杰晚了近500年，因此，美国科学史家萨顿称朱世杰是“贯穿古今的一位最杰出的数学家”。朱世杰在数学教育方面也作出过重要贡献。他周游四方20多年间，一面刻苦钻研数学，一面广招门徒，传授数学。他自编《算学启蒙》作为教材，此书涉及到了当时的主要数学基础知识及其在日常生活和商业中的应用，内容广泛全面，编排循序渐进，叙述深入浅出，是一部很好的数学启蒙教材。该书流传甚广，曾传入日本、朝鲜，并被朝鲜定为数学教材。《算学启蒙》中的“明正负术”将古代正负数加减法则中的除字改为减，益字改为加，这与现代的名称相同。书中的“明乘除术”中有“同名相乘为正，异名相乘为负”及“同名相除为正，异名相乘为负”。这是我国正负数乘除法则的最早记载。李冶发展总结的“天元术”和“朱世杰”创立的四元术实际上已是一种半符号式的文字代数，它比古希腊和印度数学中使用缩写文字记号来记述方程的简字代数向前迈进了一步。这是我国对世界数学的一大贡献。半符号代数VS准变量表达式到16世纪，韦达等人较系统地引入了字母表示数及常用的数学符号，符号式代数才逐渐建立起来。特别需要指出的是，宋元数学不仅是中国数学史上最辉煌的一页，同时也是中世纪时期世界数学史上最丰富多彩的一页。然而，由于后继无人等诸方面的原因，中国数学发展到宋元高峰以后突然中断了，随之而来的是明代数学研究的断代。

五、中国传统数学的衰落与复苏从明代起，中国封建社会开始衰落，资本主义因素开始慢慢地萌发了，但由于根深蒂固的封建帝王统治的抑制，使资本主义的幼芽未能顺利得以发展。统制阶级为了维护其统制地位，规定科举制必须采用“八股”文体，使得大批的知识分子“皓首穷经”，而鄙夷天文、数学等专门学问为“奇技淫巧”，加上生产水平低下与数学理论高度发展相脱节的实际状况，致使中国数学由宋元时期的蓬勃发展而突然走向衰落。一个典型的例子是，明代有两个很有影响的数学家唐顺之和顾应祥他们在读李冶的《测圆海镜》时，竟然不能理解“天元术”的意义；他们还自作聪明，认为原著中的细草是多此一举，故把它们全部删去，使得后世人们很难理解李冶的原意了。

当然，尽管这一时期数学的许多分支停滞不前，但也并非整个数学科学就没有发展。随着明带手工业经济及航海贸易的发展，商业数学倒是异军突起，有了长足的进步。特别是珠算，自宋代提出了改革筹算，到元明之际，珠算作为数学计算工具，其应用日益广泛。到了明代中叶，珠算已在全国普及，彻底完成了筹算向珠算的转变。杭州数学家吴敬积20年之功完成了《九章算法比类大全》，该书收集了大量与商业活动有关的计算问题，导致了珠算的进一步发展。16—17世纪有关珠算的书籍很多，其中程大位的《直指算法统宗》是一本比较完备的应用算术书，流传最广，一度几乎户藏一册。由于珠算盘携带方便，拨动自如，并且有口诀相配合，计算迅速准确，是当时世界上最好的计算工具，直至电子计算机高度发展的今天，仍在一些国家广泛使用，这不能不算是当时的一大成就。明末清初，西方数学虽然受到封建统治阶级的排斥与禁锢，但还是通过传教、经商等途径陆续传入中国。这一时期以意大利传教士利玛窦来华为起点。1581年，利玛窦以西方近代数学及其他科学知识为敲门砖，踏入中国进行传教活动。他精通汉语，1600年与擅长中国传统数学并对西方数学有强烈兴趣的徐光启相识，便相约共同研究介绍西方科学。1606年，由利玛窦口授，徐光启笔述，翻译了欧几里得《几何原本》前六卷，这是翻译西方数学书籍的开始。入清以后，由于这种学习西方先进科学文化的方式得到了统治者的默许，各种西方科学知识的译著大量涌现。在数学方面，较著名的是英国传教士伟烈亚力与李善兰合作翻译的《几何原本》后九卷。在较为开明的康熙皇帝的支持下，自1690年至1721年，由法国传教士协助梅瑴成等人编写的《数理精蕴》，堪称介绍西方初等数学知识的“百科全书”，它包括了几何学、三角学、代数学及算术等，成为当时人们学习研究西方数学的重要源泉。后来还逐步传入了代数法、平面三角、球面三角以及部分圆锥曲线等，但由于传教士自身的科学文化水平有限，真正代表当时西方数学水平的微积分理论和系统的解析几何理论并未能及时传入中国。西方数学知识的传入，给濒于死亡的中国传统数学注入了新鲜的血液，使之由衰落开始转入复苏。这时的数学研究工作出现了两个倾向，一是对西方传入的数学开始进行整理、加工、消化、吸收；二是重新钻研整理中国的传统数学。清初杰出的天文学家、数学家梅文鼎（1637-1721）以事实求是的态度整理加工西方数学，融会中西数学的精粹，编撰了《梅氏历算全书》，计30种75卷，涉及初等数学各个分支，对中国数学的发展起到了承前启后的作用，与他同代的王锡阐著有《圜解》，为中国自著最早的三角学著作之一。他们二人的工作，不仅使明代以来衰微的传统数学重新获得生机，而且使西方传入的数学在中国生根、开花、结果。继梅、王之后，数学研究在中国又出现了高潮，数学家与数学著作层出不穷，据记载，这一阶段有500多位数学家撰写了1000多种数学书籍，比较重要的有以下几种：年希尧著有《测算刀圭》、《面体比例便览》和《视学》等，其中《视学》是一部有关透视学和画法几何的著作，其水平很高，特别是关于画法几何的研究，比被称为“画法几何之父”的法国数学家蒙日的《画法几何学》（1799年）还早70年。蒙古族数学家明安图“积思30余年，著《割圆密率捷法》四卷”，在证明幂级数表达式和圆周率、正弦、正矢公式方面取得突破性的成就，特别是他独立发现的一些幂级数公式，可与他同时代的欧拉分享殊荣。此外，焦循对算术运算律的总结；董诚、项名达、戴煦在级数和对数理论方面的研究；汪莱、李锐等人对传统方程论的阐述等，都有着十分杰出的成就。1840年，鸦片战争后，李善兰、华衡芳等人在翻译介绍西方数学方面又作出了杰出的贡献。到了20世纪初，中国沦为半封建半殖民地，受世界先进的现代科学文化的影响，中国传统数学除了少数数学史工作者外已无人问津，数学教科书与西方已大致相同，中国数学开始走上了世界化的道路。中国传统数学自元末以后落后的原因是多方面的。皇朝更迭的漫长的封建，在晚期表现出日趋严重的停滞性与腐朽性，数学发展缺乏社会动力和思想刺激。元代以后，科举考试制度中的《明算科》完全废除，唯以八股取士，数学社会地位低下，研究数学者没有出路，自由探讨受到束缚甚至遭禁锢。同时，中国传统数学本身也存在着弱点。筹算系统使用的十进位值记数制是对世界文明的一大贡献，但筹算本身却有很大的局限性。在筹算框架内发展起来的半符号代数“天元术”与“四元术”，就不能突破筹算的限制演进为彻底的符号代数。筹算方程运算不仅笨拙累赘，而且对有五个以上未知量的方程组无能为力。另一方面，算法创造是数学进步的必要因素，但缺乏演绎论证的算法倾向与缺乏创造的演绎倾向同样难以升华为现代数学。而无论是笔算数学还是演绎几何，在中国的传播都由于“天朝帝国”的妄大、自守而显得困难和缓慢。16、17世纪，当近代数学在欧洲蓬勃兴起以后，中国数学就明显地落后了。六、中国传统数学的特点总而言之，中国传统数学源远流长，常汲不竭。长期以来