第2章简单事件的概率（8个考点梳理典型例题核心素养提升中考热点聚焦）九年级数学讲义（浙教版）

第2章简单事件的概率（8个考点梳理+典型例题+核心素养提升+中考热点聚焦）【知识导图】【知识清单】考点1.事件类型的判断【例1】．下列事件是随机事件的是（

）A．抛出的篮球会下落 B．没有水分，种子发芽C．购买一张彩票会中奖 D．自然状态下，水会往低处流【答案】C【详解】解：A．抛出的篮球会下落，是必然事件；B．没有水分，种子发芽，是不可能事件；C．购买一张彩票会中奖，可能中奖也可能不中奖，是随机事件；D．自然状态下，水会往低处流，是必然事件；【例2】下列事件中，属于必然事件的是（

）A．随时打开电视机，正在播新闻B．优秀射击运动员射击一次，命中靶心C．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上D．长度分别是3cm，5cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形【答案】D详解：A．是随机事件，故A不符合题意；

B．是随机事件，故B不符合题意；

C．是随机事件，故C不符合题意；

D．是必然事件，故D符合题意．【变式】抛掷两枚分别标有1，2，3，4的四面体骰子，写出这个实验中的一个随机事件是__________；写出这个实验中的一个必然事件是_______．【答案】一枚骰子4朝上，一枚骰子3朝上任意两个骰子面朝上的数字和不小于2【详解】解：随机事件：如一枚骰子4朝上，一枚骰子3朝上；（答案不唯一）必然事件：如任意两个骰子面朝上的数字和不小于2．故答案为一枚骰子4朝上，一枚骰子3朝上；任意两个骰子面朝上的数字和不小于2．考点2.利用概率判断游戏的公平性【例2】（2022秋•西湖区校级月考）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个材质均匀的转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到4的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘，（1）转盘转到4的倍数的概率是多少？（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【解答】解：（1）∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中4的倍数有2个，∴P（转到4的倍数）＝；（2）游戏不公平，∴小亮去参加活动的概率为，小芳去参加活动的概率为：＝，∵≠，∴游戏不公平．【变式】（2023春•鄞州区校级月考）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．（1）如图1，小南先踩中一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字1（包含数字1的黑框区域记为B，A与B外围区域记为C）．二人约定：在C区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明．（2）如图2，在D，E，F三个黑框区域中共藏有10颗地雷（空白区域无地雷），则选择D，E，F三个区域踩到雷的概率分别是．【解答】解：（1）这个游戏不公平，理由如下：∵在C区域的（9×9﹣9﹣4）＝68（个）方块中随机埋藏着（20﹣2﹣1）＝17（颗）地雷，C区域中有（68﹣17）＝51（个）方块中没有地雷，∴小南胜的概率为＝，小语胜的概率为＝，∵＜，∴这个游戏不公平；（2）∵围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷，空白区域无地雷，∴D区域中有2个地雷，∴选择D区域踩到雷的概率为1；∵围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷，空白区域无地雷，∴E区域中有2个地雷，∴选择E区域踩到雷的概率为；∵在D，E，F三个黑框区域中共藏有10颗地雷（空白区域无地雷），∴F区域中有：10﹣2﹣2＝6（颗）地雷，∴选择F区域踩到雷的概率为＝；故答案为：1，，．考点3.用公式法求概率【例3】（2023春•乐清市月考）一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次，向上一面的数字是偶数的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次共有6种等可能结果，其中向上一面的数字是偶数的有3种结果，所以向上一面的数字是偶数的概率为＝，故选：B．【变式】（2023•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝．【解答】解：根据题意，＝，解得n＝9，经检验n＝9是方程的解．∴n＝9．故答案为：9．考点4.用列表法求概率【例4】取四张完全相同的卡片，分别写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学从中随机抽取一张，记下标号后放回．（1）班长在四种卡片中随机抽到标号为C的概率为．（2）平平和安安两位同学抽到的卡片不同的概率是多少？用树状图或列表的方法表示．【答案】（1）；（2），见解析【详解】解：（1）∵共有四张图片，分别写着A、B、C、D四个标号，∴班长在四种卡片中随机抽到标号为C的概率为；故答案为：；（2）列表如下：平平安安ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）一共有16种等可能情况，其中抽到的卡片不同的有12种，则平平和安安两位同学抽到的卡片不同的概率是．考点5.用画树状图法求概率【例5】小宏和小倩抛硬币游戏，规定：将一枚硬币连抛三次，若三次国徽都朝上则小宏胜，若三次中只有一次国徽朝上则小倩胜，你认为这种游戏公平吗（）A．公平 B．小倩胜的可能大 C．小宏胜的可能大 D．以上答案都错【答案】B【详解】根据题意，画出树状图：由图可知，所有等可能情况总数为8，三次国徽都朝上的情况数为1，只有一次国徽朝上的情况数为2，则：P小宏=，P小倩=，故该游戏不公平，小倩获胜的概率更大，【变式】中国古代在数学方面的成就辉煌，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等都是我国古代数学的重要文献．某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为A，B，C，D的4张卡片（如图所示，卡片除编号和书目外，其余完全相同），现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好：(1)若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《九章算术》的概率为______；(2)若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《周髀算经》和《孙子算经》的概率．【答案】(1)(2)图见解析；【详解】（1）解：从4张卡片中随机抽取一张，抽到《九章算术》的概率为，故答案为：．（2）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，抽到《周髀算经》和《孙子算经》的结果有2种，∴抽到《周髀算经》和《孙子算经》的概率为：．考点6.用频率估算法求概率【例6】（2022秋•桐庐县期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区200名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：组别（cm）x＜160160≤x＜170170≤x＜180x≥180人数10mn42根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）A． B． C． D．与m，n的取值有关【解答】解：样本中身高不低于180cm的频率＝＝，所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于180cm的概率是．故选：B．【变式】（2022秋•杭州期末）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：抽取件数（件）501002005008001000合格频数4795188480763949合格频率（1）估计任抽一件衬衣是合格品的概率（结果精确到）．（2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件．【解答】解：（1）由表可知，估计任抽一件衬衣是合格品的概率为；（2）次品的件数约为2000×（1﹣）＝100（件）．考点7.利用概率解与代数综合问题【例7】设a,b是两个任意独立的一位正整数,则点（a,b）在抛物线y=ax2bx上方的概率是()A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵a、b是两个任意独立的一位正整数，∴a，b取1～9，∴代入x=a时，y=a3ba，∵点（a，b）在抛物线y=ax2bx的上方，∴by=ba3+ba＞0，当a=1时，b1+b＞0，∴b＞，有9个数，b=1，2，3，4，5，6，7，8，9，当a=2时，b8+2b＞0，∴b＞，有7个数，b=3，4，5，6，7，8，9，当a=3时，b27+3b＞0，∴b＞，有3个数，b=7，8，9，当a=4时，b64+4b＞0，∴b＞，有0个数，b在此以上无解，∴共有19个，而总的可能性为9×9=81，∴点（a，b）在抛物线y=ax2bx的上方的概率是；【变式】从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这9个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：＝3的解是负数，且使关于x的函数y＝图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为_____．【答案】【详解】解：＝3，解得，x＝﹣3﹣m，∵方程的解是负数，∴，解得：m＞﹣3，且m≠﹣2，∵关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大，∴m﹣3＜0，∴m＜3，∴﹣3＜m＜3，且m≠﹣2，∴m＝﹣1或0或1或2，有4种可能，故概率为，考点8.利用概率解与几何综合问题【例8】（2022秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）如图，在矩形纸片上做随机扎针试验，过对角线的交点，则针头扎在阴影区域内的概率为．【答案】【详解】解：∵矩形纸片，对角线交于点O，∴，，∴，∵，∴，∴图中阴影部分面积∴针头扎在阴影区域内的概率为；【变式】（2023·山东济南·统考二模）如图，一块飞镖游戏板由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，若，，游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率是．【答案】【详解】解：∵正方形面积为，其中阴影部分面积为，∴击中阴影部分的概率是，【核心素养提升】1数形结合思想【例9】．（2022秋·安徽·九年级校联考开学考试）如图是由16个边长为1的小正方形组成的图形，已经有3个小正方形被涂色，在涂色一个小正方形，使它和已知阴影部分组成一个轴对称图形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图所示：在剩余的13个小正方形中，有4种涂法能使它和已知阴影部分组成轴对称图形，概率为：，【变式】小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：依此估计此封闭图形ABC的面积是_____m2．【答案】3π．详解：由表中数据可得：当投掷石子50次时，；当投掷石子150次时，；当投掷石子300次时，；∴石子落在阴影部分的概率大约是落在⊙O内(包括和⊙O上)的概率的2倍，∴S阴影=2S⊙O，又∵S⊙O=,∴S阴影=，∴此封闭图形ABC的面积是：m2.2数学建模——构建方程模型解决频率估计概率的问题【例10】．（2023•温州模拟）一个密闭不透明的口袋中有质地均匀、大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入10个红球（红球与白球除颜色不同外，其它都一样），将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有63次摸到红球．估计这个口袋中白球的个数约为个．【解答】解：设袋子中白球有x个，根据题意，得：＝，解得x≈6，经检验x＝6是分式方程的解，所以袋子中白球的个数约为6个，故答案为：6．【中考热点聚焦】热点1.概率公式的应用1．（2023•绍兴）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（）A． B． C． D．【分析】由一个不透明的布袋里装有7个球，其中2个红球，5个白球，它们除颜色外其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是：＝，故选：C．【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．2．（2023•丽水）某校准备组织红色研学活动，需要从梅歧、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅歧红色教育基地的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据概率公式直接计算即可．【解答】解：∵红色教育基地有4个，∴选中梅歧红色教育基地的概率是．故选：B．【点评】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．3．（2023•衢州）衢州飞往成都每天有2趟航班．小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等于．【分析】根据概率公式即可得到结论．【解答】解：如图所示，选择航班从衢州飞往成都共有4种情况：（A，A）（A，B）（B，A）（B，B），其中选择同一航班从衢州市飞往成都市的有两种情况：（A，A），（B，B）．∴P（选择同一航班从N市飞往S市）＝．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．4．（2023•浙江）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是．【分析】直接根据概率公式求解即可．【解答】解：从这三张卡片中随机挑选一张，是“琮琮”的概率是，故答案为：．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．5．（2023•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝．【分析】根据红球的概率公式，列出方程求解即可．【解答】解：根据题意，＝，解得n＝9，经检验n＝9是方程的解．∴n＝9．故答案为：9．【点评】本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．热点2.用频率估计概率6．（2023•恩施州）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：移植的棵数a1003006001000700015000成活的棵数b84279505847633713581成活的频率根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到）（）A． B． C． D．【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在左右，故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为．故选：C．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．7．（2023•鞍山）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有个．【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案．【解答】解：由题意可得，口袋中红球的个数约为：12×＝3（个）．故答案为：3．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．8．（2023•兰州）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：累计抛掷次数501002