人教版 垂径定理及其推论【十大题型】（解答版）

PAGE1专题24.2垂径定理及其推论【十大题型】【人教版】 【题型1由垂径定理及其推论判断正误】 1【题型2根据垂径定理与勾股定理综合求值】 3【题型3根据垂径定理与全等三角形综合求值】 8【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 14【题型5利用垂径定理求平行弦问题】 19【题型6利用垂径定理求同心圆问题】 23【题型7垂径定理的实际应用】 27【题型8垂径定理在格点中的运用】 33【题型9利用垂径定理求整点】 38【题型10利用垂径定理求最值或取值范围】 41【知识点1垂径定理及其推论】（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【题型1由垂径定理及其推论判断正误】【例1】（2023春·九年级单元测试）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）A．AE=BE B．AD=BD C．OE=DE 【答案】C【分析】根据垂径定理判断即可；【详解】∵直径CD垂直于弦AB于点E，则由垂径定理可得，AE=BE，AD=BD，AC=BC，故选项A，B，D正确；故选C．【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．【变式1-1】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.下面对这两个命题的判断,正确的是A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错【答案】D【分析】根据在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外两组量也相等，可判断甲命题；由垂径定理可得判断乙命题.【详解】(1)在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧对应相等,故甲命题错误;(2)平分弦的直径垂直于不是直径的弦;故乙命题项错误;故选D.【点睛】本题主要考查同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系及垂径定理.【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）下列命题正确的是（

）A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线经过圆心C．平分弦的直径垂直于弦 D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦【答案】ABD【分析】根据垂径定理及其推论进行判断即可．【详解】A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，正确；B、弦的垂直平分线经过圆心，正确；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；D、平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦，正确；故选ABD．【点睛】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．【变式1-3】（2023·福建三明·泰安模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．DE=BE B．BCC．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形【答案】B【详解】试题分析：∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，BC=根据已知不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．故选B．【考点】垂径定理．【题型2根据垂径定理与勾股定理综合求值】【例2】（2023·贵州遵义·统考三模）在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是（

）

A．3 B．33 C．23 【答案】C【分析】设BC、OA交于D，根据题意和垂径定理得到OD=12r，BD=3【详解】解：设BC、OA交于D，∵弦BC垂直平分OA，BC=6，∴OD=1在Rt△OBD中，由勾股定理得O∴r2解得r=23故选C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，利用方程的思想求解是解题的关键．【变式2-1】（2023春·浙江·九年级统考阶段练习）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上运动，连结OE，过点E作EF⊥OE交⊙O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为．【答案】7【分析】当OE⊥AB，EF最大，即点F与点B重合，过O作OE⊥AB于E，连接OB，根据垂径定理得到BE=4，根据勾股定理得到OE=OB【详解】解：当OE⊥AB，EF最大，即点F与点B重合，过O作OE⊥AB于E，连接OB，∵AB=8，∴BE=4，∵OB=5，∴OE=OB∴OE+EF=OE+OB=7，故答案为7．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.【变式2-2】（2023·湖北孝感·校联考一模）如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E点，已知⊙O的半径为1，则AE2+CA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】连接BE，根据垂径定理得到AD=DB，得到EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接BE，如图，∵OD⊥AB，∴AD=DB，∴EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，∵∠ECB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°，∴∠BEC=90°，在直角△BEC中，BE2+CE2=BC2，∵OC⊥OB，且OC=OB=OA∴BC2=2OA2=2，∴BE2+CE2=2，即AE2+CE2=2．故选：B．【变式2-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；（3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变），PM【答案】（1）214；（2）217【分析】（1）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，则OH=22OP=2，再在Rt△OHN中，利用勾股定理计算出NH=14，然后根据垂径定理由OH⊥MN得到HM=HN，所以MN=2NH=214（2）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到OH=1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可计算出ON=17，所AB=2ON=217；(3)作OH⊥MN于H，连接ON，根据垂定理得HM=HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得OH=PH，则PH2+NH2=R2，然后变形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值为2R2，又AB=2R，代入计算即可求出答案．【详解】解：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，OP=2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=22OP=2在Rt△OHN中，∵ON=4，OH=2，∴NH=NO2－OH2∵OH⊥MN，∴HM=HN，∴MN=2NH=214；（2）作OH⊥MN于H，连接ON，则HM=HN，∵MP=3，NP=5，∴MN=8，∴HM=HN=4，∴PH=1，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=1，在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，∴ON=OH2+N∴AB=2ON=217；（3）PM2+P作OH⊥MN于H，连接ON，则HM=HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=PH，∴PH2+NH2=R2，∵PM2+PN2=（HM-PH）2+（NH+PH）2=（NH-PH）2+（NH+PH）2=2（PH2+NH2）=2R2．又AB2=4R2，∴PM2+PN∴PM2+P【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．【题型3根据垂径定理与全等三角形综合求值】【例3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB=CD=6，则

A．22 B．32 C．42【答案】A【分析】如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，根据垂径定理可求出EH的值，再证Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)【详解】解：如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，

∴根据垂径定理得，DF=CF=12CD=∵AE=1，∴EH=AH−AE=3−1=2，在Rt△OBH和RtOB=OCBH=CF∴Rt△OBH≌∴OH=OF，∵CD⊥AB，∴∠HEF=90°，∵∠OHE=∠OFE=90°，∴四边形OHEF为正方形，OE是正方形的对角线，∴OE=2故选：A．【点睛】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础值，垂径定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．【答案】3【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得△AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．【详解】解：∵E点为AF中点，∴OE⊥AF，∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，在△AEO和△ODC中，∠OAE=∠COD∠AEO=∠ODC∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，∵OC＝5，∴OD＝OC2−CD【点睛】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键【变式3-2】（2023·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,N分别是CB和AD的中点，联结MN,OG．（1）求证：OG⊥MN；（2）联结AC,AM,CN，当CN//OG时，求证：四边形ACNM为矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连结OM,ON，由M、N分别是CB和AD的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由AB=CD，可得OM=ON，可证RtΔEOP≌RtΔFOPHL，MG=NG，∠MGO=∠NGO，根据等腰三角形三线合一性质OG⊥MN（2）设OG交MN于E，由RtΔEOP≌RtΔFOP，可得MG=NG，可得∠CMN=∠ANM，CM=12CB=12AD=AN，可证△CMN≌△ANM可得AM=CN，由CN∥OG，可得∠AMN=∠CNM=90°，由∠AMN+∠CNM=180°可得【详解】证明：（1）连结OM,ON，∵M、N分别是CB和AD的中点，∴OM，ON为弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，∴∠GMO=∠GNO=90°，在⊙O中，AB=CD，∴OM=ON，在Rt△OMG和Rt△ONG中，OM=ONOG=OG∴RtΔGOM≌RtΔGONHL∴MG=NG，∠MGO=∠NGO，∴OG⊥MN;（2）设OG交MN于E，∵RtΔGOM≌RtΔGONHL∴MG=NG，∴∠GMN=∠GNM，即∠CMN=∠ANM，∵CM=1在△CMN和△ANM中CM=AN∠CMN=∠ANM∴△CMN≌△ANM，∴AM=CN,∠AMN=∠CNM，∵CN∥OG，∴∠CNM=∠GEM=90°，∴∠AMN=∠CNM=90°，∴∠AMN+∴AM∥CN，∴ACNM是平行四边形，∵∠AMN=90°，∴四边形ACNM是矩形．【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．【变式3-3】（2023春·江西赣州·九年级统考期末）按要求作图(1)如图1，已知AB是⊙O的直径，四边形ACDE为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出∠AOD的角平分线OP；(2)如图2，已知AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，AB∥CD，请你用无刻度的直尺在射线DC上找一点P，使四边形ABPD是平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD，EC交于点F，作射线OF交⊙O于点P，OP即为所求；（2）连接DB，OC交于点E，作射线AE交DC于点P，四边形ABPD即为所求．【详解】（1）解：如图1，连接AD，EC交于点F，作射线OF交⊙O于点P，OP即为所求；∵四边形ACDE为平行四边形，∴AF=DF，∵OA=OD，∴OP是∠AOD的角平分线；（2）如图2，连接OD，连接DB，OC交于点E，作射线AE交射线DC于点P，四边形ABPD即为所求；∵点C是BD的中点，∴OC⊥DB,∵OD=OB，∴DE=EB，∵AB∥∴∠ABE=∠PDE，在△ABE与△PDE中，∠ABE=∠PDE∠AEB=∠PED∴△ABE≌△PDE，∴AB=DP，∵AB∥∴四边形ABPD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂径定理，三线合一，掌握以上知识是解题的关键．【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】【例4】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为42，则aA．4 B．3+2 C．32 【答案】B【分析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，求出D点坐标为(3,3)，可得△OCD为等腰直角三角形，从而△PED也为等腰直角三角形．根据垂径定理得AE=BE=22，在Rt△PBE中，利用勾股定理求出PE=1，再求出【详解】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是(3,a)，∴OC=3,PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为(3,3)，∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠PDE=∠ODC=45°，∵PE⊥AB，∴△PED为等腰直角三角形，AE=BE=1在Rt△PBE中，PB=3∴PE=3∴PD=2∴a=3+2故选B．【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式4-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10,0)，点B的坐标是(8,0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．【答案】点C的坐标为(1,3)【分析】连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H，根据题意得CD=OB=8，CN=MH，CH=MN，根据垂径定理得出CN=DN=12CD=4．MO=MC=5,在Rt△MNC中，勾股定理得出MN=3,进而得出C的纵坐标为3，又【详解】解：如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H．∵四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8,0)，∴CD=OB=8，CN=MH，CH=MN．又∵MN⊥CD，∴CN=DN=12CD=4∵点A的坐标是(10,0)，∴OA=10，∴MO=MC=5．在Rt△MNC中，MN=CM2−CN2∴CH=3．又OH=OM−MH=5−4=1．∴点C的坐标为(1,3)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【变式4-2】（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为．【答案】(0,−4)【详解】设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，先根据垂径定理可得EA＝EB＝4，FC＝FD，进而可求出OE＝2，再设P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，进而可得点D坐标．【解答】解：设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，则EA＝EB＝AB2＝4，FC＝FD∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，∴E（2，0），设P（2，m），则F（0，m），连接PC、PA，在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，在Rt△APE中，PA2＝m2+42，∵PA＝PC，∴（3﹣m）2+22＝m2+42，∴m＝±1∴F（0，−1∴CF＝DF＝3−(−12)∴OD＝OF+DF＝12∴D（0，﹣4），故答案为：（0，﹣4）．【点睛】本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程．【变式4-3】（2023春·湖北鄂州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点0,10，直线y=kx+2k−4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（

）A．62 B．103 C．8【答案】C【分析】易知直线y=kx+2k−4过定点D(−2,−4)，运用勾股定理可求出OD，由⊙O经过点0,10，可求出半径OB=10，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．【详解】解：对于直线y=kx+2k−4，当x=−2时，y=−4，故直线y=kx+2k−4恒经过点(−2,−4)，记为点D．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，即当OD⊥BC时，BC最短，连接OB，如图所示，∵D(−2,−4)，∴OD=−2∵⊙O经过点0,10，∴OB=10，∴BD=O∵OB⊥BC，∴BC=2BD=85∴弦BC的最小值是85故选：C．【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点(−2,−4)以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键．【题型5利用垂径定理求平行弦问题】【例5】（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是【答案】2或14【分析】由于弦AB与CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB与CD在圆心同侧；②弦AB与CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①，

过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，∵AB∥∴OE⊥CD，∵AB=12，∴CE=8，∵OA=OC=10，∴由勾股定理得：EO=102−∴EF=OF−OE=2；②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图，

过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，同理EO=102−EF=OF+OE=14，所以AB与CD之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．【变式5-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB=5，EF=4，那么AD=．【答案】3【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，则EH=FH=12EF∵GB=5，∴OF=OB=52在△OHF中，勾股定理，得OH=(5∵四边形ABCD是矩形，∴四边形OADH也是矩形，∴AD=OH=32故答案为：32【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．【变式5-2】（2023春·九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为．【答案】21【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，∴BE＝12AB＝12，CF＝1∴OE=OB2∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，在Rt△BCH中，根据勾股定理得：BC=B即PA＋PC的最小值为212故答案为：212【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．【变式5-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E，已知⊙O半径为5．（1）若AB=6，CD=8，求EF的长；（2）若CD=46，且EF=BF，求弦AB【答案】（1）7；（2）8【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得AF=1（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设EF=BF=x，在Rt△OBF中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．【详解】解：（1）连接AO和DO，∵EF⊥AB，且EF过圆心，∴AF=1∵AO=5，∴OF=A∵AB//CD，∴EF⊥CD，同理DE=1OE=O∴EF=OF+OE=4+3=7；（2）如图，连接BO和DO，∵CD=46∴DE=26∴OE=O设EF=BF=x，则OF=x−1，在Rt△OBF中，OFx−12+x2=25∴BF=4，∴AB=2BF=8．【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．【题型6利用垂径定理求同心圆问题】【例6】（2023春·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）如图，两个圆都是以O为圆心．（1）求证：AC=BD；（2）若AB=10，BD=2，小圆的半径为5，求大圆的半径R的值．【答案】（1）见解析；（2）41【分析】（1）作OE⊥AB，由垂径定理得AE=BE，CE=DE，即可得到AC=BD；（2）连接OB，OD，由AB=10，则BE=5，由勾股定理，得OE2=OD2【详解】解：（1）如图：作OE⊥AB于E，由垂径定理，得：AE=BE，CE=DE，∴BE−DE=AE−CE，即AC=BD；（2）如图，连接OD，OB，∵AB=10，∴BE=AE=5，DE=5-2=3，在Rt△OBE和Rt△ODE中，由勾股定理，得：OE2=O∴OD2−D即52解得：OB=41∴大圆的半径为41.【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键.【变式6-1】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中OE在RT△OCE中，OE则r2解得：r=134．故答案为：134．【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B．42 C．43 【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=OA∴AB=2AC=43故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.【变式6-3】（2023·浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD的边AB和CD分别是两圆的弦，则矩形ABCD面积的最大值是．【答案】16【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=12S矩形APND=14S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，∴S矩形APND=12S∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长∴S△AOD=12S矩形APND=14∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）∴S△AOD=12AO·h≤12AO·OD=故S△AOD的最大值为4∴S矩形ABCD的最大值为4÷14故答案为：16．【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．【题型7垂径定理的实际应用】【例7】（2023·浙江温州·校联考二模）如图，是某隧道的入口，它的截面如图所示，是由APB和直角∠ACB围成，且点C也在APB所在的圆上，已知AC=4m，隧道的最高点P离路面BC的距离DP=7m，则该道路的路面宽BC=m；在APB上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若E是AP的中点，则这两排照明灯离地面的高度是【答案】221【分析】先求得圆心的位置，根据垂径定理得到AM=CM=2，即可求得半径为5，根据勾股定理即可求得CD，进而求得BC，根据勾股定理求得PA，从而以及垂径定理求得PN，利用勾股定理求得ON，通过证得△EOK≅△OPN求得EK=ON，进一步即可求得EQ．【详解】作AC的垂直平分线OM，交PD于O，交AC于M，则O是圆心，连接OC，∴OD=MC=1∵PD=7，∴圆的半径为7−2=5，∴CD=O∴BC=2CD=221连接PA、OE交于N，作AH⊥PD于H，EQ⊥BC于Q，∵PD=7，DH=AC=4，∴PH=7−4=3，∵AH=CD=21∴PA=A∵E是AP的中点，∴OE垂直平分PA，∴PN=30∴ON=O∵EQ∥∴∠OEK=∠EOP，在△EOK和△OPN中，∠OEK=∠PON∠EKO=∠ONP=90°∴△EOK≅△OPN(AAS∴EK=ON=70∴EQ=EK+KQ=70故答案为221，70【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．【变式7-1】（2023春·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=8cm，水面最深地方的高度为2【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）运用尺规作图的步骤和方法即可解答；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，则AD=4cm，设这个圆形截面的半径为xcm，在Rt△AOD【详解】（1）如图所示；

（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，∵AB=8cm∴AD=1设这个圆形截面的半径为xcm又∵CD=2cm∴OD=x−2在Rt△AOD∵OD2+A解得x=5cm∴圆形截面的半径为5cm【点睛】本题考查了垂经定理和勾股定理，根据题意画出图形和灵活应用勾股定理是解答本题的关键．【变式7-2】（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．

(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？【答案】(1)5米(2)2米【分析】（1）作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，由垂径定理可得AE=12AB=3（2）当AB=8米时，AE=12AB=4米．在Rt△AOE中，由勾股定理可得，AE【详解】（1）解：如图，作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．则AE=12AB=3设圆的半径为r米，在Rt△AOE中，A∴32解得r=5，∴该圆的半径为5米；

（2）解：当AB=8米时，AE=1在Rt△AOE中，A∴42∴OE=3米，∴DE=5−3=2（米）．答：水面下盛水筒的最大深度为2米．【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键．【变式7-3】（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈1.414

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）【答案】(1)∠BOM=45°；(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米．【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；（2）作BC⊥OM于点C，在Rt△OAD中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得OD的长，在Rt△OBC中，利用勾股定理求得【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒，∴每秒旋转360°120当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，∠AOB=360°−3°×95=75°，∵∠AOM=30°，∴∠BOM=75°−30°=45°；（2）解：作BC⊥OM于点C，设OM与水平面交于点D，则OD⊥AD，

在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=2∴AD=12OA=1在Rt△OBC中，∠BOC=45°，OB=2∴BC=OC=2∴CD=OD−OC=3答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米．【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【题型8垂径定理在格点中的运用】【例8】（2023春·湖北武汉·九年级校联考期末）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)在图（1）中，A，B，C三点是格点，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画点D，使AD=BC；(2)在图（2）中，A，E，F三点是格点，⊙I经过点A．先过点F画AE的平行线交⊙I于M，N两点，再画弦MN的中点G．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）首先根据网格的特点和圆的性质求得点D，然后根据矩形的对角线互相平分和圆的性质求得点O即可；（2）设AE与⊙I的交点为C，根据网格的特点和平行线的求得直线BF交⊙I于M，N两点，然后连接AN，CM交于点D，连接DI并延长交MN与点G即可求解．【详解】（1）如图所示，连接AD，BC相交于点O，由网格可得，AD由网格的特点可得，D∵点A，C，B，D2∴A∴点D1和D2即为所要求作的∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°∴四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∴点O即为经过A，B，C三点的圆的圆心，∴点O即为所求作的点；‘（2）如图所示，∵AC∥MN，点A，C，N，M在⊙I上∴AM=CN∴四边形AMNC是等腰梯形，∴AN=CM，AD=CD,MD=ND∴DG⊥MN，且DG平分MN，∴点G即为所求作的点．

【点睛】本题考查了复杂作图，利用了垂径定理的推论，矩形的性质，作轴对称图形，轴对称的性质等知识，灵活运用所学知识，将复杂作图逐步转化为基本作图是解题的关键．【变式8-1】（2023春·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一段弧经过格点（正方形网格交点）A、B、C，其中B2,3，则圆弧所在圆的圆心坐标为【答案】（【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可知弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（1故答案是：（【点睛】本题考查的是坐标图形性质、垂径定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键．【变式8-2】（2023春·河南驻马店·九年级统考期末）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是．【答案】5【详解】解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．连接OA、OB，∵OC⊥AB，∵AC=1，OC=2，∴OA=AC【点睛】考点：1．垂径定理的应用；2．勾股定理．【变式8-3】（2023·北京·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是cm．（结果保留一位小数）【答案】8.9【分析】根据垂径定理确定圆的圆心，根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的周长公式计算，得到答案．【详解】由垂径定理可知，圆的圆心在点O处，连接OA，由勾股定理得，OA=1圆的周长为：22故答案为：8.9．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，掌握弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键．【题型9利用垂径定理求整点】【例9】（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是，⊙C上的整数点有个．【答案】312【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．【详解】解：过C作直径UL∥x轴，连接CA，则AC=12∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，∴AO=BO=4，∠AOC=90°，由勾股定理得：CO=AC∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），即共12个点，故答案为：3；12．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．【变式9-1】（2023春·全国·九年级统考期中）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，满足线段OP的长为整数的点P有处不同的位置．【答案】3【分析】当P为AB的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP垂直于AB，在RT△AOP中，由OA与AP的长，利用勾股定理求出OP的长，当P与A或B重台时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即可得到OP所有可能的长．【详解】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，如图所示：∵AB=6,∴AP=PB=3,在RT△AOP中，∵OA=5,AP=3,∴OP=即OP的最小值为3，当P与A或B重合时，OP最长，此时0P=5，∴4≤OP≤5,则使线段OP的长度为整数的点P有4，5，共3个．故答案为：3．【点睛】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．【变式9-2】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，A(0,4),B(4,4),C(6,2)．注：把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(latticepoint（1）若经过A、B、C三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为；（2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过格点．【答案】（2，0）8【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求，根据点M的位置写出坐标即可．（2）利用图象法，判断即可．【详解】（1）如图，点M的坐标为（2，0）（2）如图，满足条件的点有8个．【点睛】本题考查作图一复杂作图，坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．【变式9-3】（2023·湖南邵阳·校联考一模）⊙O的直径为10，弦AB=8，点P为AB上一动点，若OP的值为整数，则满足条件的P点有个．【答案】5【详解】分析：先求出OP的取值范围，然后再根据OP长为整数的条件来判断符合要求的P点有几个．详解：过O作OC⊥AB于C，连接OA；Rt△OAC中，OA=5cm，AC=4cm；∴OC=OA∴3≤OP≤5；故OP=3cm，或4cm，或5cm；当OP=3cm时，P与C点重合，有一个符合条件的P点；当OP=4cm时，P位于AC或BC之间，有两个符合条件的