沪科版九年级数学上册期末复习考点 第23章 解直角三角形知识归纳与题型突破（12类题型清单）

第二十三章解直角三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图01思维导图0202知识速记1、在Rt∆ACB中，∠C=90sinA=∠A的对边2、特殊三角函数值3、直角三角形的边角关系（a、b为直角边，c为斜边）(1)锐角之间的关系:∠A=90°—∠B,∠B=90°-∠A;(2)三边之间的关系:a=c2−b2(3)边角之间的关系:a=csinA,a=ccosB,a=btanA,b=csinB,b=ccosA,b=atanB.4、用解直角三角形解决实际问题的步骤(1)审题，弄清方向角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念，将实际问题抽象为数学问题.(2)认真分析题意,画出平面图形,转化为解直角三角形问题,对于较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形.(3)根据条件，结合图形，选用适当的锐角三角函数解直角三角形.(4)按照题目中的精确度进行近似计算，检验得到符合实际要求的解，并按题目要求的精确度确定答案，并标注单位0303题型归纳题型一求角的三角函数值例1.（24-25九年级上·云南·阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=1，则sinA=A．223 B．13 C． 巩固训练1．（2024·广东·模拟预测）正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则sin∠AOB的值为（A．12 B． C．23 2．（22-23九年级下·浙江金华·开学考试）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则的值为（）A．5 B．255 C． D．3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，下列三角函数值正确的是（A．sinA=1517 B．cosA=题型二已知三角函数值求长度例2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE=45，AD=4，则巩固训练1．（22-23九年级上·全国·单元测试）在△ABC中，∠C=90∘，AC=6，cosB2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E在AB上，BE=2，点F在BD上，，则EF=3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC=10．sin∠AFB=45

题型三特殊三角形的三角函数例3.（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在Rt△ABC中，，则cosA巩固训练1．（2024九年级上·上海·专题练习）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，则A．12 B． C．33 D．2．（22-23八年级下·吉林长春·期末）小明利用如图所示的量角器量出∠AOB的度数，cos∠AOB的值为（A． B． C．12 D．333．（2024九年级下·浙江·专题练习）在△ABC中，若三个内角∠A：∠B：∠C=1：2：3，则sinAA．1：2 B．1：3 C．1：3 D．题型四特殊三角函数值的混合运算例4.（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）计算2sin2巩固训练1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算：．2．（24-25九年级上·全国·单元测试）．3．（2023·湖北黄冈·模拟预测）计算：2sin45°−2cos题型五三角函数的综合例5.（2023·上海普陀·三模）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，，则tanE=巩固训练1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°,AB=AC，点D为斜边BC上一点，且，将△ABD沿直线AD翻折，点B的对应点为B'，则sin

2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=6，tan∠BAC=34，点D是AC边上任意一点，连接BD，将△BCD沿着BD翻折得△BC'D，且C'3．（2023·上海长宁·一模）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，∠ABE的平分线交AD边于点F，连接EF，如果正方形ABCD的面积为12，且CE=2，那么cot∠BEF−∠题型六解直角三角形的相关计算例6．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知△ABC中，AB=4，sinA=12，，如果解这个三角形有2解，则a巩固训练1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰△ABC中，AB=AC，，D为AB的中点，BE⊥BC交射线CD于E，若BC=8，则线段的长为．2．（23-24九年级下·全国·期末）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若sinA⋅cosA=0且a=2c3．（2024·湖北荆门·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM=BE，MG=1，则BN的长为，sin∠AFE的值为

题型七解非直角三角形例7.（2024·四川资阳·中考真题）在△ABC中，∠A=60°，AC=4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是．巩固训练1．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tanB=32

A．2+23 B．3+3 C．42．（22-23九年级上·山东淄博·期中）如图，在△ABC中，，，BC=66，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD的长为（

）A．66 B．12 C．633．（2024·安徽合肥·一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（）A．12 B． C． D．25题型八构造直角三角形求边长或面积例8.（2022·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（

）A．34 B．32 C．3 巩固训练1．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=30°，，BC=32，求△ABC2．（23-24九年级上·山东青岛·期末）为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈35，sin67°≈1213，cos67°≈3．（20-21八年级下·安徽淮南·期末）已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：∠B=90°,AB=4题型九仰俯角问题例9.（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（

）（结果精确到1m．参考数据：）A．41m B．42m C．48m D．51m巩固训练1．（24-25九年级上·全国·单元测试）某班的同学想测量一教楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为8米，它的坡度i=1:3，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼AB的高度约为（

）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tanA．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.22．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测角仪测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A1处，测得点D的仰角为67.5°，已知测角仪AB的高度为1米，则楼房CD的高度为（）（tanA． B．53+21 C． D．203．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪EF测得的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（

）（参考数据：sin53°≈45，cosA．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m题型十方位角问题例10.（23-24九年级上·重庆·阶段练习）让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向，CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：2≈1.414，，6≈2.449巩固训练1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：，3≈1.73，6≈2.452．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．

(1)求妈妈步行的速度；(2)求明明从C处到D处的距离．3．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日，在雷达塔A处侦测到东北方向上的点B处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以30海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了1小时10分到达点A南偏东53°方向的C处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不计）与A、C在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与A相距100海里的D处．(1)求AC的距离和点D到直线BC的距离；(2)若海警船航行速度为40海里/时，可侦测半径为25海里，当海警船航行1小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据：sin53°≈45，题型十一坡度坡比问题例11.（2024·安徽六安·模拟预测）和平路中学一年一度的校运会正在如火如荼的进行中，负责通讯报道的小明和小亮使用无人机采集一组航拍画面．在航拍时，小明在C处测得无人机A的仰角为45°，同时小亮登上看台CF上的D处测得无人机A的仰角为31°．若小亮所在看台CF的坡比为1:3，铅垂高度DG=3米（点E，G，C，B在同一水平线上），求此时无人机的高度AB．（结果精确到1米，参考数据：sin3巩固训练1．（21-22九年级上·安徽亳州·阶段练习）为测量底部不能到达的建筑物AB的高度，某数学兴趣小组在山坡的顶端C处测得建筑物顶部A的仰角为20°，在山脚D处测得建筑物顶部A的仰角为60°，若山坡CD的坡度i=1:3，坡长CD=20米，求建筑物AB的高度．（精确到1米)（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan2．（2024·吉林·模拟预测）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进，如图，AB⊥BC测得AB=5米，BC=12米，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC=13°（此时点B、C、D(1)求这个车库的斜坡AC的长；(2)求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0．1米，参考数据：sin13°≈0.22，cos13．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，斜坡AB长130米，坡度i=1:2.4，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡．(1)若修建的斜坡的坡角为30°，求平台DE的长；（结果保留根号）(2)斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为26.5°，他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为53°，此时小明距大楼底端Q处30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度．（参考数据：，，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，题型十二其他问题例12.（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节AB时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈45，，tan53°≈4巩固训练1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：，3≈1.73）2．（2024·全国·模拟预测）【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若n=sinαsinβ，则把n称为折射率．（参考数据：sin【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，光线可沿照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得DF=16cm,BC=7cm【问题解决】(1)求入射角∠PDG(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．3．（2023·山东济南·中考真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB=1m，BC=0.6m，∠ABC=123°，该车的高度AO=1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．（结果精确到0．01m，参考数据：sin27°≈0.454，，tan27°≈0.510

第二十三章解直角三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图01思维导图0202知识速记1、在Rt∆ACB中，∠C=90sinA=∠A的对边2、特殊三角函数值3、直角三角形的边角关系（a、b为直角边，c为斜边）(1)锐角之间的关系:∠A=90°—∠B,∠B=90°-∠A;(2)三边之间的关系:a=c2−b2(3)边角之间的关系:a=csinA,a=ccosB,a=btanA,b=csinB,b=ccosA,b=atanB.4、用解直角三角形解决实际问题的步骤(1)审题，弄清方向角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念，将实际问题抽象为数学问题.(2)认真分析题意,画出平面图形,转化为解直角三角形问题,对于较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形.(3)根据条件，结合图形，选用适当的锐角三角函数解直角三角形.(4)按照题目中的精确度进行近似计算，检验得到符合实际要求的解，并按题目要求的精确度确定答案，并标注单位0303题型归纳题型一求角的三角函数值例1.（24-25九年级上·云南·阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=1，则sinA=（A．223 B．13 C． 【答案】A【分析】根据正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA【详解】解：，，AC=1，∴BC=A∴sin故选：A．巩固训练1．（2024·广东·模拟预测）正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则sin∠AOB的值为（A．12 B． C．23 【答案】B【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出OB边上的格点C，连接AC，利用勾股定理求出AO、AC、的长度，再利用勾股定理逆定理证明△AOC是直角三角形，然后根据正弦的定义计算即可得解．【详解】如图，C为OB边上的格点，连接AC，根据勾股定理，AO=2AC=1OC=1所以，AO所以，△AOCsin∠故选：B．2．（22-23九年级下·浙江金华·开学考试）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则的值为（）A．5 B．255 C． D．【答案】B【分析】本题考查网格中的锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接DE，CE，根据题意可得：AB∥DE，从而利用平行线的性质可得∠APC=∠EDC，然后利用勾股定理的逆定理证明△DCE是直角三角形，从而可得∠DCE=90°，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得cos∠【详解】解：如图：连接DE，CE，由题意得：AB∥∴∠APC=在△DCE中，CD，DE∴，∴△DCE∴∠DCE=90°∴，∴，故选：B．3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，下列三角函数值正确的是（

A．sinA=1517 B．cosA=【答案】B【分析】本题考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．根据题意作出图形，进而根据三角函数关系求解即可．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，∴sinA=BCAB=817∴、C、D错误，B正确，故选B．题型二已知三角函数值求长度例2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE=45，AD=4，则【答案】5【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到sin∠ADE=sin【详解】解：在矩形ABCD中，∠ADC=90°∵DE∴∠∴sin∵AD=4∴AC=5故答案为：5．巩固训练1．（22-23九年级上·全国·单元测试）在△ABC中，∠C=90∘，AC=6，cosB【答案】8【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦、余弦的定义是解题关键．根据题意得出sinB=3【详解】解：∵AC=6，cosB∴sinB∴AC∴BA=10，∴BC=AB×cos故答案为：8．2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E在AB上，BE=2，点F在BD上，，则EF=【答案】【分析】根据正切函数的定义得出AM=2，利用勾股定理求出DM的长，过点D作EF的平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质即可得答案．本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数，熟练掌握判定，正切函数的应用是解题的关键．【详解】解：如图，作DM∥EF交AB于点M，则，∵四边形ABCD是矩形，AD=6，，∴AM=2∴由勾股定理得．，AB=8，，∵EF∴△∴EF．故答案为：．3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC=10．sin∠AFB=45

【答案】5【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得AD=AF=10，EF=ED，可得AB=AF⋅sin∠AFB=10×45=8，BF=A【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC=10，根据折叠可知，可知AD=AF=10，EF=ED，则，在Rt△ABF中，AB=AF⋅sin∠∴BF=AF2设DE=x，则CE=CD−DE=8−x，在Rt△CEF中，EF2解得：x=5，即：DE=5，故答案为：5．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键．题型三特殊三角形的三角函数例3.（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在Rt△ABC中，，则cosA2【答案】【分析】本题考查特殊三角函数值，利用cosA=12求出【详解】解：在Rt△ABC中，∴∠∴cos故答案为：．巩固训练1．（2024九年级上·上海·专题练习）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，则tanA．12 B． C．33 D．【答案】C【分析】本题主要考查三角形的内角和定理和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据∠C=90°，∠A:∠B=1:2，求出∠A【详解】解：如下图：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A=90°×∴tan∠故选：C．2．（22-23八年级下·吉林长春·期末）小明利用如图所示的量角器量出∠AOB的度数，cos∠AOB的值为（A． B． C．12 D．33【答案】C【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值，由量角器读数可知∠AOB=60°【详解】解：由量角器读数可知∠AOB=60°∴cos∠故选：C．3．（2024九年级下·浙江·专题练习）在△ABC中，若三个内角∠A：∠B：∠C=1：2：3，则sinAA．1：2 B．1：3 C．1：3 D．【答案】B【分析】本题考查了特殊角的三角函数值及三角形内角和．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．先求出∠A、∠B【详解】解：∵∠A、∠B、∠C的度数之比为1：2：3，1+2+3=6，∴∠A=16×180°=30°∴sinA=sin30°=1∴sinA故选：B．题型四特殊三角函数值的混合运算例4.（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）计算2sin2【答案】5【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可，熟练地掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：原式=2×=2×=5故答案为：52巩固训练1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算：．【答案】【分析】本题考查了特殊角的锐角函数值的计算，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先化简每一个锐角函数值，再进行二次根式的计算即可．【详解】解：原式==3故答案为：．2．（24-25九年级上·全国·单元测试）．【答案】−34【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值代入计算即可．【详解】解：===−3故答案为：−3．（2023·湖北黄冈·模拟预测）计算：2sin45°−2cos30°+(1−tan60°【答案】0【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数解得计算，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．分别代入每一个特殊角的三角函数值，去绝对值，再进行加减计算即可．【详解】解：原式==1−=0，故答案为：0．题型五三角函数的综合例5.（2023·上海普陀·三模）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，，则tanE=【答案】−3+2【分析】根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到∠CDG=∠CGD=12∠ACB=30°，作于点，根据直角三角形性质得到FH=12DF，利用解直角三角形得到【详解】解：∵△∴∠∵CG=CD∴∠作于点，∴FH=1∴DH=tanE=∵DF=DEtanE=故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，三角函数综合，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．巩固训练1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°,AB=AC，点D为斜边BC上一点，且，将△ABD沿直线AD翻折，点B的对应点为B'，则sin∠

【答案】10【分析】本题考查了圆内接四边形的知识，正弦函数，折叠的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先证明A、B'、C、D四点共圆，推出∠CB'D=∠CAD，过点D作DE⊥AC于点E，利用平行线分线段成比例定理得到AE=3CE，由勾股定理得到AD=【详解】解：∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠由折叠性质得∠A∴∠∴A、B'、C、D∴∠过点D作DE⊥AC于点E，

∵∠CAB=90°，∴DE∴BD=3CD，∵∠ACB=45°∴△∴DE=CE设DE=CE=a，则AE=3CE=3a，在Rt△ADE中，AD=∴sin故答案为：102．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=6，tan∠BAC=34，点D是AC边上任意一点，连接BD，将△BCD沿着BD翻折得△BC'D，且C'【答案】9【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，解题的关键是掌握相关的知识．作BH⊥AC于点，则∠AHB=∠BHC=90°，根据三角函数值可设设BH=3x，则AH=4x，得到AB=5x=6，求出AH=245，，CH=65，证明△BDH≌△BDE，得到【详解】解：如图，作BH⊥AC于点，则∠AHB=∠tan∠BAC=BH∴设BH=3x，则AH=4x，∴AB=5x=6∴x=∴AH=4x=245，∴CH=AC−AH=6−在△BDH和△BDE∠BDH=∴△∴BE=BH=∴AE=AB−BE=6−tan∠BAC=∴DE=故答案为：953．（2023·上海长宁·一模）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，∠ABE的平分线交AD边于点F，连接EF，如果正方形ABCD的面积为12，且CE=2，那么cot∠BEF−∠【答案】【分析】过点E作EG∥BC交AB于点G，证明∠BEF−∠DFE=∠EBC，根据正方形的面积求出BC=23【详解】解：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图所示：∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∠ABC=∵EG∥∴AD∥∴∠DFE=∠FEG，∠BEG=∴∠BEF−∵正方形ABCD的面积为12，∴BC=23∵CE=2，∴cot∠答案：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行线的性质，三角函数的计算，解题的关键是作出辅助线，求出∠BEF−题型六解直角三角形的相关计算例6．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知△ABC中，AB=4，sinA=12，，如果解这个三角形有2解，则a【答案】2<a≤4【分析】本题主要考查了解直角三角形，确定有两个解的临界点成为解题的关键．如图：过B作BC边上的高BH．解直角三角形可得BH=2，再根据这个三角形有2解可知以B为圆心、以BH半径的圆与射线AD有两个交点；然后确定两个临界点解答即可．【详解】解：如图：过B作BC边上的高BH．∵sinA=1∴BH=sin∵这个三角形有2解，∴以B为圆心，以BH半径的圆与射线AD有两个交点，当与射线AD掐有一个交点时，即点C与点H重合，∴a=BC=BH=2；当以B为圆心，以AB半径的圆与射线AD有两个交点的临界点，即a=BC综上，a的取值范围是2<a≤4．故答案为：2<a≤4．巩固训练1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰△ABC中，AB=AC，，D为AB的中点，BE⊥BC交射线CD于E，若BC=8，则线段的长为．【答案】2【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形、等腰三角形的性质、三角形全等的判定及性质，作AF⊥BC交BC于F，交于G，利用等腰三角形的性质及锐角三角形函数可得AF=3，利用ASA可得△BED≌△AGD，进而可得，则可得AF=32BE【详解】解：作AF⊥BC交BC于F，交于G，如图：∵等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，∴BF=CF=∵tan∴AF∴AF=∵BE∴BE∴△∴GF∴GF=∵D为AB的中点，∴BD=AD在△BED和△AGD∠EBD=∴△∴AG=BE∴AF=AG+GF=BE+解得：BE=2，故答案为：2．2．（23-24九年级下·全国·期末）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若sinA⋅cosA=0且a=2ccos【答案】等腰直角三角形【分析】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是正确判断的前提．由sinA⋅cosA=0得出△ABC的形状是直角三角形，由a=2ccosB，【详解】解：∵sin∴sinA=0∵sin0°=0,cos90°=0∴∠∴cosB=∵a=2c∴cos∴a∴a∴a=∴cosB=∴∠,∴AC=AB∴△故答案为：等腰直角三角形．3．（2024·湖北荆门·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM=BE，MG=1，则BN的长为，sin∠AFE的值为

【答案】22【分析】本题考查矩形的性质，轴对称性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题关键是连接辅助线通过全等三角形及相似三角形的判定及性质求解．连接，FM，由翻折及BM=ME可得四边形BEFM为菱形，再由菱形对角线的性质可得BN=BA．先证明△AEF≌△NMF得AE=NM，再证明△FMN∽△CGN可得CGFM=【详解】解：，∴∠BEM=∵AB∴∠又∵∠BME=∴∠∴MG=GC=1为CD中点，∴CD=AB=2∵四边形ABCD是矩形，∴∠FAB=连接，FM，

由对称可得△∴∠FEM=∠BEM，BE=EF，∠EFC=∵BM=BE，，∵∠BEM=∴∠∴EF∴四边形BEFM为平行四边形，，∴四边形BEFM为菱形，∵∠EBC=∠EFC=90°，EF∥BG，BF平分∠∴∠∵BF平分∠ABN，∠FAB=90°∴FA=FN∴Rt．∵FE=FM，FA=FN，∠A=∴Rt∴AE=NM设AE=NM=x，则BE=FM=2−x，NG=MG−NM=1−x，∵FM∴∠∴△CGFM=即12−x解得x=2+2>2（舍）)或∴EF=BE=2−x=．故答案为：2；2−1题型七解非直角三角形例7.（2024·四川资阳·中考真题）在△ABC中，∠A=60°，AC=4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是．【答案】2<AB<8【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作△ABC的高CD，，根据题意可得AB>AD，AC>AE，在中，根据三角函数可得AD=ACcos∠A=2，即AB>2，再根据AB=【详解】解：如图，作△ABC的高CD，，∵△ABC∴CD，在的内部，∴AB>AD，AC>AE，在Rt△ACD中，∠A=60°，AC=4∴AD=AC∴AB>2又∵AB=∴2<AB<8故答案为：2<AB<8．巩固训练1．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tanB=32

A．2+23 B．3+3 C．4【答案】D【分析】作CD⊥AB于D，根据∠A=30°，AC=23，算出CD和AD，再根据tanB=CDBD【详解】如下图，作CD⊥AB于D，

在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2∴CD=12AC=在Rt△BCD中，tan∴3∴BD=2∴AB=AD+BD=3+2=5故选：D．【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．2．（22-23九年级上·山东淄博·期中）如图，在△ABC中，，，BC=66，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD的长为（

）A．66 B．12 C．63【答案】B【分析】过点作AB的垂线，垂足分别为，在Rt△CFB，Rt△ACF中，求得CF,AC的长，进而证明△ACD【详解】解：如图，过点作AB的垂线，垂足分别为，在Rt△CFB中，BF=BC×在Rt△ACF中，AC=∵△ABC中，∠CAB=60°，，∴∠ACD=75°∵AD是∠BAC∴∠DAB=30°∴∠ADC=∴∠ADC=∴AC=AD=12．故选:B．【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．3．（2024·安徽合肥·一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（）A．12 B． C． D．25【答案】C【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得．【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图：设网格中的小正方形的边长为1，则BE＝12AE＝22AB=32∵BE2+AE2＝2+8＝10，AB2＝10，∴BE2+AE2＝AB2．∴∠AEB＝90°．由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，∴∠APD＝∠ABE．在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．∴cos∠APD＝．故选：C．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键．题型八构造直角三角形求边长或面积例8.（2022·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（

）A．34 B．32 C．3 【答案】C【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=32DO，BH=32BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，∵∠AOD=60°，∴∠AOD=∠BOC=60°，∴DG=32DO同理可得：BH=32BOS四边形ABCD=12×AC×DG+12×AC=12×AC×32×（DO+=3，故选：C．【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键．巩固训练1．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=30°，，BC=32，求△ABC【答案】9【分析】过点C作CD⊥AB于点【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点在Rt△BCD中，，BC=32∴BD=BC⋅∴CD=BD=3．在中，∵∠A=30°∴AC=6，．∴AB=AD+BD=33∴SΔABC【点睛】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．2．（23-24九年级上·山东青岛·期末）为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈35，sin67°≈1213，cos67°≈【答案】6.5米【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F，把图形分成两个直角三角形和一个矩形，然后在Rt△ABF求出BF、AF，利用矩形性质求出AE，再在Rt△ADE求出【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F，根据题意可知：AB＝4，CB＝5，∠ABF＝∠ABC-90°=22°，在Rt△ABF中，∠AFB=9∴sin∠ABF=AF∴BF=AB∵∴∴四边形CBFE是矩形∴∴在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴∴DC=DE+EC=答：蔬菜大棚的宽DC的长度为6.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用；由根据已知条件构造直角三角形，求出AE是解决问题的关键．3．（20-21八年级下·安徽淮南·期末）已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：∠B=90°,AB=4【答案】36【分析】连接AC，构造直角三角形，用勾股定理即可．【详解】解：如图，连接AC，在Rt△ABC，AC=又∵在△ACD中，AC=5,CD=12,AD=13,∵AC∴A∴△ACD是直角三角形，∠ACD∴S【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握构造直角三角形是解题的关键．题型九仰俯角问题例9.（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（

）（结果精确到1m．参考数据：）A．41m B．42m C．48m D．51m【答案】B【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长BA交MN于点C，根据题意得，然后在Rt△CNB中，利用锐角三角函数的定义求出CN的长，从而求出MC的长，再在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AC【详解】如图，延长BA交MN于点C．由题意得．在Rt△CNB中，，．在Rt△AMC中，∠，．故选B．巩固训练1．（24-25九年级上·全国·单元测试）某班的同学想测量一教楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为8米，它的坡度i=1:3，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼AB的高度约为（

）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3A．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.2【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长AB交直线DC于点F，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△ADF中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB【详解】延长AB交直线DC于点F，∵在Rt△BCF中，BF∴设BF=k，则CF=3又∵BC=8，∴k=4，∴BF=4,CF=4∵DF=DC+CF，∴DF=30+4在Rt△∵tan∴AF=∵AB=AF−BF，∴AB=27.7−4≈23.7(米)，故选：B.2．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测角仪测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A1处，测得点D的仰角为67.5°，已知测角仪AB的高度为1米，则楼房CD的高度为（）（tan67.5°=1+A． B．53+21 C． D．20【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意得出BE=DE，设DE=x米，则BE=x米，B1E=x−20【详解】解：如图，，在Rt△BDE中，∠∴BE=DE，设DE=x米，则BE=x米，B1在Rt△B1DE解得：x=102∴楼房CD的高度为102故选：C．3．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪EF测得的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（

）（参考数据：sin53°≈45，cosA．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m【答案】A【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形EFDG、EFBM、CDBN是矩形，再设GM=xm，表示EM=x+5m，然后在Rt△AEM，tan∠AEM=【详解】解：如图：延长DC交EM于一点G，∵∠∴四边形EFDG是矩形∵∠∴四边形EFBM是矩形同理得四边形CDBN是矩形依题意，得EF=MB=1.8m，CD=1.5m，∠∴CG=1.8−1.5m=0.3m∴CG=MN=0.3m∴设GM=xm，则EM=在Rt△∴EM×1=AM即AM=在Rt△∴CN即AN=∴MN=AN−AM=∴x=15.9m∴AM=15.9+5=20.9∴AB=AM+EF=AM+MB=20.9+1.8=22.7故选：A题型十方位角问题例10.（23-24九年级上·重庆·阶段练习）让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向，CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：2≈1.414，，6≈2.449【答案】(1)3127米(2)路线二较近，见解析【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M，过点B作BN⊥AM交AM于点N，过点D作交BN于点H，则四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形，△BCN是等腰直角三角形，在Rt△CMD中求出的长，进而可求CN的长，在Rt△CBN中，即可求出BC的长度；（2）分别求出AB+BC和AD+CD的长度，然后进行比较即可．【详解】（1）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M，过点B作BN⊥AM交AM于点N，过点D作交BN于点H．由题可知：∠CBN=45°，∠A=90°，∠CDM=60°∴四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形，△BCN在Rt△∵∠CDM=60°，CD=2900米，∴DM=12DC=1450∵AB=MN=300米，∴CN=CM−MN=1450在Rt△CBN中，∠∴CB=2CN=1450答：BC的长度为3127米．（2）解：路线一：AB+BC=300+14506−300∵AM=BN=CN=1450∴AD=AM−DM=1450∴路线二：AD+CD=14503+1150∵3427<3361，∴路线二较近．巩固训练1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：，3≈1.73，6≈2.45【答案】(1)小山B与亭台D之间的距离米(2)小玲先到达寺庙C处【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．（1）作BE⊥AD于点E，在Rt△ABE中求出BE=AE=302，然后在（2）延长AB，作DF⊥BA于点F，作CG⊥BA于点G，则∠CBG=60°，在Rt△AFD中求出DF=AF=30+303，CG=DF=30+303米，在Rt△BCG中求出【详解】（1）作BE⊥AD于点E，由题意知，AB=60，∠A=45°，∠ABD=90°+15°=105°，∠CBA=90°+30°=120°，∠在Rt△ABE中，在Rt△BDE中，ED=3BE=30∴小山B与亭台D之间的距离米（2）延长AB，作DF⊥BA于点F，作CG⊥BA于点G，则∠CBG=180°−由题意知，CD∥∴四边形CDFG是矩形，∴CG=DF,CD=FG．∵AE=302，ED=30∴AD=302在Rt△AFD中，DF=AF=AD2在Rt△BCG中，BG=CG∴∴SS明∵141.2<154.6∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．2．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．

(1)求妈妈步行的速度；(2)求明明从C处到D处的距离．【答案】(1)妈妈步行的速度为6(2)明明从C处到D处的距离约为1+【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义．（1）根据正切函数求出BD的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可；（2）过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，设AE=CE=akm，过点D作于点F，得矩形BEFD，可得EF=DB=1.5km，表示出DF，CF【详解】（1）解：根据题意可知：，∴BD=AB·tan∴1.5÷15答：妈妈步行的速度为6km/h（2）解：如图，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，

∵∠CAE=45°,∴△AEC∴AE=CE，设AE=CE=akm过点D作于点F，得矩形BEFD，∴EF=DB=1.5km，DF=BE=AE−AB=∴CF=CE−EF=a−1.5在Rt△CDF中，tan∴tan3∴33∴a=9+∴DF=a−2=1+∴CD=2DF=1+答：明明从C处到D处的距离约为1+33．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日，在雷达塔A处侦测到东北方向上的点B处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以30海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了1小时10分到达点A南偏东53°方向的C处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不计）与A、C在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与A相距100海里的D处．(1)求AC的距离和点D到直线BC的距离；(2)若海警船航行速度为40海里/时，可侦测半径为25海里，当海警船航行1小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据：sin53°≈45，【答案】(1)AC的距离为25海里，点D到直线BC的距离为60海里(2)可以侦测到菲律宾渔船，理由见解析【分析】本题考查解直角三角形的应用：（1）作DE⊥BC于E，AF⊥BC于F，根据方向角和锐角三角函数的定义求出BF、CF、AF，求出AC，根据题意求出CD，根据正弦的定义求出DE；（2）设1小时后，海警船到达点G，菲律宾渔船到达点，分别求出GE,HE的长，勾股定理求出GH的长，判断即可．【详解】（1）解：作DE⊥BC于E，AF⊥BC于由题意得，BC=30×76=35∵∠BAF=45°,∴BF=AF=x，FC=AF÷tan∴x+3解得，x=20，∴34∴AC=A∴CD=AD−AC=75，∴DE=CD⋅答：AC的距离为25海里，点D到直线BC的距离为60海里；（2）能，理由如下：设1小时后，海警船到达点G，菲律宾渔船到达点，则，CH=30，由（1）知CE=CD⋅∴HE=CE−CH=15，GE=DE−DG=20，由勾股定理，得：GH=故可以侦测到菲律宾渔船．题型十一坡度坡比问题例11.（2024·安徽六安·模拟预测）和平路中学一年一度的校运会正在如火如荼的进行中，负责通讯报道的小明和小亮使用无人机采集一组航拍画面．在航拍时，小明在C处测得无人机A的仰角为45°，同时小亮登上看台CF上的D处测得无人机A的仰角为31°．若小亮所在看台CF的坡比为1:3，铅垂高度DG=3米（点E，G，C，B在同一水平线上），求此时无人机的高度AB．（结果精确到1米，参考数据：sin3【答案】此时无人机的高度AB约为21米【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点D作DH⊥AB于点H，设米，四边形GBHD是矩形，则DH=GB，BH=DG=3米，得到AH=AB−BH=x−3米．证明AB=BC=x米，进一步得到DH=GB=9+x米．在中，tan∠【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB于点H，设∵∠DGB=∴四边形GBHD是矩形，∴DH=GB，BH=DG=3米，∴AH=AB−BH=∵小亮所在看台CF的坡比为1:3，铅垂高度DG=3米，（米）．∵∠ACB=45°∴AB=BC=x∴DH=GB=在中，∵∠ADH=31°∴tan解得x≈21，米．答：此时无人机的高度AB约为21米．巩固训练1．（21-22九年级上·安徽亳州·阶段练习）为测量底部不能到达的建筑物AB的高度，某数学兴趣小组在山坡的顶端C处测得建筑物顶部A的仰角为20°，在山脚D处测得建筑物顶部A的仰角为60°，若山坡CD的坡度i=1:3，坡长CD=20米，求建筑物AB的高度．（精确到1米)（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan【答案】约21米【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点C作，垂足为E，根据题意得：CF∥EB，根据山坡CD的坡度i=1:3，可得∠CDE=30°，从而利用平行线的性质，以及平角定义可得∠ADC=90°，∠ACD=50°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，最后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义求出【详解】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点C作，垂足为E，由题意得：CF∥∵山坡CD的坡度i=1:3∴，在Rt△CDE中，tan∴∠∵CF，∵∠ADB=60°，，，在Rt△ACD中，CD=20（米），在Rt△ADB中，（米)，答：建筑物AB的高度约为21米．2．（2024·吉林·模拟预测）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进，如图，AB⊥BC测得AB=5米，BC=12米，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC=13°（此时点B、C、D(1)求这个车库的斜坡AC的长；(2)求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0．1米，参考数据：sin13°≈0.22，cos1【答案】(1)13米(2)9.7米【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．（1）根据勾股定理即可解答；（2）先求出BD=ABtan∠【详解】（1）解：∵AB⊥BC，AB=5米，BC=12米，∴（米）．答：这个车库的斜坡AC的长为13米．（2）解：在Rt△ADB中，∠ADB=13°，AB=5∴BD=AB∴DC=DB−BC=21.74−12≈9.7（米）．答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离约为9.7米．3．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，斜坡AB长130米，坡度i=1:2.4，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡．(1)若修建的斜坡的坡角为30°，求平台DE的长；（结果保留根号）(2)斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为26.5°，他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为53°，此时小明距大楼底端Q处30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度．（参考数据：，，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，【答案】(1)60−253(2)35米【分析】（1）若修建的斜坡的坡角为30°，求平台DE的长；（结果保留根号）（2）延长ED交QM于点H，解直角三角形MDH，解直角三角形PQN，求得MH，，根据MN=