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文档简介

第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分

第十章2021/5/91实例:

变力沿曲线所作的功常力所作的功分割对坐标的曲线积分一、问题的提出2021/5/92求和近似值取极限精确值2021/5/93二、对坐标的曲线积分的概念1.定义2021/5/94类似地定义2.存在条件：2021/5/953.组合形式4.推广2021/5/965.性质(1)若L

可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!2021/5/97三、对坐标的曲线积分的计算定理2021/5/98对应参数设分点证明：根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证2021/5/99一代、二换、三定限曲线积分化成参变量的定积分代将L的参数方程代入被积函数换定限下限——起点参数值上限——终点参数值2021/5/910特殊情形2021/5/911(4)两类曲线积分之间的联系：2021/5/912其中（可以推广到空间曲线上）可用向量表示有向曲线元；2021/5/913例1解2021/5/914例2解2021/5/915例3问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.2021/5/916解2021/5/917问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.2021/5/918例5.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取

的参数方程2021/5/919三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L

以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系2021/5/920类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A

在t

上的投影为2021/5/921例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周2021/5/922四、小结1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系思考题2021/5/923思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.2021/5/924练习题2021/

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