辽宁省朝阳市建平县建平二中2023-2024学年高二数学第一学期期末经典模拟试题含解析

辽宁省朝阳市建平县建平二中2023-2024学年高二数学第一学期期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设双曲线（）的焦距为12，则（）A.1 B.2C.3 D.42．已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则（）A. B.C. D.3．复数的虚部为（）A. B.C. D.4．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（）A2 B.3C.4 D.55．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）A. B.C. D.6．在数列中，，，，则（）A.2 B.C. D.17．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为（）A.1 B.2C.3 D.48．设变量满足约束条件：，则的最小值（）A. B.C. D.9．在中，、、所对的边分别为、、，若，，，则（）A. B.C. D.10．设函数在R上可导，则（）A. B.C. D.以上都不对11．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（）A. B.C. D.12．在正方体中，E，F分别为AB，CD的中点，则与平面所成的角的正弦值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若平面法向量，直线的方向向量为，则与所成角的大小为___________.14．写出直线一个方向向量______15．已知满足约束条件，则的最小值为___________16．在空间直角坐标系中，已知向量，则在轴上的投影向量为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆．离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由18．（12分）某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序号x12345678910营业收入y（亿元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散点图：根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型（b和a是待定参数）来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令，得，由表1可得变换后的数据见表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根据表中数据，建立y关于t的回归方程（系数精确到个位数）；（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：.19．（12分）如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，D为棱AC中点.（1）证明：AB1//平面；（2）若面B1BC1与面BC1D的夹角余弦值为，求.20．（12分）如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，点E在棱AB上移动.（1）证明：；（2）当E为AB的中点时，求直线AC与平面所成角的正弦值.21．（12分）已知圆与（1）过点作直线与圆相切，求的方程；（2）若圆与圆相交于、两点，求的长22．（10分）已知圆，直线（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）过点作圆C的切线，求切线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据可得关于的方程，解方程即可得答案.【详解】因为可化为，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.2、D【解析】令，代入可得，即得，再由函数的图象关于点对称，判断得函数的图象关于点对称，即，则化简可得，即函数的周期为，从而代入求解.【详解】令，得，即，所以，因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，即，所以，即，可得，则，故选：D.第II卷（非选择题3、D【解析】直接根据.复数的乘法运算结合复数虚部的定义即可得出答案【详解】解：，所以复数的虚部为.故选：D.4、B【解析】画出可行域，找到最优解，得最值.【详解】画出不等式组对应的可行域如下：平行移动直线，当直线过点时，.故选：B.5、C【解析】设出点C坐标，求出的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂心验证判断作答.【详解】设顶点的坐标为，则的重心坐标为，依题意，，整理得：，对于A，当时，，不满足题意，排除A；对于D，当时，，不满足题意，排除D；对于B，当时，，对于C，当时，，直线AB的斜率，线段AB中点，线段AB中垂线方程：，即，由解得：，于是得的外心，若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，该点与点M确定直线斜率为，显然，即点M不在线段BC的中垂线上，不满足题意，排除B；若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，线段BC中垂线方程为：，即，由解得，即点为的外心，并且在直线上，边AB上的高所在直线：，即，边BC上的高所在直线：，即，由解得：，则的垂心，此时有，即的垂心在直线上，选项C满足题意.故选：C【点睛】结论点睛：的三顶点，则的重心为.6、A【解析】根据题中条件，逐项计算，即可得出结果.【详解】因为，，，所以，因此.故选：A.7、B【解析】先求出抛物线方程，焦点坐标，再用两点间距离公式进行求解.【详解】将代入抛物线中得：，解得：，所以抛物线方程为，焦点坐标为，所以点到抛物线焦点的距离为故选：B8、D【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，当经过A时，的最小值为-8，故选D.9、B【解析】利用正弦定理，以及大边对大角，结合正弦定理，即可求得.【详解】根据题意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故选：B.10、B【解析】根据极限的定义计算【详解】由题意故选：B11、B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可求解.【详解】如图所示建立适当空间直角坐标系，故选：B12、B【解析】作出线面角构造三角形直接求解，建立空间直角坐标系用向量法求解.【详解】设正方体棱长为2，、F分别为AB、CD的中点，由正方体性质知平面，所以平面平面，在平面作，则平面，因为，所以即为所求角，所以.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】设直线与平面所成角为，则，直接利用直线与平面所成的角的向量计算公式，即可求出直线与平面所成的角【详解】解：已知直线的方向向量为，平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，，，所以直线与平面所成角为.故答案为：.14、【解析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量.【详解】由题意可知，直线可以化为，所以直线的斜率为，直线的一个方向向量可以写为.故答案为：.15、【解析】根据题意，作出可行域，进而根据几何意义求解即可.【详解】解：作出可行域如图，将变形为，所以根据几何意义，当直线过点时，有最小值，所以联立方程得，所以的最小值为故答案为：16、【解析】根据向量坐标意义及投影的定义得解.【详解】因为向量，所以在轴上的投影向量为.故答案为:三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）是定值，理由见解析.【解析】（1）由题意有，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形有，即可写出椭圆方程；（2）直线与椭圆交于两点，联立方程结合韦达定理即有，已知应用点线距离公式、三角形面积公式即可说明的面积是否为定值；【详解】（1）椭圆离心率为，即，∵点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，∴，综上有：，，故椭圆方程为，（2）由直线与椭圆交于两点，联立方程：，整理得，设，则，，，，原点到的距离，为定值；【点睛】本题考查了由离心率求椭圆方程，根据直线与椭圆的相交关系证明交点与原点构成的三角形面积是否为定值的问题.18、（1）；（2）估计2021年的营业收入约为2518亿元，估计营业收入首次超过4000亿元的年份为2024年.【解析】（1）根据的公式，将题干中的数据代入，即得解；（2）代入，可估计2021年的营业收入；令，可求解的范围，继而得到的范围，即得解【详解】（1），，故回归方程为.（2）2021年对应的t的值为121，营业收入，所以估计2021年的营业收入约为2518亿元.依题意有，解得，故.因为，所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14，即2024年.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接，使，连接，即可得到，从而得证；（2）设，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解面与面的夹角余弦值为，从而得到方程，解得即可【小问1详解】证明：如图，连，使，连，由直三棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点，在中，、分别为和中点，，又因平面平面，面，面，平面【小问2详解】解：设，以为坐标原点如图建系，则，，所以、，设平面的法向量则，故可取设平面的法向量，则，故可取，因为面与面的夹角余弦值为，所以，即，解得，20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）设，求出，，利用向量法能求出；（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值【小问1详解】证明：设，，，，；【小问2详解】当为的中点时，，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：21、（1）或（2）【解析】（1）根据已知可得圆心与半径，再利用几何法可得切线方程；（2）联立两圆方程可得公共弦方程，进而可得弦长.【小问1详解】解：圆的方程可化为：，即：圆的圆心为，半径为若直线的斜率不存在，方程为：，与圆相切，满足条件若直线的斜率存在，设斜率为，方程为：，即：由与圆相切可得：，解得：所以的方程为：，即：综上可得的方程为：或【小问2详解】联立两圆方程得：，消去二次项得所在直线的方程：，圆的圆