湖南省长沙市开福区第一中学2024届高二上数学期末经典试题含解析

湖南省长沙市开福区第一中学2024届高二上数学期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A.2 B.3C.6 D.92．设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）A. B.C. D.3．在平面直角坐标系中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（）A. B.C.1 D.4．已知等比数列满足，则q＝（）A.1 B.－1C.3 D.－35．已知是等比数列，，，则（）A. B.C. D.6．已知下列四个命题，其中正确的是（）A. B.C. D.7．某制药厂为了检验某种疫苗预防的作用，把名使用疫苗的人与另外名未使用疫苗的人一年中的记录作比较，提出假设：“这种疫苗不能起到预防的作用”，利用列联表计算得，经查对临界值表知.则下列结论中，正确的结论是（）A.若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病B.这种疫苗预防的有效率为C.在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”D.有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用8．已知空间向量，，，下列命题中正确的个数是（）①若与共线，与共线，则与共线；②若，，非零且共面，则它们所在的直线共面；⑧若，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得；④若，不共线，向量，则可以构成空间的一个基底.A.0 B.1C.2 D.39．过双曲线（，）的左焦点作圆：的两条切线，切点分别为，，双曲线的左顶点为，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.10．在正方体中，P，Q两点分别从点B和点出发，以相同的速度在棱BA和上运动至点A和点，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为A. B.C. D.11．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%12．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，过作轴的平行线交椭圆于、两点，为坐标原点，双曲线的虚轴长为，且以、为顶点，以直线、为渐近线，则椭圆的短轴长为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______.14．已知P是椭圆的上顶点，过原点的直线l交C于A，B两点，若的面积为，则l的斜率为____________15．如图是用斜二测画法画出水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为______.16．半径为R的圆外接于，且，若，则面积的最大值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图1是直角梯形，以为折痕将折起，使点C到达的位置，且平面与平面垂直，如图2（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）在棱上是否存在点P，使平面与平面的夹角为？若存在，则求三棱锥的体积，若不存在，则说明理由18．（12分）已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.19．（12分）如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20．（12分）如图，正方体的棱长为4，E，F分别是上的点，且.（1）求与平面所成角的正切值；（2）求证：.21．（12分）在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设，求22．（10分）曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，C上的点M满足，且直线的斜率之积等于（1）求C的方程；（2）过点的直线l交C于A，B两点，若，其中，证明：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.2、C【解析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，分别于联立，解得：，，所以中点坐标为，因为点满足，所以，所以，即，所以.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.3、D【解析】根据给定条件求出抛物线C的焦点、准线，再利用抛物线的定义求出a值计算作答.【详解】抛物线的焦点，准线，依题意，由抛物线定义得，解得，所以抛物线焦点到准线的距离为.故选：D4、C【解析】根据已知条件，利用等比数列的基本量列出方程，即可求得结果.【详解】因为，故可得；解得.故选：C.5、D【解析】由，，可求出公比，从而可求出等比数的通项公式，则可求出，得数列是一个等比数列，然后利用等比数的求和公式可求得答案【详解】由题得.所以，所以.所以，所以数列是一个等比数列.所以=.故选：D6、B【解析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则即可求解判断.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.7、C【解析】根据的值与临界值的大小关系进行判断.【详解】∵，，∴在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”，C对，由已知数据不能确定若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病，A错，由已知数据不能判断这种疫苗预防的有效率为，B错，由已知数据没有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用,D错，故选：C.8、B【解析】用向量共线或共面的基本定理即可判断.【详解】若与，与共线，，则不能判定，故①错误；若非零向量共面，则向量可以在一个与组成的平面平行的平面上，故②错误；不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，故③正确；，∴与共面，故不能组成一个基底，故④错误；故选：C.9、C【解析】根据，，可以得到，从而得到与的关系式，再由，，的关系，进而可求双曲线的渐近线方程【详解】解：由，，则是圆的切线，，，，所以，因为双曲线的渐近线方程为，即为故选：C10、C【解析】先过点作于点，连接，根据题意，得到即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，推出，进而可求出结果.【详解】过点作于点，连接，因为四棱柱为正方体，所以易得平面，因此即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，则，，因为两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，所以，因此，所以，因为，所以，则，因此.故选：C.【点睛】本题主要考查求线面角的取值范围，熟记线面角的定义即可，属于常考题型.11、A【解析】根据甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件即可求解.【详解】甲不输有两种情况：甲获胜或甲、乙两人下成平局，甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件，所以甲、乙两人下成平局的概率为.故选：A.12、C【解析】不妨取点在第一象限，根据椭圆与双曲线的几何性质，以及它们之间的联系，可得点的坐标，再将其代入椭圆的方程中，解之即可【详解】解：由题意知，在椭圆中，有，在双曲线中，有，，即，双曲线的渐近线方程为，不妨取点在第一象限，则的坐标为，即，将其代入椭圆的方程中，有，，解得，椭圆的短轴长为故选：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为设,由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）则，又设直线PN方程为由到直线PN的距离为1，得，整理得则，又，故则直线PN的方程为，故，由，解得，故椭圆的离心率故答案为：【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。14、【解析】设出直线AB的方程，联立椭圆方程得到A点横坐标满足，再利用，解方程即可得到答案.【详解】设直线AB的方程为：，，由，得，所以，又所以，解得.故答案为：15、【解析】根据直观图和平面图的关系可求出，进而利用面积公式可得三角形的面积【详解】由已知可得则故答案为：.16、【解析】利用正弦定理将已知条件转化为边之间的关系，然后用余弦定理求得C；利用三角形面积公式，结合两角差的正弦函数公式和二倍角公式得，再利用辅助角公式得，最后利用函数的值域计算得结论.【详解】因为所以由正弦定理得：，即，所以由余弦定理可得：，又，故.由正弦定理得：，，所以，所以当时，S最大，.若，则面积的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，函数的图象与性质，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）存在，靠近点D的三等分点.【解析】（1）由题意建立空间直接坐标系，求得的坐标，由求解；（2）假设棱上存在点P，设，求得点p坐标，再求得平面PBE的一个法向量，由平面，得到为平面的一个法向量，然后由求解.【小问1详解】解：因为，所以四边形ABCE是平行四边形，又，所以四边形ABCE是菱形，，又平面与平面垂直，又平面与平面=EB，所以平面，建立如图所示空间直接坐标系：则，所以，则，所以异面直线与所成角的余弦值是；【小问2详解】假设棱上存在点P，使平面与平面的夹角为，设，则，又，设平面PBE的一个法向量为，则，即，则，由平面，则为平面的一个法向量，所以，解得.18、（1）时，函数在单调递增，无减区间；时，函数在单调递增，在单调递减.（2）.【解析】（1）对求导得到，分和进行讨论，判断出的正负，从而得到的单调性；（2）设函数，分和进行讨论，根据的单调性和零点，得到答案.【详解】解:（1）函数定义域是，，当时，，函数在单调递增，无减区间；当时，令，得到，即，所以，，单调递增，，，单调递减，综上所述，时，函数在单调递增，无减区间；时，函数在单调递增，在单调递减.（2）由已知在恒成立，令，，可得，则，所以在递增，所以，①当时，，在递增，所以成立，符合题意.②当时，，当时，，∴，使，即时，在递减，，不符合题意.综上得【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，根据导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和线面垂直的性质定理可证得；由菱形边长和角度的关系可证得；利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）以为坐标原点建立起空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.详解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，，四边形为菱形且为中点，，又，，又，，平面，，平面.（2）以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，则，，，设平面的法向量，则，令，则，，，设平面的法向量，则，令，则，，，，二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质定理的应用，属于常考题型.20、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)在正方体中，平面，连接，则为与平面所成的角，在直角三角形，求出即可；(2)∵是正方体，又是空间垂直问题，∴易采用向量法，∴建立如图所示的空间直角坐标系，欲证，只须证，再用向量数量积公式求解即可.【小问1详解】在正方体中，平面，连接，则为与平面所成的角，又，，，∴；【小问2详解】如图，以为坐标原点，直线、、分别轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则∴，，∴，∴.21、（1）（2）【解析】（1）直接利用等差数列的通项公式即可求解；（2）先判断出数列单调性，由时，，时，；然后去掉绝对值，利用等差数列的前项和公式求解即可.【小问1详解】是等差数列，公差；即；【小问2详解】，则由（1）可知前五项为正，第六项开始为负.22、（1）（2）证明见解析【解析】（1）由椭圆定义可得到，再利用斜率公式及直线的斜率之积等于，列出方程，化简对比系数可得；（2）分直线l的斜率为0和不为0两种情况讨论，