北师大版数学七年级下册期末复习考点串讲+题型专训专题08 全等三角形证明方法 一线三等角模型（含解析）

专题08全等三角形证明方法——一线三等角模型基本模型：（1）条件：如图，SKIPIF1<0是经过SKIPIF1<0顶点C的一条直线，SKIPIF1<0，E、F分别是直线SKIPIF1<0上的两点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结论：SKIPIF1<0.（2）条件：如图，直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0的外部，SKIPIF1<0，E、F分别是直线SKIPIF1<0上的两点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.（3）条件：如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.

（4）条件：如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.（5）条件：如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结论：SKIPIF1<0.例题精讲：例1．【一线三等角模型】如图1：点A、B、C在一条直线上，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．理由：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请将全等证明过程补充完整．【模型运用】如图2：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积；【能力提升】如图3：在等边SKIPIF1<0中，A，C分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0边上的动点，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为边在SKIPIF1<0内作等边SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，当点A从点E向点D运动（不与点D重合）时，SKIPIF1<0的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？【答案】【一线三等角模型】见解析；【模型运用】8；【能力提升】SKIPIF1<0不变，理由见解析【详解】【一线三等角模型】证明：如图1：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；【模型运用】解：如图2：过点D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点T．同法可证SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；【能力提升】解：SKIPIF1<0不变．理由：如图3中，在SKIPIF1<0上取一点N，使得SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造一线三等角模型，利用全等三角形解决问题．例2．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过点C，且SKIPIF1<0于D，SKIPIF1<0于E．（1）当直线SKIPIF1<0绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；（2）当直线SKIPIF1<0绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：SKIPIF1<0；（3）当直线SKIPIF1<0绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的等量关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）SKIPIF1<0【详解】解：（1）①∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）证明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）当MN旋转到题图（3）的位置时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所满足的等量关系是：SKIPIF1<0．理由如下：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论．例3．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D在线段SKIPIF1<0上运动（点D不与点B和点C重合），连接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交线段SKIPIF1<0于点E．（1）在点D的运动过程中，SKIPIF1<0的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出SKIPIF1<0的度数；若不可以，请说明理由；（2）若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0的形状可以是等腰三角形，SKIPIF1<0的度数为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）见解析【详解】（1）解：在点D的运动过程中，SKIPIF1<0的形状可以是等腰三角形，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，分三种情况：当SKIPIF1<0时，∵点D在线段SKIPIF1<0上运动（点D不与点B和点C重合），∴SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；综上所述：在点D的运动过程中，SKIPIF1<0的形状可以是等腰三角形，SKIPIF1<0的度数为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）证明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键．例4．已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，过点A作SKIPIF1<0于点H，反向延长线段SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F．（1）如图1，当SKIPIF1<0时①请直接写出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：SKIPIF1<0（2）如图2，当SKIPIF1<0时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）①＝；②见解析；（2）成立，理由见解析【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：＝；②∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）成立，证明如下：作SKIPIF1<0于点M，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点N，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可证SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握权等三角形的判定和性质是解题的关键．例5．直线l经过点A，SKIPIF1<0在直线l上方，SKIPIF1<0．（1）如图1，SKIPIF1<0，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：SKIPIF1<0；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为任意锐角或钝角），猜想线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，SKIPIF1<0过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是SKIPIF1<0延长线上的一个动点，连结SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直线l与SKIPIF1<0交于点G．求证：G是SKIPIF1<0的中点．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0，理由见解析；（3）见解析【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，（2）解：猜想：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）证明：分别过点C、E作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴G为SKIPIF1<0的中点．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．专练过关：1．如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，点P在SKIPIF1<0上，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）15m【解答】（1）证明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（同角的余角相等）．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．2．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D、A、E三点都在直线m上，并且有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】7【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明SKIPIF1<0是解题的关键．3．如图，SKIPIF1<0为等边三角形，点D为SKIPIF1<0边上一点，先将三角板SKIPIF1<0角的顶点与D点重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板SKIPIF1<0角的两边分别与边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于点E、点F，当SKIPIF1<0时，如图（2）所示．求证：SKIPIF1<0．【答案】见解析【解答】证明：∵SKIPIF1<0为等边三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由旋转变换得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了等边三角形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的基本模型：一线三等角是解题的关键．4．如图，把一块直角三角尺SKIPIF1<0的直角顶点C放置在水平直线SKIPIF1<0上，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试回答下列问题：（1）若把三角尺SKIPIF1<0绕着点C按顺时针方向旋转，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0度；（2）在三角尺SKIPIF1<0绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作SKIPIF1<0于M，SKIPIF1<0于N，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．（3）三角尺SKIPIF1<0绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间有什么关系？请说明理由．【答案】（1）45；（2）8；（3）SKIPIF1<0，理由见解析【详解】解：（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为45；（2）∵SKIPIF1<0于M，SKIPIF1<0于N，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）MN＝BN﹣AM，理由：同（2）的方法得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出SKIPIF1<0是解本题的关键．5．已知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，直线l过点A．（1）如图1，SKIPIF1<0，分别过点B，C作直线l的垂线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为D，E．①依题意补全图1；②用等式表示线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系为．【答案】（1）①见解析；②SKIPIF1<0，理由见解析；（2）SKIPIF1<0，理由见解析【详解】解：（1）①依题意补全图形如图1所示．②用等式表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系为SKIPIF1<0．证明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，直线l过点A，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．（2）用等式表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系为SKIPIF1<0，理由如下：∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个外角，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．已知，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D，A，E三点都在直线m上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）如图①，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系为，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系；（3）如图③，若只保持SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点A在线段SKIPIF1<0上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段SKIPIF1<0上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，由（1）同理可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）存在，当SKIPIF1<0时，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综上：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．7．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．（1）如图1，当SKIPIF1<0时，猜想线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系是；（2）如图2，当SKIPIF1<0时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当SKIPIF1<0时，点F为SKIPIF1<0平分线上的一点，且SKIPIF1<0，分别连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0的形状，并说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）SKIPIF1<0是等边三角形，理由见解析【详解】解：（1）SKIPIF1<0，理由如下，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0仍然成立，理由如下，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0是等边三角形，理由如下，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同（2）可得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等．8．如图所示，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D是线段SKIPIF1<0延长线上一点，且SKIPIF1<0