北京海淀北方交大附中2023年数学高二上期末经典试题含解析

北京海淀北方交大附中2023年数学高二上期末经典试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为（）A.30° B.60°C.120° D.150°2．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.843．以下命题是真命题的是（）A.方差和标准差都是刻画样本数据分散程度的统计量B.若m为数据（i=1，2，3，····，2021）的中位数，则C.回归直线可能不经过样本点的中心D.若“”为假命题，则均为假命题4．已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为()A. B.C. D.5．若，则（）A.1 B.0C. D.6．已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（）A.外离 B.外切C.内含 D.内切7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是A.3 B.4C.5 D.68．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（）A. B.C. D.9．南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造，其最著名的成就是祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为，圆柱体的体积为，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值10．已知命题：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则；命题：等轴双曲线的离心率为，则下列命题是真命题的是（）A. B.C. D.11．下列关于命题的说法错误的是A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C.命题“，使得”的否定是“，均有”D.“若为的极值点，则”的逆命题为真命题12．直线的一个法向量为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为______cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______(单位：cm)14．设抛物线的焦点为，直线过焦点，且与抛物线交于两点，，则__________15．双曲线的一条渐近线的一个方向向量为，则______（写出一个即可）16．命题“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取了1500名居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图．满意度评分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求a的值；（2）定义满意度指数，若，则防疫工作需要进行调整，否则不需要调整，根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行调整？18．（12分）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，分别是棱，的中点（1）证明：平面；（2）若，且四棱锥的体积是6，求三棱锥的体积19．（12分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，点在椭圆上，过的直线交椭圆于、两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积的最大值.20．（12分）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点.（1）将曲线的参数方程转化为普通方程；（2）求长.21．（12分）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.（1）求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；（2）P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求P点横坐标的取值范围.22．（10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据三棱柱的特征补全为正方体，则，为直线与所成角，连接，则为等边三角形即可得解.【详解】根据直三棱柱的特征，补全可得如图所示的正方体，易知，为直线与所成角，连接，则为等边三角形，所以，所以直线与所成角的大小为.故选：B2、C【解析】根据对称性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.【详解】∵随机变量服从正态分布，∴故选：C.3、A【解析】A：根据方差和标准差的定义进行判断；B：根据中位数的定义判断；C：根据回归直线必过样本中心点进行判断；D：根据“且”命题真假关系进行判断.【详解】对于A，方差和标准差都是刻画样本数据分散程度的统计量，故A正确；对于B，若为数据，2，3，，的中位数，需先将数据从小到大排列，此时数据里面之间的数顺序可能发生变化，则为排序后的第1010个数据的值，这个数不一定是原来的，故B错误；对于C，回归直线一定经过样本点的中心，，故C错误；对于D，若“”为假命题，则、中至少有一个是假命题，故D错误；故选：A4、A【解析】根据已知不等式和要求解的不等式特征，构造函数，将问题转化为解不等式.通过已知条件研究g(x)的奇偶性和单调性即可解该不等式.【详解】令，则根据题意可知，，∴g(x)是奇函数，∵，∴当时，，单调递减，∵g(x)是奇函数，g(0)＝0，∴g(x)在R上单调递减，由不等式得，.故选：A.5、C【解析】由结合二项式定理可得出，利用二项式系数和公式可求得的值.【详解】，当且时，，因此，.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.6、C【解析】求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.【详解】由两圆的标准方程可得，，，；则，所以两圆不可能内含.故选：C.7、B【解析】循环体第一次运行后；第二次运行后；第三次运行后，第四次运行后；循环结束，输出值为4，答案选B考点：程序框图的功能8、C【解析】连接，，，，在平面中，作，为垂足，将两平行线的距离转化成点到直线的距离，结合余弦定理即同角三角函数基本关系，求得，因此可得，进而可得直线到直线的距离；【详解】解：如图，连接，，，，在平面中，作，为垂足，因为，分别为，的中点，因为，，所以，所以，同理，所以四边形是平行四边形，所以，所以即为直线到直线的距离，在三角形中，由余弦定理得因为，所以是锐角，所以，在直角三角形中，，故直线到直线的距离为；故选：C9、C【解析】由条件可得长方体的体积为，设长方体的底面相邻两边分别为，根据基本不等式，可求出底面面积的最大值，进而求出高的最小值，得出结论.【详解】依题意长方体的体积为，设圆柱的高为长方体的底面相邻两边分别为，，当且仅当时，等号成立，.故选:C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查基本不等式求最值，要认真审题，理解题意，属于基础题.10、D【解析】先判断出p、q的真假，再分别判断四个选项的真假.【详解】因为“若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或”，所以p为假命题；对于等轴双曲线，，所以离心率为，所以q为真命题.所以假命题，故A错误；为假命题，故B错误；为假命题，故C错误；为真命题，故D正确.故选：D11、D【解析】根据命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识一一判断可得答案.【详解】解：A,由原命题与逆否命题的构成关系,可知A正确；B,当a=2>1时,函数在定义域内是单调递增函数，当函数定义域内是单调递增函数时，a>1.所以B正确；C,由于存在性命题的否定是全称命题,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正确；D,的根不一定是极值点，例如:函数,则=0，即x=0就不是极值点,所以“若为的极值点，则”的逆命题为假命题,故选D.【点睛】本题主要考查命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识，需牢记并灵活运用相关知识.12、B【解析】直线化为，求出直线的方向向量，因为法向量与方向向量垂直，逐项验证可得答案.【详解】直线的方向向量为，化为，直线的方向向量为，因为法向量与方向向量垂直，设法向量为，所以，由于，A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误；故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】根据题意，，进而得，，故最小距离为；进而建立坐标系，得抛物线方程为，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，此时设玻璃球轴截面所在圆的方程为，进而只需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，再根据几何关系求解即可.【详解】因为杯口放一个表面积为的玻璃球，所以球的半径为，又因为杯口宽cm，所以如图1所示，有，所以，所以，所以，又因为杯深8cm，即故最小距离为如图1所示，建立直角坐标系，易知，设抛物线的方程为，所以将代入得，故抛物线方程为，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程为，依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即，则有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半径的取值范围为.故答案为：；【点睛】本题考查抛物线的应用，考查数学建模能力，运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于设出球触及酒杯底部的轴截面圆的方程，进而将问题转化为抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立求解.14、【解析】抛物线焦点为,由于直线和抛物线有两个交点,故直线斜率存在.根据抛物线的定义可知,故的纵坐标为,横坐标为.不妨设,故直线的方程为,联立直线方程和抛物线方程,化简得,解得,故.所以.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的几何性质和定义.考查三角形面积公式.在解题过程中,先根据题目所给抛物线的方程求得焦点的坐标,然后利用抛物线的定义:到定点的距离等于到定直线的距离,由此求得点的坐标,进而求得直线的方程,联立直线方程和抛物线方程求得点的坐标.最后求得面积比.15、(答案不唯一)【解析】写出双曲线的渐近线方程，结合方向向量的定义求即可.【详解】由题设，双曲线的渐近线方程为，又是一条渐近线的一个方向向量，所以或或或，所以或.故答案为：(答案不唯一)16、【解析】根据还有一个量词的命题的否定的方法解答即可.【详解】命题“x≥1，x2-2x+4≥0”的否定为“”.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）不需要【解析】（1）直接根据频率和为1计算得到答案.（2）计算平均值得到得到答案.【小问1详解】，解得.【小问2详解】.故不需要进行调整.18、（1）证明见解析.（2）2.【解析】（1）取的中点，连接，．运用面面平行的判定和性质可得证；（2）过点作，垂足为，连接，，设点到平面的距离为，根据棱锥的体积求得，再利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，可求得答案.【小问1详解】证明：如图，取的中点，连接，因为，分别是棱，的中点，所以，又平面，平面，所以平面因为，且，分别是棱，的中点，所以，又平面，平面，所以平面因为平面，且，所以平面平面因为平面，所以平面【小问2详解】解：过点作，垂足为，连接，，则四边形是正方形，从而因为，所以，则，从而直角梯形的面积设点到平面的距离为，则四棱锥的体积，解得因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积因为平面，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积为219、（1）（2）【解析】（1）利用椭圆的离心率、点在椭圆上以及得到的方程组，进而得到椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和三角形的面积公式得到三角形的面积，再利用基本不等式求其最值.【小问1详解】解：由题可得，且，将点代入椭圆方程，得，解得，，即椭圆方程为；【小问2详解】解：由（1）可得，，设：，联立，消去，得，设，，则，则所以，当且仅当，即时取等号，故的面积的最大值为.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用公式直接将椭圆的参数方程转化为普通方程即可.（2）首先求出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程得到，再利用直线参数方程的几何意义求弦长即可.【详解】（1）因为曲线（为参数），所以曲线的普通方程为：.（2）由题知：直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入，得.，.所以.21、（1）（2）【解析】（1）分别以为轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案.(2)由题意可得点的轨迹所在圆的圆心到直线的距离