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文档简介
安徽省“庐巢六校联盟”2023年数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为,且,则()A. B.C. D.2.下列数列是递增数列的是()A. B.C. D.3.如图所示,过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C.若,且,则抛物线的方程为()A. B.C. D.4.如果一个矩形长与宽的比值为,那么称该矩形为黄金矩形.如图,已知是黄金矩形,,分别在边,上,且也是黄金矩形.若在矩形内任取一点,则该点取自黄金矩形内的概率为()A. B.C. D.5.在等比数列中,,且,则t=()A.-2 B.-1C.1 D.26.已知圆的方程为,则圆心的坐标为()A. B.C. D.7.已知f(x)=x3+(a-1)x2+x+1没有极值,则实数a的取值范围是()A.[0,1] B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.[0,2] D.(-∞,0]∪[2,+∞)8.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数n的值是()A. B.C. D.9.已知函数有两个极值点m,n,且,则的最大值为()A. B.C. D.10.正方体的表面积为,则正方体外接球的表面积为(
)A. B.C. D.11.已知正实数x,y满足4x+3y=4,则的最小值为()A. B.C. D.12.过点且与直线垂直的直线方程是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.过点作圆的切线,则切线的方程为________14.已知O为坐标原点,,是抛物线上的两点,且满足,则______;若OM垂直AB于点M,且为定值,则点Q的坐标为__________.15.在等比数列中,若,是方程两根,则________.16.若两定点A,B的距离为3,动点M满足,则M点的轨迹围成区域的面积为_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在三棱柱中,=2,且,⊥底面ABC.E为AB中点(1)求证:平面;(2)求平面与平面CEB夹角的余弦值18.(12分)如图,已知三棱锥的侧棱,,两两垂直,且,,是的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求点到面的距离.(3)求二面角的平面角的正切值.19.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AB=2,CD=3,M为PC上一点,且PM=2MC.(1)求证:BM∥平面PAD;(2)若AD=2,PD=3,∠BAD=60°,求三棱锥PADM的体积20.(12分)物联网(Internetofthings)是一个基于互联网、传统电信网等信息承载体,让所有能够被独立寻址的普通物理对象实现互联互通的网络,具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库存储货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:千米)之间的关系为,每月库存货物费(单位:万元)与x之间的关系为:;若在距离车站11.5千米建仓库,则和分别为4万元和23万元.(1)求的值;(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小?最小费用是多少?21.(12分)在数列中,,,且对任意的,都有.(1)数列的通项公式;(2)设数列,求数列的前项和.22.(10分)如图,在棱长为2的正方体中,,分别为线段,的中点.(1)求点到平面的距离;(2)求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先根据,,成等差数列以及单调递减,求出公比,再由即可求出,再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.【详解】解:由,,成等差数列,得:,设的公比为,则,解得:或,又单调递减,,,解得:,数列的通项公式为:,.故选:C2、C【解析】分别判断的符号,从而可得出答案.【详解】解:对于A,,则,所以数列为递减数列,故A不符合题意;对于B,,则,所以数列为递减数列,故B不符合题意;对于C,,则,所以数列为递增数列,故C符合题意;对于D,,则,所以数列递减数列,故D不符合题意.故选:C.3、A【解析】分别过点作准线的垂线,分别交准线于点,,设,推出;根据,进而推导出,结合抛物线定义求出;最后由相似比推导出,即可求出抛物线的方程.【详解】如图分别过点作准线的垂线,分别交准线于点,,设与交于点.设,,,由抛物线定义得:,故在直角三角形中,,,,,,,∥,,,即,,所以抛物线的方程为.故选:A4、B【解析】由几何概型的面积型,只需求小矩形的面积和大矩形面积之比.【详解】由题意,不妨设,则,又也是黄金矩形,则,又,解得,于是大矩形面积为:,小矩形的面积为,由几何概型的面积型,概率为若在矩形内任取一点,则该点取自黄金矩形内的概率为:.故选:B.5、A【解析】先求出,利用等比中项求出t.【详解】在等比数列中,,且,所以所以,即,解得:.当时,,不符合等比数列的定义,应舍去,故.故选:A.6、A【解析】将圆的方程配成标准方程,可求得圆心坐标.【详解】圆的标准方程为,圆心的坐标为.故选:A.7、C【解析】求导得,再解不等式即得解.【详解】由得,根据题意得,解得故选:C8、C【解析】首先根据抛物线焦半径公式得到,从而得到,再根据曲线的一条渐近线与直线AM平行,斜率相等求解即可.【详解】由题知:,解得,抛物线.双曲线的左顶点为,,因为双曲线的一条渐近线与直线平行,所以,解得.故选:C9、C【解析】对求导得,得到m,n是两个根,由根与系数的关系可得m,n的关系,然后构造函数,利用导数求单调性,进而得最值.【详解】由得:m,n是两个根,由根与系数的关系得:,故,令记,则,故在上单调递减.故选:C10、B【解析】由正方体表面积求得棱长,再求得正方体的对角线长,即为外接球的直径,从而可得球表面积【详解】设正方体棱长为,由得,正方体对角线长,所以其外接球半径为,球表面积为故选:B11、A【解析】将4x+3y=4变形为含2x+1和3y+2的等式,即2(2x+1)+(3y+2)=8,再由换元法、基本不等式换“1”的代换求解即可【详解】由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8,令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8,∴,即,当且仅当时取等号,∴的最小值为.故选:A12、C【解析】根据两直线垂直时斜率乘积为,可以直接求出所求直线的斜率,再根据点斜式求出直线方程,最后化成一般式方程即可.【详解】因为直线的斜率为,故所求直线的斜率等于,所求直线的方程为,即,故选:C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由已知可得点M在圆C上,则过M作圆的切线与CM所在的直线垂直,求出斜率,进而可得直线方程.【详解】由圆得到圆心C的坐标为(0,
0),圆的半径,而所以点M在圆C上,则过M作圆的切线与CM所在的直线垂直,又,得到CM所在直线的斜率为,所以切线的斜率为,则切线方程为:即故答案为:.14、①.-24②.【解析】由抛物线的方程及数量积的运算可求出,设直线AB的方程为,联立抛物线方程,由根与系数的关系可求出,由圆的定义求出圆心即可.【详解】由,即解得或(舍去).设直线AB的方程为.由,消去x并整理得,.又,,直线AB恒过定点N(6,0),OM垂直AB于点M,点M在以ON为直径圆上.|MQ|为定值,点Q为该圆的圆心,又即Q(3,0).故答案为:;15、.【解析】由题意求得,,再结合等比数列的性质,即可求解.【详解】由题意知,,是方程的两根,可得,,又由,,所以,,可得,又由,所以.故答案为:.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式,以及等比数列的性质的应用,其中解答中熟练应用等比数列的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.16、【解析】建立如图直角坐标系,设点,根据题意和两点坐标求距离公式可得,结合圆的面积公式计算即可.【详解】以点A为坐标原点,射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系,如图,设点,则,由,化简并整理得:,于是得点M轨迹是以点为圆心,2为半径的圆,其面积为,所以M点的轨迹围成区域的面积为.故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)连接与交于点O,连接OE,得到,再利用线面平行的判定定理证明即可;(2)根据,底面,建立空间直角坐标系,求得平面的一个法向量,再根据底面,得到平面一个法向量,然后由夹角公式求解.【小问1详解】如图所示:连接与交于点O,连接OE,如图,由分别为的中点所以,又平面,平面,所以平面;【小问2详解】由,底面,故底面建立如图所示空间直角坐标系:则,所以,设平面的一个法向量为:,则,即,令,则,则,因为底面,所以为平面一个法向量,所以所以平面与平面CEB夹角的余弦值为.18、(1);(2);(3).【解析】(1)首先以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用向量求;(2)首先求平面的法向量,再利用公式求解;(3)求平面的法向量为,先求,再求二面角的正切值.【详解】(1)以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.则有、、、.,,所以异面直线与所成角的余弦为(2)设平面的法向量为,则知:;知取,又,点到面的距离所以点到面的距离为.(3)(2)中已求平面的法向量,设平面的法向量为∵;∴取..设二面角的平面角为,则.【点睛】本题考查空间直角坐标系求解空间角和点到平面的距离,重点考查计算能力,属于中档题型.19、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)过M作MN∥CD交PD于点N,证明四边形ABMN为平行四边形,即可证明BM∥平面PAD.(2)过B作AD的垂线,垂足为E,证明BE⊥平面PAD,在利用VP-ADM=VM-PAD求三棱锥P-ADM的体积.【详解】解:(1)证明:如图,过M作MN∥CD交PD于点N,连接AN.∵PM=2MC,∴MN=CD.又AB=CD,且AB∥CD∴AB∥MN∴四边形ABMN为平行四边形∴BM∥AN.又BM⊄平面PAD,AN⊂平面PAD∴BM∥平面PAD.(2)如图,过B作AD的垂线,垂足为E.∵PD⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD∴PD⊥BE.又AD⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,AD∩PD=D∴BE⊥平面PAD.由(1)知,BM∥平面PAD∴点M到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离,即BE.连接BD,在△ABD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∴BE=则三棱锥PADM的体积VP-ADM=VM-PAD=×S△PAD×BE=×3×=.20、(1)(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小,最小费用是万元【解析】(1)将题中数据代入解析式可求;(2)利用基本不等式可求解.【小问1详解】由题意,,当时,,,解得.【小问2详解】设两项费用之和为(单位:万元),则.因为,所以,所以,当且仅当时等号成立,解得.所以这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小,最小费用是万元.21、(1);(2).【解析】(1)由递推式可得,根据等比数列的定义写出通项公式,再由累加法求的通项公式;(2)由(1)可得,再应用裂项相消法求前项和【小问1详解】由可得:,又,,∴,则数列是首项为2,公比为2的等比数列,∴.∴
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