2023-2024学年江西省浮梁一中高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2023-2024学年江西省浮梁一中高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“”是“圆与轴相切”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2．一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数m的值为（）A.5 B.6C.7 D.83．平行六面体中，若，则（）A. B.1C. D.4．若复数，则（）A B.C. D.5．若曲线表示圆，则m的取值范围是（）A. B.C. D.6．已知双曲线E的渐近线为，则其离心率为（）A. B.C. D.或7．已知a，b为正实数，且，则的最小值为（）A.1 B.2C.4 D.68．已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角是（）A.30° B.60°C.120° D.150°9．函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.10．以下命题是真命题的是（）A.方差和标准差都是刻画样本数据分散程度的统计量B.若m为数据（i=1，2，3，····，2021）的中位数，则C.回归直线可能不经过样本点的中心D.若“”为假命题，则均为假命题11．在平面直角坐标系中，线段的两端点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，若圆上存在点是线段的中点，则线段长度的最小值为（）A.4 B.6C.8 D.1012．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若和或都是假命题，则的范围是__________14．一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为__________15．已知三棱锥中，平面BCD，，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____.16．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆：的左顶点为，右顶点为.已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截得的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，点关于轴对称点为点，直线与直线交于点，若直线斜率大于，求直线的斜率的取值范围.18．（12分）如图，四棱锥中，，，，平面，点F在线段上运动.（1）若平面，请确定点F的位置并说明理由；（2）若点F满足，求平面与平面的夹角的余弦值.19．（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.（1）求渔船甲的速度；（2）求的值.20．（12分）中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7（1）求这两曲线方程；（2）若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积21．（12分）如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2（1）求圆C的方程；（2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由22．（10分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，为侧棱上一点（1）求证：；（2）若为中点，平面与侧棱于点，且，求四棱锥的体积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据充分不必要条件的定义和圆心到轴的距离求出可得答案.【详解】时，圆的圆心坐标为，半径为2，此时圆与轴相切；当圆与轴相切时，因为圆的半径为2，所以圆心到轴的距离为，所以，“”是“圆与轴相切”的充分不必要条件故选：A2、B【解析】求出样本的中心点，再利用回归直线必过样本的中心点计算作答.【详解】依题意，，则这个样本的中心点为，因此，，解得，所以实数m的值为6.故选：B3、D【解析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.【详解】在平行六面体中，有，故由题意可知：，即，所以，故选：D.4、A【解析】根据复数的乘法运算即可求解.【详解】由，故选：A5、C【解析】按照圆的一般方程满足的条件求解即可.【详解】或.故选：C.6、D【解析】根据双曲线标准方程与渐近线的关系即可求解.【详解】当双曲线焦点在x轴上时，渐近线为，故离心率为；当双曲线焦点在y轴上时，渐近线为，故离心率为；故选：D.7、D【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【详解】因为a，b为正实数，且，所以.当且仅当，即时取等号.故选：D8、C【解析】设直线l的倾斜角为，由题意可得直线l的斜率，即，∵，∴直线l的倾斜角为，故选：.9、D【解析】求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立，求出的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断得解.【详解】由题得，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，选项中只有是的必要不充分条件.选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.故选：D10、A【解析】A：根据方差和标准差的定义进行判断；B：根据中位数的定义判断；C：根据回归直线必过样本中心点进行判断；D：根据“且”命题真假关系进行判断.【详解】对于A，方差和标准差都是刻画样本数据分散程度的统计量，故A正确；对于B，若为数据，2，3，，的中位数，需先将数据从小到大排列，此时数据里面之间的数顺序可能发生变化，则为排序后的第1010个数据的值，这个数不一定是原来的，故B错误；对于C，回归直线一定经过样本点的中心，，故C错误；对于D，若“”为假命题，则、中至少有一个是假命题，故D错误；故选：A11、C【解析】首先求点的轨迹，将问题转化为两圆有交点，即根据两圆的位置关系，求参数的取值范围.【详解】设，，的中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，问题转化为圆与圆有交点，所以，，即，解得：，所以线段长度的最小值为.故选：C12、A【解析】由切线的性质，可得，，再结合椭圆定义，即得解【详解】因为过点的直线圆的切线，，，所以由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可.【详解】若为假命题，则有或若或是假命题，则所以的范围是即的范围是胡答案：14、【解析】先求出直线倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，因为直线经过，所以直线的方程为，即，故答案为：15、【解析】由题意可知三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，进而求出三棱柱的外接球的半径即可得出结果.【详解】因为，，所以，故，又因为平面BCD，因此三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，如图：取的中点，则为外接圆的圆心，取的中点，则为外接圆的圆心，则的中点即为外接球的球心，因此，,因此，所以三棱锥的外接球的表面积为，故答案为：.16、3【解析】利用抛物线的定义，再结合图形即求.【详解】由题可得抛物线的准线为，设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，∴要求取得最小值，即求取得最小，当三点共线时最小，为.故答案为：3.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据直线被圆截得的弦长为，由解得，再由离心率结合求解。（2）设，则，得到直线：；直线：，联立求得，再根据线斜率大于，求得，然后由求解.【详解】（1）以线段为直径的圆的圆心为：，半径，圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为，解得：，又椭圆离心率，∴，，椭圆的标准方程为：.（2）设，其中，，则，∴，，则直线为：；直线为：，由得：，∴，∴，∴，令，，则，∴，∵∴，∴，即.【点睛】本题主要考查椭圆方程和几何性质以及直线与圆，椭圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18、（1）F为BD的中点，证明见解析；（2）.【解析】（1）由为的中点，取的中点，连接易证四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）根据题意可得平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，取的中点H为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，设二面角为，由求解.【小问1详解】为的中点.如图：取的中点，连接∵，分别为，的中点，∴且∵且∴平行且等于∴四边形为平行四边形，则∵平面ABC，平面ABC∴平面ABC【小问2详解】由题意知，平面ABC与平面AFC的夹角为二面角，取的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为三角形为等腰三角形，易求，则，，所以，，设平面的一个法向量为，则，即，解得设平面的一个法向量为，则，即，解得设二面角为，则，因为二面角为锐角，所以余弦值为.19、（1）14海里小时；（2）.【解析】（1）由题意知，，，.在△中，利用余弦定理求出，进而求出渔船甲的速度.（2）在△中，，，，，由正弦定理，即可解出的值.【小问1详解】(1）依题意，，，，.在△中，由余弦定理，得.解得.故渔船甲的速度为海里小时.即渔船甲的速度为14海里小时.【小问2详解】在△中，因为，，，，由正弦定理，得，即.值为.20、（1）椭圆方程为双曲线方程为；（2）12【解析】（1）根据半焦距，设椭圆长半轴为a，由离心率之比求出a，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程；（2）由椭圆、双曲线的定义求出与的长，在三角形中，利用余弦定理求出cos∠的值，进一步求得sin∠的值，代入面积公式得答案试题解析：（1）设椭圆方程为，双曲线方程为（a，b，m，n>0，且a>b），则解得：a＝7，m＝3，∴b＝6，n＝2，∴椭圆方程为双曲线方程为（2）不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，∴PF1＝10，PF2＝4，∴cos∠F1PF2＝＝，∴sin∠F1PF2＝．∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝·10·4·＝12考点：椭圆双曲线方程及性质21、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，则有，，圆心C的坐标为(2,1)，由此求得圆C的标准方程；（2）假设存在弦被点P平分，有，由此求得直线AB的斜率可得其方程再检验，直线AB与圆C是否相交即可.小问1详解】解：因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得，所以，圆心C的坐标为(2,1)，所以圆C的方程为；【小问2详解】解：因为点，有，所以点P在圆C的内部，假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即，检验，圆心C到直线AB的距离为，所以直线AB与圆C相交，所以存在弦被点P平分，此时直线的