2024届北京海淀高二数学第一学期期末统考试题含解析

2024届北京海淀高二数学第一学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.2．已知命题：，使；命题：，都有，则下列结论正确的是（）A.命题“”是真命题： B.命题“”是假命题：C.命题“”是假命题： D.命题“”是假命题3．设点是点，，关于平面的对称点，则（）A.10 B.C. D.384．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为A. B.C. D.5．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.26．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列说法正确的是（）A.事件“”的概率为 B.事件“t是奇数”与“”互为对立事件C.事件“”与“”互为互斥事件 D.事件“且”的概率为7．不等式解集为（）A. B.C. D.8．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.2 B.C. D.89．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（）盏.A.192 B.128C.3 D.110．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.11．直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，则此椭圆的离心率为（）A B.C. D.12．已知等差数列，，，则数列的前项和为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列的前项和为，则的通项公式为________.14．已知圆，则圆心坐标为______.15．若向量满足，则_________.16．已知点是抛物线的准线与x轴的交点，F为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则最小值为_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?18．（12分）如图①，直角梯形中，，，点，分别在，上，，，将四边形沿折起，使得点，分别到达点，的位置，如图②，平面平面，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，其中表示不超过最大整数，如，.（i）求、、；（ii）求数列的前项的和.20．（12分）如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平面21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上（1）经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；（2）设椭圆C的上顶点为P，设不经过点P的直线与椭圆C交于C，D两点，且，求证：直线过定点22．（10分）已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线夹角的余弦值.【详解】如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，则，，设异面直线与所成角为（），则.故选：A2、B【解析】根据正弦函数的性质判断命题为假命题，由判断命题为真命题，从而得出答案.【详解】因为的值域为，所以命题为假命题因为，所以命题为真命题则命题“”是假命题，命题“”是假命题，命题“”是真命题，命题“”是真命题故选：B3、A【解析】写出点坐标，由对称性易得线段长【详解】点是点，，关于平面的对称点，的横标和纵标与相同，而竖标与相反，，，，直线与轴平行，，故选：A4、A【解析】若△AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,,,,，所以方程为，故选A.考点：椭圆方程及性质5、A【解析】先求出渐近线方程，进而将点代入直线方程得到a,b关系，进而求出离心率.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，而一条渐近线过点，则，.故选：A.6、D【解析】计算出事件“t＝12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判断D；【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，则共有个基本事件，记t＝m＋n，则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；事件“t＞8且mn＜32”有共9个基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；故选：D7、C【解析】化简一元二次不等式的标准形式并求出解集即可.【详解】不等式整理得，解得或，则不等式解集为.故选：.8、C【解析】由斜二测还原图形计算即可求得结果.【详解】在斜二测直观图中，由为等腰直角三角形，，可得，.还原原图形如图：则，则.故选：C9、A【解析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解.【详解】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，所以，解得，所以这个塔的最底层有盏灯.故选：A.10、C【解析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率【详解】易知共线，共线，如图，设，，则，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因为，故解得，则，在中，，即，所以故选：C11、D【解析】根据题意作出示意图，根据圆的性质以及直线的倾斜角求解出的长度，再根据椭圆的定义求解出的关系，则椭圆离心率可求.【详解】设椭圆的左右焦点分别为，如下图：因为以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，所以且，所以，又因为的倾斜角为，所以，所以为等边三角形，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故选：D.12、A【解析】求出通项，利用裂项相消法求数列的前n项和.【详解】因为等差数列，，，所以，所以，所以数列的前项和为故B，C，D错误.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】讨论和两种情况，进而利用求得答案.【详解】由题意，时，，时，，则，于是，故答案为：14、【解析】将圆的一般方程配方程标准方程即可.【详解】圆，即，它的圆心坐标是.故答案为：.15、【解析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为：.16、【解析】利用已知条件求出p，设出P的坐标，然后求解的表达式，利用基本不等式即可得出结论【详解】解：由题意可知：，设点，P到直线的距离为d，则，所以，当且仅当x时，的最小值为，此时，故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；乙分厂加工件产品的总利润为元，所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件故厂家选择甲分厂承接加工任务【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据，，，，易证，再根据平面平面，，得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定定理证明平面即可；（2）根据（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，设二面角的大小为，由求解.【小问1详解】解：因为，，，所以，，又，所以是等腰直角三角形，即，所以.由平面几何知识易知，所以，即.又平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以.又，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】由（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，F（1，0，0），则，，设平面的一个法向量为，由，得，取，则.由，，，得平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则，由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.19、（1）；（2）（i），，；（ii）.【解析】（1）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（2）（i）利用对数函数的单调性结合题中定义可求得、、的值；（ii）分别解不等式、、，结合题中定义可求得数列的前项的和.【小问1详解】解：因为，，则，可得，，可得，以此类推可知，对任意的，.由，变形为，是一个以为公差的等差数列，且首项为，所以，，因此，.【小问2详解】解：（i），则，，则，故，，则，故；（ii），当时，即当时，，当时，即当时，，当时，即当时，，因此，数列的前项的和为.20、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）根据线面平行的判定，证明即可；（2）过C作，垂足为M，根据勾股定理证明，再根据线面垂直的性质与判定证明平面BCE即可【小问1详解】证明：因为四边形ABEF为矩形，所以，又平面BCE，平面BCE，所以平面BCE【小问2详解】过C作，垂足为M，则四边形ADCM为矩形因为，，所以，，，，所以，所以因为平面ABCD，，所以平面ABCD，所以又平面BCE，平面BCE，，所以平面BCE，又平面ACF，所以平面平面BCE21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设椭圆的方程为代入点的坐标求出椭圆的方程，再利用点差法求解；（2）由题得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得韦达定理，根据和韦达定理得到，即得证.【小问1详解】解：由题设椭圆的方程为因为椭圆经过点，所以所以椭圆的方程为.设，所以，所以，由题得，所以，所以，所以，所以直线的斜率为.【小问2详解】解：由题得当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组y=kx+nx24所以，解得①，设，，，，则②，因为，