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第五章定积分第三节定积分的计算一、定积分的换元积分法

【引例分析】根据牛顿—莱布尼兹公式，要计算该定积分，必须先求被积函数的一个原函数，

计算过程是先求原函数，再使用牛顿—莱布尼兹公式，显得较为复杂。再看下面的计算过程：从结果上看是一样的，但计算过程显得更简捷。

【引例分析】被积函数是无理式，无法直接计算，可采用下面的办法来解决：

定积分的换元积分法

上述等式称为定积分的换元公式。说明：（1）从左到右应用该公式时，相当于不定积分的第二换元法（如引例2），使用时要引入新的变量，同时切记：换元必换限。换限时原上限对新上限，原下限对新下限，换元后变量不用回代。（2）从右到左应用该公式时，相当于不定积分的第一换元法（如引例1），使用时不引入新的变量，因而积分的上、下限不变，只要求出被积函数的一个原函数，直接使用牛顿—莱布尼兹公式。例1

例1

例3求下列定积分

解

解

例3求下列定积分

解

例3求下列定积分

规律

利用函数的对称性,有时可简化计算.

证:由定积分的区间可加性，得

将式（2）代入式（1），得

结论：

二、定积分的分部积分法

该公式称为定积分的分部积分公式。对于由两个不同函数组成的被积函数，因其不便于进行换元，可以考虑使用分部积分法。其原理是对导数乘法法则的逆用。

证:

规律1：当被积函数为幂函数与对数函数（反三角函数）的积时，要用分部积分法，且要用幂函数凑微分。

定积分的分部积分公式可以多次使用。

规律2：当被积函数为幂函数与指对数函数（正弦函数、余弦函数）的积时，要用分部积分法，且不能用幂函数凑微分。

规律3：

当被积函数为指数函数与正弦函数（余弦函数）

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