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文档简介

经济数学基础辅导第18讲顾静相4.4分部积分法教学要求

掌握计算不定积分的分部积分法．分部积分法

第17讲介绍的凑微分法是对应于复合函数求导法的积分方法，本讲将要讲解的积分方法是对应于乘积求导公式的方法．分部积分法

设函数

u=u(x)与

v=v(x)都有连续导数，由乘积求导公式

d(uv)=vdu+udv，即udv=d(uv)–vdu，两边积分得

，(18.1)或

，(18.2)公式(18.1)或(18.2)称为分部积分公式．这说明，如果计算积分

较难、而积分较易，那么较难的一个积分

可以转化为乘积函数

uv与较易的那个积分

的差．分部积分法

能利用分部积分公式求不定积分的关键是能将积分

的被积函数

f(x)化成两个因子

f(x)=ku(x)v

(x)(k是常数)．

一般地，当被积函数中有幂函数因子、指数函数因子、对数函数因子、三角函数因子和反三角函数因子时，可以考虑用分部积分法．分部积分法

应用分部积分法的常见积分形式及

u，dv的选取方法：

1．

(n>0，n为正整数)，应利用分部积分法计算．一般设

u=

xn，被积表达式的其余部分设为

dv．分部积分法

应用分部积分法的常见积分形式及

u，dv的选取方法：

1．

(n>0，n为正整数)，应利用分部积分法计算．一般设

u=

xn，被积表达式的其余部分设为

dv．

2．

(n≠1,n为正整数)，应利用分部积分法计算．一般设

dv=

xndx，被积表达式的其余部分设为

u．分部积分法例1求不定积分

．分部积分法例1求不定积分

．解设

u=x，v

=sin(2x-3)，则du=dx，

．所以分部积分法例2求不定积分

．分部积分法例2求不定积分

．解设

u=lnx，v

=x2，则

．所以分部积分法

在初步掌握分步积分法后，可不必明确地设出

u和dv，而直接应用公式．从下面的例题中我们还可以看到，在一些较复杂的积分问题中，有可能多次应用分部积分法．分部积分法例3求不定积分

．分部积分法例3求不定积分

．解(再用分部积分求之)

分部积分法例4求不定积分

．分部积分法例4求不定积分

．解上式右端第三项

恰好是所求的不定积分，移项后，有

注意：移项后，等式右端已不含积分项，必须加上任意常数

，所以

分部积分法

还要注意，在第二次应用分部积分法时，u

和dv的选取要与第一次保持一致，否则将回到原积分．分部积分法

还要注意，在第二次应用分部积分法时，u

和dv的选取要与第一次保持一致，否则将回到原积分．

用换元积分法、分部积分法求积分的方法要灵活运用，切忌死套公式．有的问题往往需要这两种方法交互使用才能求得最终结果．分部积分法例5求不定积分

．分部积分

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