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文档简介

2022-2023学年黑龙江省绥化市普通高中高三(二模)数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点,点为的中点,若满足,则动点的轨迹的长度为()A. B. C. D.2.数列满足:,,,为其前n项和,则()A.0 B.1 C.3 D.43.关于函数,有下述三个结论:①函数的一个周期为;②函数在上单调递增;③函数的值域为.其中所有正确结论的编号是()A.①② B.② C.②③ D.③4.直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B两点,则的最小值是A.10 B.9 C.8 D.75.已知盒中有3个红球,3个黄球,3个白球,且每种颜色的三个球均按,,编号,现从中摸出3个球(除颜色与编号外球没有区别),则恰好不同时包含字母,,的概率为()A. B. C. D.6.设复数满足(为虚数单位),则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知数列的前项和为,且,,,则的通项公式()A. B. C. D.8.直线x-3y+3=0经过椭圆x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.9.已知函数,其中,,其图象关于直线对称,对满足的,,有,将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则函数的单调递减区间是()A. B.C. D.10.函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为()A. B. C. D.11.下列不等式成立的是()A. B. C. D.12.函数(),当时,的值域为,则的范围为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数,这两个数的和仍是质数的概率是________(结果用最简分数表示)14.记Sk=1k+2k+3k+……+nk,当k=1,2,3,……时,观察下列等式:S1n2n,S2n3n2n,S3n4n3n2,……S5=An6n5n4+Bn2,…可以推测,A﹣B=_____.15.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的余弦值为__________.16.己知函数,若关于的不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,,求的值.18.(12分)已知函数.当时,求不等式的解集;,,求a的取值范围.19.(12分)已知点,直线与抛物线交于不同两点、,直线、与抛物线的另一交点分别为两点、,连接,点关于直线的对称点为点,连接、.(1)证明:;(2)若的面积,求的取值范围.20.(12分)在四棱柱中,底面为正方形,,平面.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)已知,函数.(Ⅰ)若在区间上单调递增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(参考数据:)22.(10分)已知椭圆,左、右焦点为,点为上任意一点,若的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆的方程;(2)动直线过点与交于两点,在轴上是否存在定点,使成立,说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

设的中点为,利用正方形和正方体的性质,结合线面垂直的判定定理可以证明出平面,这样可以确定动点的轨迹,最后求出动点的轨迹的长度.【详解】设的中点为,连接,因此有,而,而平面,,因此有平面,所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线.正方体的棱长为2,所以内切球的半径为,建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系:因此有,设平面的法向量为,所以有,因此到平面的距离为:,所以截面圆的半径为:,因此动点的轨迹的长度为.故选:C【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理的应用,考查了立体几何中轨迹问题,考查了球截面的性质,考查了空间想象能力和数学运算能力.2、D【解析】

用去换中的n,得,相加即可找到数列的周期,再利用计算.【详解】由已知,①,所以②,①+②,得,从而,数列是以6为周期的周期数列,且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故选:D.【点睛】本题考查周期数列的应用,在求时,先算出一个周期的和即,再将表示成即可,本题是一道中档题.3、C【解析】

①用周期函数的定义验证.②当时,,,再利用单调性判断.③根据平移变换,函数的值域等价于函数的值域,而,当时,再求值域.【详解】因为,故①错误;当时,,所以,所以在上单调递增,故②正确;函数的值域等价于函数的值域,易知,故当时,,故③正确.故选:C.【点睛】本题考查三角函数的性质,还考查推理论证能力以及分类讨论思想,属于中档题.4、B【解析】

根据抛物线中过焦点的两段线段关系,可得;再由基本不等式可求得的最小值.【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点,由过抛物线焦点的弦的性质可知所以因为为线段长度,都大于0,由基本不等式可知,此时所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用,基本不等式的用法,属于中档题.5、B【解析】

首先求出基本事件总数,则事件“恰好不同时包含字母,,”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母,,”,记事件“恰好不同时包含字母,,”为,利用对立事件的概率公式计算可得;【详解】解:从9个球中摸出3个球,则基本事件总数为(个),则事件“恰好不同时包含字母,,”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母,,”记事件“恰好不同时包含字母,,”为,则.故选:B【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式,考查了排列组合的知识,解答的关键在于正确理解题意,属于基础题.6、D【解析】

先把变形为,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,求出,得到其坐标可得答案.【详解】解:由,得,所以,其在复平面内对应的点为,在第四象限故选:D【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.7、C【解析】

利用证得数列为常数列,并由此求得的通项公式.【详解】由,得,可得().相减得,则(),又由,,得,所以,所以为常数列,所以,故.故选:C【点睛】本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识;考查运算求解能力,逻辑推理能力,应用意识.8、A【解析】

由直线x-3y+3=0过椭圆的左焦点F,得到左焦点为再由FC=2CA,求得A3【详解】由题意,直线x-3y+3=0经过椭圆的左焦点F,令所以c=3,即椭圆的左焦点为F(-3,0)直线交y轴于C(0,1),所以,OF=因为FC=2CA,所以FA=3又由点A在椭圆上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以椭圆的离心率为e=3故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解,其中求椭圆的离心率(或范围),常见有两种方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,转化为a,c的齐次式,然后转化为关于e的方程,即可得9、B【解析】

根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期,由此求得的值,结合其对称轴,求得的值,进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式,再利用三角函数求单调区间的方法,求得的单调递减区间.【详解】解:已知函数,其中,,其图像关于直线对称,对满足的,,有,∴.再根据其图像关于直线对称,可得,.∴,∴.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.令,求得,则函数的单调递减区间是,,故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式,考查三角函数图像变换,考查三角函数单调区间的求法,属于中档题.10、B【解析】

根据两个函数相等,求出所有交点的横坐标,然后求和即可.【详解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和,故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角,侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.11、D【解析】

根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【详解】对于,,,错误;对于,在上单调递减,,错误;对于,,,,错误;对于,在上单调递增,,正确.故选:.【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题;关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.12、B【解析】

首先由,可得的范围,结合函数的值域和正弦函数的图像,可求的关于实数的不等式,解不等式即可求得范围.【详解】因为,所以,若值域为,所以只需,∴.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的值域,熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

依据古典概型的计算公式,分别求“任取两个数”和“任取两个数,和是质数”的事件数,计算即可。【详解】“任取两个数”的事件数为,“任取两个数,和是质数”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3个,所以任取两个数,这两个数的和仍是质数的概率是。【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法。14、【解析】

观察知各等式右边各项的系数和为1,最高次项的系数为该项次数的倒数,据此计算得到答案.【详解】根据所给的已知等式得到:各等式右边各项的系数和为1,最高次项的系数为该项次数的倒数,∴A,A1,解得B,所以A﹣B.故答案为:.【点睛】本题考查了归纳推理,意在考查学生的推理能力.15、【解析】

根据题意画出几何题,建立空间直角坐标系,写个各个点的坐标,并求得.由空间向量的夹角求法即可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】根据题意画出几何图形,以为原点建立空间直角坐标系:设正方体的棱长为1,则所以所以,所以异面直线与所成角的余弦值为,故答案为:.【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,利用空间向量求异面直线夹角,属于中档题.16、【解析】

首先判断出函数为定义在上的奇函数,且在定义域上单调递增,由此不等式对任意的恒成立,可转化为在上恒成立,进而建立不等式组,解出即可得到答案.【详解】解:函数的定义域为,且,函数为奇函数,当时,函数,显然此时函数为增函数,函数为定义在上的增函数,不等式即为,在上恒成立,,解得.故答案为.【点睛】本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用,考查不等式的恒成立问题,属于常规题目.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】试题分析:(1)由正弦定理得到.消去公因式得到所以.进而得到角A;(2)结合三角形的面积公式,和余弦定理得到,联立两式得到.解析:(I)因为,所以,由正弦定理,得.又因为,,所以.又因为,所以.(II)由,得,由余弦定理,得,即,因为,解得.因为,所以.18、(1);(2).【解析】

(1)当时,,①当时,,令,即,解得,②当时,,显然成立,所以,③当时,,令,即,解得,综上所述,不等式的解集为.(2)因为,因为,有成立,所以只需,解得,所以a的取值范围为.【点睛】绝对值不等式的解法:法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.19、(1)见解析;(2).【解析】

(1)设点、,求出直线、的方程,与抛物线的方程联立,求出点、的坐标,利用直线、的斜率相等证明出;(2)设点到直线、的距离分别为、,求出,利用相似得出,可得出的边上的高,并利用弦长公式计算出,即可得出关于的表达式,结合不等式可解出实数的取值范围.【详解】(1)设点、,则,直线的方程为:,由,消去并整理得,由韦达定理可知,,,代入直线的方程,得,解得,同理,可得,,,,代入得,因此,;(2)设点到直线、的距离分别为、,则,由(1)知,,,,,,同理,得,,由,整理得,由韦达定理得,,,得,设点到直线的高为,则,,,,解得,因此,实数的取值范围是.【点睛】本题考查直线与直线平行的证明,考查实数的取值范围的求法,考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线的斜率等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是难题.20、(1)详见解析;(2).【解析】

(1)连接,设,可证得四边形为平行四边形,由此得到,根据线面平行判定定理可证得结论;(2)以为原点建立空间直角坐标系,利用二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】(1)连接,设,连接,在四棱柱中,分别为的中点,,四边形为平行四边形,,平面,平面,平面.(2)以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.设,四边形为正方形,,,则,,,,,,,设为平面的法向量,为平面的法向量,由得:,令,则,,由得:,令,则,,,,,二面角为锐二面角,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题;关键是能够熟练掌握二面角的向量求法,易错点是求得法向量夹角余弦值后,未根据图形判断二面角为锐二面角

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