上海八年级知识点串讲

八年级知识点二次根式概念性质及其运算复习一、主要内容有：二次根式的概念、性质、化简和二次根式的运算。学习辅导（二个非负，三个概念，六种题型）（一）二个非负1、二次根式中的被开方数a≥0；2、≥0，这是一种常见的隐含条件（二）三个概念1．二次根式：形如（a≥0）的式子注意：（1）被开方数a≥0，注意数学的整体思想，把被开方数当作一个整体。2．最简二次根式：（1）定义：被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2的二次根式。（2）条件：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开能尽方的因数或因式。3．同类二次根式：（1）定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。（2）合并同类二次根式A、化为最简二次根式B、系数相加减C、二次根式不变4.二次根式的性质：（a≥0），=（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）二次根式的运算：（1）（2）（3）（4）若，则二次根式乘法法则：（a≥0，b≥0）二次根式除法法则：（a≥0，b＞0）二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如）仍然适用.补充：分母有理化。、、六种题型题型1：判别一个式子是否为二次根式及二次根式有意义的字母的取值范围题型2：应用≥0和二次根式的意义解决一些其它问题题型3：（a≥0）进行计算和因式分解题型4：的化简题型5：分母有理化或化去根号内的分母题型6：利用二次根式的运算法则进行计算（加减，乘除，乘方）一元二次方程的复习一元二次方程：①它的左右两边都是整式，②只含一个未知数；不同点：未知数的最高次数是2。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。要很熟练地说出随便一个一元二次方程中二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数．四、一元二次方程的解法（一）因式分解法：当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便，步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；（2）将方程的左边分解因式；（3）根据若m·n=0，则m=0或n=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。（二）一般地，对于行如的方程，根据平方根的定义，可解，．这种解一元二次方程的方法叫做开平方．（三）配方的步骤：（1）先把方程移项，得．（2）方程的两边同加一次项系数的一半的平方，得，即若，就可以用因式分解法或开平方法解出方程的根（四）公式法：（1）把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.（2）求出的值.（3）代入求根公式:（4）写出方程的解五、一元二次方程的应用我们已经经历了三次列方程解应用题①列一元一次方程解应用题；②列二元一次方程组解应用题；③列分式方程解应用题.在思想方法和解题步骤上有许多共同之处.2、列方程解应用题的基本步骤：①审（审题）；②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）；③设（设元，包括设直接未知数或间接未知数）；④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；⑤列（列方程）；⑥解（解方程）；⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）.五、根与系数关系一元二次方程，如果有实数根（即），设两实数根为x1，x2，则，引申1：引申2：由可判断两根符号之间的关系：若，则x1，x2同号若，则x1，x2异号，即一正一负再由可判断两根大小的关系。2.由x1，x2两根可构造的一元二次方程以x1，x2为根的一个一元二次方程为。可化为一元二次方程的分式方程与无理方程分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程无理方程的定义：根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．一般分式方程的解法：(1)去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解；②在方程两边同乘以各分式的最简公分母；③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；④解一元二次方程；⑤验根． (2)验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．(1)含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．(2)含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同4.(1)的说明．正比例函数与反比例函数函数变量、常量在问题研究的过程中,可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量(或常数)2、函数概念注意理解函数的基本概念，函数本质上是一种对应关系，X取每一个值，Y都有惟一的值与它对应；而对应于Y的一个值，自变量X的取值不一定只有一个。（在某个变化过程中有两个变量，设为x和y,如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量）3、自变量取值范围（1）自变量的取值必须使函数关系式有意义（2）自变量的取值必须使实际问题有意义（3）函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域函数关系式如果是一个整式，则自变量可以取全体实数。如果函数关系式中的分母含有自变量，则自变量的取值范围是使分母的值不等于零的所有实数。如果函数关系式中含有二次根式，则自变量的取值范围是使被开方式的值为非负数的所有实数。注意：每一个函数都有定义域，对于用解析式表示的函数，如果不加说明，那么这个函数的定义域是能使这个函数解析式有意义的所有实数．4、函数值如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值．“y是x的函数”用记号y=f(x)来表示，f(a)表示x=a时的函数值5、函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法题目一般是综合运用这三种方法来研究有关函数问题。6．函数的图象把自变量的一个值和自变量取这个值时的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在坐标平面内描出一个点，所有这些点组成的图形，就是这个函数的图象．也就是说函数图象上的点的坐标都满足函数的解析式，以满足函数解析式的自变量值和与它对应的函数值为坐标的点都在函数图象上．知道函数的解析式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图象：(i)列表．在自变量的取值范围内取一些值，算出对应的函数值，列成表．(ii)描点．把表中自变量的值和与它相应的函数值分别作为横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点．(iii)连线．按照自变量由小到大的顺序、用平滑的曲线把所描各点连结起来．7.正比例函数的概念一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.8.正比例函数的图像一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图像是-条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.当k>O时，直线y=kx经过第一、三象限；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限.3.正比例函数y=kx的性质当k>O时，y随着x的增大而增大；当k<0时，k随着x的增大而减小.反比例函数一、知识点1、反比例函数及其解析式一般的，形如（是常数，）的函数叫做反比例函数。反比例函数中，自变量的取值范围是除零以外的一切实数，相应的，函数的取值范围也是一切非零实数。反比例函数的解析式是（是常数，），也可以写成的形式（）。2、图象反比例函数（）的图象是双曲线，它有两个分支：当时，这两个分支分别分布在第一、三象限中；当时，这两个分支分别分布在第二、四象限中。这两个分支关于原点对称；在各个象限中，两个分支都无限伸展，并无限接近坐标轴，但永远不会到达坐标轴。3、性质①当时，图象的两个分支在各个象限中，分别随自变量的增大而减小。②当时，图象的两个分支在各个象限中，分别随自变量的增大而增大。4、比例系数的几何意义反比例函数（是常数，）可变形为，也就是反比例函数图象上任一点P（）的坐标之积等于常数。①矩形面积不变性点A是双曲线的图象的任意一支上任意一点，四边形ABOC是矩形，则有BAAOCOB①矩形面积不变性②三角形面积不变性②三角形面积不变性点A是双曲线的图象的任意一支上任意一点，△AOB是直角三角形，则有熟悉以上面积不变性，通过不同图形的拼接可推导出其它图形的面积（例如梯形等）5、反比例函数应用①解决实际问题用反比例函数解决实际问题，首先要分析问题情景，建立有关的数学模型，有时还要与其它知识综合起来运用，使问题得到解决。②与几何知识的综合运用主要是有关点的运动问题的综合题，要熟悉图形的变化情况和规律，考虑自变量的取值范围，灵活运用函数的性质来解决问题。反比例函数和三角函数、直角三角形、相似图形知识的综合比较多，难度也较大。知识点1一次函数和正比例函数的概念若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函数，y=x，y=-x都是正比例函数.【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.（3）当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.知识点2函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.知识点4一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（1）k的正负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．．知识点5确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点6待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．知识点7用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）；第四步，写（写出函数关系式）.一次函数应用题题型小结题型一观察归纳型即是通过观察数式规律归纳出函数解析式，再进行应用题型二数量关系型即是通过分析题中的数量关系直接得出函题型三待定系数法型即是已知函数是一次函数，通过待定系数法求出函数解析式，再进行应用.题型四与几何知识相结合题型五方案设计题题型六一次函数与一次不等式、方程（组）综合考题线段垂直平分线与角的平分线线段垂直平分线知识点:线段垂直平分线的性质定理及逆定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离。2、到一条线段两个端点距离相等的点，在上。二、尺规作图三、三角形三边垂直平分线的性质1、三角形三条边的垂直平分线，并且这一点到的距离相等。角的平分线知识点:角平分线的性质定理和判定定理1、角平分线上的点到相等。2、在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在上。二、尺规作图三、三角形三个内角角平分线的性质定理1、三角形的三条角平分线相交于，并且到这一点到的距离相等。直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°直角三角形的性质直角三角形的判定1、两锐角互余；2、斜边上的中线等于斜边的一半；3、30°角所对的直角边等于斜边的一半；（此三角形三边比是1：：2）4、如果∠C=90°，则a2+b2=c21、两锐角互余的三角形；2、一条边上的中线等于该边的一半的三角形；3、如果a2+b2=c2，则∠C=90°，此三角形为直角三角形勾股定理知识点勾股定理是数学中一个极为重要的定理，在几何中有着广泛的应用.为帮助大家理解该知识点，现把知识要点归纳如下，供大家学习时参考.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边分别是、，斜边是，那么2+2=2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.温馨提示：=1\*GB3①勾股定理运用的前提条件是三角形是直角三角形；=2\*GB3②勾股定理是由图形推得数量关系的定理.在数轴上表示无理数（1）方法：运用数形结合思想，将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段问题.第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数，以便第二步容易作图，这是画图的关键；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点.勾股定理的验证方法课本上借助于图形面积来验证勾股定理的，其依据是对图形进行割补拼接后，没有重叠，也没有空隙，则图形的面积不变.其实，勾股定理的验证方法很多，这种面积法比较简洁易懂，同时，这种推导方法对于提高大家观察图形、利用图形的直观优势推导一些常用的结论的能力也是大有好处的.熟练掌握勾股定理的各种形式如图1，在Rt△ABC中，∠C=